VECTO TRONG KHONG GIAN CO GIAI CHI TIET RAT HAY

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vuông góc – HH 11Đây là trích 1 phần tài liệu gần 2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông... ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT

Trang 1

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vuông góc – HH 11

Đây là trích 1 phần tài liệu gần

2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông.

Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Đặng Việt Đông giá 200k thẻ

cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107

Trang 2

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vuơng gĩc – HH 11

VÉCTƠ TRONG KHƠNG GIAN

A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP

1 Định nghĩa và các phép tốn

• Định nghĩa, tính chất, các phép tốn về vectơ trong khơng gian được xây dựng hồn tồn tương

tự như trong mặt phẳng

• Lưu ý:

+ Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta cĩ: uuur uuur uuurAB BC+ =AC

+ Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta cĩ: uuur uuur uuurAB AD AC+ =

+ Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A′B′C′D′, ta cĩ: uuur uuur uuur uuuurAB AD AA+ + '= AC'

+ Hê thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý

Ta cĩ: IA IBuur uur r+ =0

; OA OBuuur uuur+ =2OIuur

+ Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý Ta cĩ:

uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur

GA GB GC OA OB OC OG

+ Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý Ta cĩ:

uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur

GA GB GC GD OA OB OC OD OG

+ Điều kiện hai vectơ cùng phương:

( ≠0)⇔ ∃ ∈! : =

a và b cùng phương a k R b ka

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ≠ 1), O tuỳ ý Ta cĩ:

;

1

−

uuur uuur uuur uuur uuuur OA kOB

MA k MB OM

k

2 Sự đồng phẳng của ba vectơ

• Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

• Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ

, ,r

r r

a b c

, trong đĩ

r r

a và b

khơng cùng phương Khi đĩ:

, ,r

r r

a b c

đồng phẳng ⇔∃! m, n ∈ R: c ma nbr= r+ r

• Cho ba vectơ

, ,r

r r

a b c

khơng đồng phẳng,

r

x

tuỳ ý

Khi đĩ: ∃! m, n, p ∈ R:

x ma nb pc

3 Tích vơ hướng của hai vectơ

• Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian:

· 0 · 0

, ( , ) (0 180 )

uuur r uuur r r r

• Tích vơ hướng của hai vectơ trong khơng gian:

+ Cho

, ≠0r

r r

u v

Khi đĩ:

= cos( , )

r r r r r r

+ Với

u hoặc v

Qui ước: u vr r. =0

Trang 3

+ ur⊥ ⇔vr u vr r. =0

4 Các dạng toán thường gặp:

a) Chứng minh đẳng thức vec tơ.

b) Chứng minh ba vec tơ đồng phẳng và bốn điểm đồng phẳng, phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng.

+ Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

- Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng

- Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ R: c ma nbr= r+ r

thì

, ,

a b cr r r

đồng phẳng

+ Để phân tích một vectơ xr

theo ba vectơ

, ,

a b cr r r

không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho:

x ma nb pcr= r+ r+ r

c) Tính tích vô hướng cuả hai véc tơ trong không gian

d) Tính độ dài của đoạn thẳng, véctơ.

+ Để tính độ dài của một đoạn thẳng theo phương pháp vec tơ ta sử dụng cơ sở

2

ar = ar ⇒ =ar ar

Vì vậy để tính độ dài của đoạn MN

ta thực hiện theo các bước sau:

- Chọn ba vec tơ không đồng phẳng

, ,

a b c

r r r

so cho độ dài của chúng có thể tính được và góc giữa chúng có thể tính được

- Phân tích

MN ma nb pc= + +

uuuur r r r

- Khi đó

2

MN = MNuuuur = MNuuuur = ma nb pcr+ r+ r

m a n b p c mn a b np b c mp c a

e) Sử dụng điều kiện đồng phẳng của bốn điểm để giải bài toán hình không gian.

Sử dụng các kết quả

• A B C D, , , là bốn điểm đồng phẳng ⇔DA mDB nDCuuur= uuur+ uuur

• A B C D, , , là bốn điểm đồng phẳng khi và chỉ khi với mọi điểm O

bất kì ta có

OD xOA yOB zOCuuur= uuur+ uuur+ uuur

trong đó

1

x y z+ + =

B – BÀI TẬP

Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

, M là trung điểm của BB′

Đặt CA auuur r=

, CB buuur r=

, uuur rAA′ =c

Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 4

A

1 2

AM = + −b c a

uuuur r r r

B

1 2

AM = − +a c b

uuuur r r r

C

1 2

AM = + −a c b

uuuur r r r

D.

1 2

AM = − +b a c

uuuur r r r

Hướng dẫn giải:

Chọn D

Ta phân tích như sau:

1 2

AM =AB BM+ =CB CA− + BB′

uuuur uuur uuuur uuur uuur uuur

1 1

2 2

= − +r r uuur= − +r r r

Câu 2: Trong không gian cho điểm O và bốn điểm A, B, C, D không thẳng hàng Điều kiện cần và

đủ để A, B, C, D tạo thành hình bình hành là

A OA OB OC ODuuur uuur uuur uuur r+ + + =0

OD OB OC

C

OD OC

OB OA

2

1 2

1 = +

+

OD OB

OC OA

2

1 2

1 = + +

Chọn B

Trước hết, điều kiện cần và đủ để ABCD là hình bình hành là:

BD BA BC= +

uuur uuur uuur

Với mọi điểm O bất kì khác A, B, C, D, ta có:

BD BA BC= + ⇔OD OB OA OB OC OB− = − + −

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

OA OC OB OD

⇔uuur uuur uuur uuur+ = +

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình bình hành Đặt SA auur r=

; SB buur= r

; SC cuuur r=

;

SD d=

uuur r

A a c d br r+ = +r r

B a b c dr+ = +r r r

C a d b cr+ = +r r r

D a b c dr+ + + =r r r r0

Trang 5

ar

r

Chọn A

Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD Ta phân tích như sau:

2

SA SC SO

SB SD SO







uur uuur uuur

(do tính chất của đường trung tuyến)

⇒uur uuur uur uuur+ = + ⇔ + = +r r r r

Câu 4: Cho tứ diện ABCD Gọi M và P lần lượt là trung điểm của AB và CD Đặt AB=b

,

AC c=

uuur r

, uuurAD d= r

A

1

2

MP= c d b+ −

uuur r r r

1 2

MP= d b c+ −

uuur r r r

C

1

2

MP= c b d+ −

uuur r r r

1 2

MP= c d b+ +

uuur r r r

br

cr

dr

Chọn A

Ta phân tích:

1

2

MP= MC MD+

uuur uuuur uuuur

(tính chất đường trung tuyến)

2

= uuur uuuur uuur uuuur− + − = r+ −r uuuur

= r+ −r uuur = r+ −r r

Trang 6

Câu 5: Cho hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

có tâm O Gọi I là tâm hình bình hành ABCD Đặt uuuur rAC′ =u

,

'

CAuuur r=v

, BDuuuur r′ =x

,

DB′ = y

uuuur r

A

1

2

OIuur= u v x yr r r r+ + +

1 2

2

OI= − u v x y+ + +

uur r r r r

C

1

2

4

OIuur= u v x yr r r r+ + +

1 2

4

OIuur= − u v x yr r r r+ + +

ur

yr

Chọn D

Ta phân tích:

u vr r+ =uuuur uuurAC′+CA′= uuur uuuurAC CC+ ′ + CA AAuuur uuur+ ′ = uuurAA′

x y BD+ =uuuur uuuur′+DB′= BD DDuuur uuuur+ ′ + DB BBuuur uuur+ ′ = BBuuur′= uuurAA′

r r

u v x y AA′ A A′ OI

⇒ + + + =r r r r uuur= − uuur= − uur

1

2

4

⇒ uur= − r r r r+ + +

Gọi I và K lần lượt là tâm của hình bình hành ABB A′ ′

và

BCC B′ ′

Khẳng định nào sau đây sai?

A

1 1

2 2

IK= AC= A C′ ′

uur uuur uuuur

B Bốn điểm I , K, C, A đồng phẳng

C uuurBD+2IKuur=2BCuuur

D Ba vectơ BD

uuur

; IK

uur

; uuuurB C′ ′

không đồng phẳng

Chọn D

Trang 7

A đúng do tính chất đường trung bình trong ∆B AC′

và tính chất của hình bình hành ACC A′ ′

B đúng do IK // AC nên bốn điểm I , K, C, A đồng

phẳng

C đúng do việc ta phân tích:

2

BD+ IK BC CD AC BC CD AD DC= + + = + + +

uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

2

=uuur uuur+ = uuur

D sai do giá của ba vectơ BD

uuur

; IK

uur

; B Cuuuur′ ′

đều song song hoặc trùng với mặt phẳng

(ABCD)

Do đó, theo định nghĩa sự đồng phẳng của các vectơ, ba vectơ trên đồng phẳng

Câu 7: Cho tứ diện ABCD Người ta định nghĩa “G là trọng tâm tứ diện ABCD khi

0

GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur r+ + + =

” Khẳng định nào sau đây sai?

A G là trung điểm của đoạn IJ (I, J lần lượt là trung điểm AB và CD)

B G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AC và BD

C G là trung điểm của đoạn thẳng nối trung điểm của AD và BC

D Chưa thể xác định được

Chọn D

Ta gọi I và J lần lượt là trung điểm AB và CD

Từ giả thiết, ta biến đổi như sau:

0 2 2 0 0

GA GB GC GDuuur uuur uuur uuur+ + + = ⇔r GIuur+ GJuuur= ⇔r GI GJuur uuur+ =r

G

⇒

là trung điểm đoạn IJ

Bằng việc chứng minh tương tự, ta có thể chứng minh được

phương án B và C đều là các phương án đúng, do đó phương

án D sai.

Câu 8: Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD Đặt xr=uuurAB

;

y ACr=uuur

; zr=uuurAD

A

1

3

AG= x y z+ +

uuur r r r

1 3

AG= − x y z+ +

uuur r r r

C

2

3

AG= x y z+ +

uuur r r r

2 3

AG= − x y z+ +

uuur r r r

Chọn A

Trang 8

xr

y

r z

r

Gọi M là trung điểm CD

Ta phân tích:

2 2

3 3

AG AB BG AB= + = + BM =AB+ AM −AB

uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur

AB  AC AD AB AB AC AD x y z

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur r r r

có tâm O Đặt uuur rAB a=

; BC buuur r=

M là điểm xác định bởi

( )

1

2

OMuuuur= a br−r

A M là tâm hình bình hành ABB A′ ′

B M là tâm hình bình hành BCC B′ ′

C M là trung điểm BB′

D M là trung điểm CC′

ar

br

Chọn C

Ta phân tích:

OMuuuur= a br−r = uuur uuurAB BC− = uuur uuurAB AD− = uuurDB

M

⇒

là trung điểm của BB′

Trang 9

Đây là trích 1 phần tài liệu gần

2000 trang của Thầy Đặng Việt Đông.

Quý Thầy Cô mua trọn bộ File Word Toán 11 và 12 của Thầy Đặng Việt Đông giá 200k thẻ

cào Vietnam mobile liên hệ số máy 0937351107

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	1,27 MB