Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành Phò

Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành PhòTài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Chuyên đề 5 Phương trình mũ và lôgarit Lê Hoành Phò

CHUYÊN ĐỀ 5 - PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Phương pháp chung:

- Đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích,…

- Lôgarit hóa, mũ hóa

- Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số, định lý Lagrange,…

Phương trình mũ và lôgarit

- Dạng: a x b a 0,a1

Nếu b0, phương trình vô nghiệm

Nếu b0, phương trình có nghiệm duy nhất xloga b

Nếu a1: loga f x loga g x  0 f x g x 

Nếu 0 a 1: loga f x loga g x  f x g x 0

Hệ phương trình mũ và lôgarit

Việc giải hệ phương trình mũ và lôgarit về cơ bản cũng giống như giải các hệ phương trình đại số như rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, đánh giá, tính chất đơn điệu của hàm số, … phối hợp với các biến đổi về biểu thức mũ và lôgarit, mũ hóa, lôgarit hóa

a) cos 72  x cos36 x 3.2x b)

sin 4tan

a) Phương trình: 2cos 72  x 2cos36 x 3

t e

   suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 1;0 và  0;1

Vì u v, cùng dấu nên u v, cùng thuộc một khoảng 1;0 hoặc  0;1 do đó PT:

Vậy f x 0 có tối đa 2 nghiệm mà f  0  f  1 0 nên tập nghiệm là S  0;1

Bài toán 5.5: Giải các phương trình sau:

Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán ”

Gửi đến số điện thoại

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện x0 Phương trình tương đương với

  log 2 log 2  log 2  log 2  

 

 

2 2

2 log 2

- Nếu cos 2x0, lập luận tương tự trường hợp trên: loại

- Nếu cos 2x0 thì PT được thỏa mãn và phương trình đã cho có nghiệm ,

Gọi a là nghiệm của phương trình trên thì có 3a2a 6a 5a

Xét hàm số f t   t 1a t a, khi đó f t  liên tục trên  2;5 và

Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán ”

Gửi đến số điện thoại

Suy ra f x  f x 0 0 nên PT 4x1 2x1x vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x0

Vậy PT có nghiệm duy nhất x2

Bài toán 5.16: Giải các phương trình sau:

- Nếu x1 thì bất đẳng thức ở trên đổi chiều: không thỏa mãn

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x1

g  nên g x   0 x 0, do đó g x  cùng dấu với x

Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với

1

x

x x



    Vậy tập nghiệm của BPT là 0;1

Bài toán 5.18: Giải các bất phương trình

2  ) b) Đặt t2x2 2x 1,t0 Bất phương trình 2 4

2 0

t t

31

31

2 hay

x x

b) Điều kiện tanx0 Đặt ttan ,x t0 thì

Mặt khác VP 21 tanx 2 nên dấu = đồng thời xảy ra  t tanx  0 x k,k

Bài toán 5.21: Giải các bất phương trình:

x x

;12

S   

Khi x1 thì f ' x 0 nên f x  đồng biến: x1 suy ra f x  f 1 0

Do đó x1  f x 0 Tương tự khi 0 x 1 thì f' x 0 nên f x  nghịch biến:

12

  hay log5xlog 155  x 1 hay x15

Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là     x y;  1;1 , 15;15

Bài toán 5.26: Giải các hệ phương trình:

log 1 3sin log 3cos

log 1 3cos log 3sin

 nên f đồng biến trên 0;1, do đó PT   u v t

Ta có PT: log 1 32  t2log 33 t , giải ra nghiệm duy nhất:

Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán ”

Gửi đến số điện thoại

Bài toán 5.31: Giải các hệ phương trình sau:

b) Điều kiện 0 x y, 3,y1,logy3x0,log3y x0

 2 :sin  log log

Vì    3 y x 3 và a  3;3   ;  nên: sina  0 a 0,sina  0 a 0 Do đó phương trình này tương đương với x y

Thay vào nên  1 : log3xlog3x xlogxlog 3x x 

3

log log 3log log

1

1

y x

y

x z

z

z x

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là 0;0;0 , 1;1;1  

Bài toán 5.33: Tìm các nghiệm dương của hệ phương trình:

22

Đây chính là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Bài toán 5.35: Cho x là nghiệm của PT: 3 2 2  x  2 1 x 3

Chứng minh x cũng là nghiệm của PT:  2 1 2cos

Xét hàm số tương ứng với PT (1) là f x  x cos ,x D

Ta có f ' x  1 sinx 0, x nên f là hàm đồng biến

Mà f 0 0,f 1 0 và f là hàm liên tục nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất  0;1 Chứng minh tương tự ta có 3 nghiệm   , ,  0;1

y x e

Xét hàm số  

2 , 11

e x

 , t 1, ta chứng minh g t 0 có hai nghiệm trong khoảng 1;

Bài toán 5.39: Tìm điều kiện để phương trình:

a) log32x log23x 1 2m 1 0 có nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

f t  t t  t f t   t nên f đồng biến trên  1; 2

Điều kiện có nghiệm: f  1 2m 2 f  2

f 0  

Điều kiện có nghiệm duy nhất: a0 hay a12

Bài toán 5.40: Tìm điều kiện để bất phương trình:

   nên đồng biến trên 0; và f 2 0

Do đó, bất phương trình tương đương:

2 2

Do đó y1 và x0: nghiệm duy nhất Vậy m0

Bài toán 5.42: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

a) Lôgarit hóa Kết quả x1 hoặc x 1 log 32

b) Lôgarit hóa Kết quả  5 

5

2 log 3 44log 3 7

a) Kết quả x3

b) Chia 2 vế cho 4x Kết quả x1

Bài tập 5.4: Giải các phương trình:

a) 3 cosx 2 cosx  cosx b) cot 2x tan 2x 2 tan 2x1

Bài tập 5.5: Giải các phương trình:

a) Đưa về cơ số 2 Kết quả x4

b) Đưa về cơ số 2 Kết quả x3

Bài tập 5.6: Giải các phương trình:

a) log log4 2xlog log2 4x2 b) log 16 log 64x2  2x 3

Bài tập 5.8: Giải các bất phương trình:

Bài tập 5.11: Tìm điều kiện m để phương trình:

a) 9sin2x 9cos2x m có nghiệm

a) Kết quả 25

4

b) Đưa về đánh giá tham số m một bên Kết quả 2 m 3

Đăng ký mua bộ tài liệu file word bồi dưỡng HSG môn Toán trọn bộ:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “ Tôi muốn mua tài liệu HSG môn Toán ”

Gửi đến số điện thoại