Sáng kiến kinh nghiệm dùng hàm số giải phương trinh, hệ pt và bất phương trình của thế anh

SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNGTRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.. PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1... hàm số fx đồng biến Hoặc nghịch biến và phươ

SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG

TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A LÝ THUYẾT CƠ BẢN

a TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ HÀM SỐ, GIÁ TRỊ LỚN

NHẤT & NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

1 y  f (x) đồng biến trên D  x1 x2D ta có  f x1  f x 2

2 y  f (x) nghịch biến trên D x1 x2D ta có  f x1  f x 2

3 y  f (x) đồng biến trên D  (x)  0 x  D đồng thời (x)  0 tại một

số hữu hạn điểm  D

4 y  f (x) nghịch biến / D  (x)  0 x  D đồng thời (x)  0 tại một

số hữu hạn điểm  D

5 Cực trị hàm số : Hàm số đạt cực trị tại điểm  

k

x x  f x đổi dấu khi qua

k

x ( chú ý hàm số liên tục tại x k)

6 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Giả sử y  (x) liên tục trên [a, b] đồng thời đạt cực trị tại x1, ,x na b,  Khi đó:       1      

,

x a b f x f x f x f a f b

 ,      1      

M in M in , , n , ,

x a b f x f x f x f a f b

 Nếu y  f (x) đồng biến / [a, b] thì      

     

x a b f x f a x a b f x f b

 Nếu y  f (x) nghịch biến / [a, b] thì      

     

x a b f x f b x a b f x f a

b PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH,

BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Nghiệm của phương trình u(x)  v(x) là hoành độ giao điểm của đồ thị

 

y u x với đồ thị y v x  

2 Nghiệm của bất phương trình u(x)  v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần

đồ thị y u x   nằm ở phía trên

so với phần đồ thị y v x  

3 Nghiệm của bất phương trình u(x)  v(x) là

phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị

 

y u x nằm ở phía dưới so với phần đồ thị y v x  

4 Nghiệm của phương trình u(x)  m là hoành độ

giao điểm của đường thẳng y  m với đồ thị y u x  

5 BPT u(x)  m nghiệm đúng xI   

I

Min

x u x m

1

a

v(x) u(x)

y = m

6 BPT u(x)  m ngh đúng xI   

I

Max

x u x m

7 BPT u(x)  m có nghiệm xI   

I

Max

x u x m

8 BPT u(x)  m có nghiệm xI   

I

Min

x u x m

Chú ý: Hàm tăng giảm nghiêm ngặt.

hàm số f(x) đồng biến ( Hoặc nghịch biến) và phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

đồng biến và g(x) nghịch biến và nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.

B BÀI TẬP ỨNG DỤNG:

a ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN KHÔNG CHỨA THAM SỐ: Bài 1: Cho phương trình x5  x2  2x 1 0 (1) Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất ( Đề khối D -2004)

Giải

Ta có x5  (x 1) 2(2), từ (2) x 0.khi x 0   (x+1) 2  1, vậy vẫn từ (2) ta có

x   x

Như vậy mọi nghiệm của phương trình (1) (nếu có) thì x 1

Nên

(1)

1

x

 



Ta có f x'( ) 5  x4  2x 2 (2  x4  2 ) (2x  x4  2) x4    0 x 1 Mặt khác f(x) liên tục  x 1, suy ra hàm số f(x) đồng biến  x 1.(*)

Mà f(1).f(2)<0 (2*)

Từ (*) và (2*) suy ra phương trình (1) có nghiệm duy nhất

Bài 2: Giải hệ phương trình:

3

y x



  





  



(1) ( Khối A 2003) Giải

Với đk x y  0, ta có

3

3

3

(2)

2 1 0 1

( )(1 ) 0

(1 ) 0

x y

x y

xy

y x

  

 

  

  

  



   





Giải (2) ( ; ) {(1;1);( 1 5; 1 5)}

Giải (3),

4

1

2 0

y

x

x x











   



Xét hàm số f(x)= x4  x 2 với x 0

Minf(x)>0  x 0, nên hệ phương trình (3) vô nghiệm.

Chú ý: Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng :

( ) '( ) 1 0,

        nên f(x) = f(y) => x = y rồi thế vào phương trình còn lại trong hệ đề giải

Đây là một sai lầm thường mắc phải của các em học sinh khi sử dụng phương pháp này, bởi vì hàm số f(t) gián đoạn tại t = 0

Nhận xét: Với f' (x)  0 , xD f và y = f(x) liên tục trên D f thì























0 )

; ( 0

)

; (

) ( ) (

y x F

y x y

x F

y f x f

Bài 3: Giải phương trình 100x 1  90 2x 3 2 

Giải:

Với điều kiện 3

2

x  , xét hàm số

2

100 ( 1) 45 (2 3)

liên tục 3

2

x

  suy ra hàm số đồng biến trên [ ;3 )

2  Mặt khác, phương trình có nghiệm x = 2 Vậy x=2 là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 4: Giải phương trình 4(x 2)[log ( 2 x 3) log (  3 x 2)] 15(  x 1) (1)

Giải:

Đkiện x>3, với đk pt(1)

15( 1) ( ) log ( 3) log ( 2) ( )

4( 2)

x

x



Ta có:

2

( 3) ln 2 ( 2) ln 3 5

4( 2)

x



  



Vậy với x>3 thì hsố f(x) đồng

biến, và g(x) nghịch biến Mặt khác f(11) = g(11) = 5, vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 11

Bài 5: Giải bất phương trình: 4 2x 1x2  x1 x3  6x2 15x 14 (6)

Giải:

(6) 2x1 2  x123  x 233x 6

2x 1 3 2x 1 x 2 3 x 2

Xét hàm số f(t)= t3+3t, D = R.

Ta có : f’(t) = 3t2+2 > 0 nên f đồng biến trên R.

Xét x-2 < 0 thì BPT nghiệm đúng

Xét x-2  0 thì 2x-1 > 0 nên BPT  2x 1 x 2  x   1 : đúng

Vậy tập nghiệm S = R.

Bài 7: Giải bất phương trình: 2 sin2 3cos2 log 2005 0

6 3

x

x

 

 

Giải:

Ta có:

x

x

x



Đặt t sin2x,t 0;1

Bất phương trình trở thành: log62005

9

1 3 3

2

















































9

1 3 3

2 ) ( nghịch biến với t 0;1  f(t)f(0)4

Mà log62005 4

Suy ra, bất phương trình đã cho vô nghiệm

b ỨNG DỤNG GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA THAM SỐ:

Bài 1 Cho hàm số f x  mx2  2mx 3

a Tìm m để phương trình (x)  0 có nghiệm x[1; 2].

b Tìm m để bất phương trình (x)  0 nghiệm đúng x[1; 4].

c Tìm m để bất phương trình (x)  0 có nghiệm x 1;3

Giải:

a Biến đổi phương trình (x)  0 ta có:

 

Để (x)  0 có nghiệm x[1; 2] thì    

   

x g x m x g x

8 m

b Ta có x[1; 4] thì f x  mx2  2mx 3 0   m x 2  2x 3

  2 3 , 1; 4

2

  1;4

M in



Do  

 2

3

g x

x



  giảm trên [1; 4] nên ycbt       

1;4

1

8

c Ta có với x  1;3 thì f x  mx2  2mx 3 0   m x 2  2x 3

Đặt   2 3 ,  1;3

2

 Xét các khả năng sau đây:

+ Nếu x 0 thì bất phương trình trở thành m  .0 0 3 nên vô nghiệm

+ Nếu x 0;3 thì BPT  g x  m có nghiệm x 0;3 x Min g x0;3   m



Do  

 2

3

g x

x



  giảm /0;3 nên ycbt      

0;3

1 3 5

x Min g x g m



+ Nếu x   1; 0 thì x2  2x 0 nên BPT  g x  m có nghiệm x   1; 0

1;0

Max g x m



2

3 2 2 0, 1; 0 2

x

Do đó g x  nghịch biến nên ta có Max g x 1;0   g 1 3 m

5



U

Bài 2 (Đề TSĐH khối A, 2007)

Tìm m để phương trình 3 x 1 m x  1 2 4 x2  1 có nghiệm thực

Giải:

ĐK: x 1, biến đổi phương trình

4

x x

Đặt 4 1 41 2 0,1

x

u

Khi đó g t   3t2  2t m

Ta có   6 2 0 1

3

g t  t   t

Do đó yêu cầu 1 1

3

m

   

Bài 3 (Đề TSĐH khối B, 2007): Chứng minh rằng: Với mọi m 0, phương trình x2  2x 8  m x  2  luôn có đúng hai nghiệm phân biệt

Giải:

Điều kiện: x 2

Biến đổi phương trình ta có:

x 2  x 6  m x 2 

x 2  2 x 6 2 m x 2 

x 2 x3 6x2 32 m 0 x 2 V g x   x3 6x2 32 m

Ycbt  g x  m có đúng một nghiệm thuộc khoảng  2;   Thật vậy ta có:

t0
0
1+0–0
–0
– 1

  3  4  0, 2

g x  x x   x Do đó g x  đồng biến mà g x  liên tục và

  2 0; lim  

x

 

  nên g x  m có đúng một nghiệm  2;  

Vậy m 0, phương trình x2  2x 8  m x  2  có hai nghiệm phân biệt

Bài 4 (Đề TSĐH khối D, 2007):

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm

    









Giải:

Đặt u x 1;v y 1

3

x

và u x 1 x 1 2 x.1 2 ; v y 1 2 y. 1 2

Khi đó hệ trở thành

 

8

 





 



 u v, là nghiệm của phương trình bậc hai f t  t2  5t  8 m

Hệ có nghiệm  f t  m có 2 nghiệm t t1 , 2 thỏa mãn t1  2; t2  2

Lập Bảng biến thiên của hàm số f t  với t 2

 

 

f t +

22

+

Nhìn bảng biến thiên ta có hệ có nghiệm 7 2 m 22

4 m

Bài 5: Tìm m để 1 3  1 2  3 4

3

y x  m x  m x đồng biến trên (0, 3)

Giải.

Hàm số tăng trên (0,3)  y  x2 2 m 1 x m 3     0 x 0, 3 (1)

( Dấu = xảy ra tại một số điểm hữu hạn 0,3)

Do y x   liên tục tại x  0 và x  3 nên (1)  y  0 x[0, 3]

 m x 2  1  x2  2x 3  x 0,3    2 2 3 0,3

2 1

x

 



   

0,3

Max



  Ta có:  

2 1

x

 



 g(x) đồng biến trên [0, 3]       

0,3

12

7

x



Nhận xét: Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán là một trong những

phương pháp tối ưu khi giải các bài toán trong các đề thi đại học phần phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, đặc biệt là các bài toán tham số Tuy nhiên, trong phạm vi bài viết này tôi chỉ nêu một số ít bài toán

để các em học sinh tham khảo Tôi hy vọng các em sẽ ứng dụng thành công những gì tôi đã truyền đạt trong đề tài để đạt kết quả tốt trong quá trình học tập cũng như trong kỳ thi tốt nghiệp và các kỳ thi tuyển sinh sắp tới.

C BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:

1 Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

2 2

4 2

1

(Đại học, cao đẳng khối B – 2004)

x

x

4 )

1 (

1 2

2





3 Giải phương trình: log2007(x 1 )  2007x  1

4 Tìm m để bất phương trình ( 4 x)( 6  x) x2  2xm đúng x 4 ; 6

5 Giải bất phương trình x(x8  2x 16 )  6 ( 4  x2 )

6 Giải bất phương trình 5x  12x  13x

7 Giải các phương trình sau:

8 Giải các bất phương trình sau:

1

x



    nghiệm đúng x  1

10 Tìm m để bất phương trình m.4x  m 1 2  x2 m 1 0  đúng  x ¡

11 Tìm m để phương trình: x x x 12 m 5  x  4  x có nghiệm

12 Tìm m để bất phương trình: x3  3x2  1 m x x 13 có nghiệm

13 Tìm m để  4 x  6  x x2  2x m nghiệm đúng   x  4, 6