Ước lượng mức chi tiêu trung bình của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH TM.

Với vấn đề 1 của đề tài thảo luận, đó là: “Ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH Thương Mại ”, nhóm chúng tôi đã xác định dùng phương pháp ước l

LỜI MỞ ĐẦU

Đã từ rất lâu với rất nhiều lứa sinh viên ra trường, bộ môn lí thuyết xác suất

và thống kê toán là một trong những môn gắn bó với sinh viên từ các con số, các phép toán và những ví dụ về thực tế Muốn ươc lượng hay tính sự ngẫu nhiên của

1 hiện tượng nào đó, chúng ta đều cần đến xác suất và có thể, nó gắn bó với con người chúng ta không chỉ trên sách vở nữa Chính vì lí do đó, việc nghiên cứu ước lượng các tham số của đại lương ngẫu nhiên và kiểm định giả thuyết thông kê là rất cần thiết

Lí thuyết ước lượng, lí thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là những

bộ phận quan trọng của thống kê toán Đây là phương tiện giúp ta giải quyết các bài toán nhìn từ góc độ khác liên quan đến dấu hiệu cần nghiên cứu trong tổng thể

 Để ước lượng kì vọng toán của ĐLNN X, người ta giả sử trên một đám đông có E(X)= µ và Var(X) -δ2.

 Trong đó µ chưa biết, cần ước lượng Từ đám đông ta lấy ra kích thước mẫu n:W=( X1,X2…Xn).

 Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu ´x và phương sai mẫu điều chỉnh

S ' 2 .

 Dựa vào những đặc trưng mẫu này ta sẽ xây dựng thống kê G thích hợp.

Với vấn đề 1 của đề tài thảo luận, đó là: “Ước lượng mức chi tiêu trung

bình hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH Thương Mại ”, nhóm chúng

tôi đã xác định dùng phương pháp ước lượng μ khi chưa biết quy luật phân phối của ĐLNN, kích thước mẫu n đủ lớn

Kiểm định giả thuyết thống kê về tỷ lệ của đám đông,thông thường ta thường giả sử dấu hiệu X cần nghiên cứu trên đám đông có: E(X)=μ, Var(X) =σ2, trong đó μ chưa biết Từ một cơ sở nào đó ta tìm được p= po nhưng nghi ngờ về

điều này Với mức ý nghĩa α cho trước ta cần kiểm định giả thuyết Ho: p = po Từ đám đông lấy ra mẫu và tính được các đặc trưng mẫu: X =1

n∑

i

n

X i, S' 2=

1

n−1∑

i

n

(X i−X ).

Lấy một mẫu cụ thể w=(x1… xn), từ mẫu này ta tính được U tn với W α để bác bỏ hay không bác bỏ H0, chấp nhận hay không chấp nhận H1

Đó là phương pháp làm vấn đề thứ 2 của nhóm : “ Hiện nay tỷ lệ tỷ lệ sinh

viên ngoại tỉnh trường Đại học Thương Mại có mức chi tiêu hàng tháng từ 1,4 triệu đồng khoảng 60% Hãy kiểm định khẳng định trên với mức ý nghĩa 5% ”.

Chúng tôi nghiên cứu đề tài này để hiểu rõ hơn về mức chi tiêu của sinh vieen ngoại tỉnh hiện nay Việc nghiên cứu giúp sinh viên hiểu rõ hơn về mức chi tiêu cao hay thấp so với mức chi tiêu trung bình để từ đó có một mức chi tiêu hợp lý

PHẦN I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

I.Ước lượng kì vọng toán của đại lương ngẫu nhiên

Để ước lượng kì vọng toán E(X) = µ của ĐLNN X, từ đám đông ta lấy ra mẫu ngẫu nhiên W = (X 1 , X 2 ,…, X n ) Từ mẫu này ta tìm được trung bình mẫu X và phương sai mẫu điều chỉnh S '2

Ta sẽ được ước lượng µ thông qua

X

Có 3 trường hợp cần xét đó là:

Trường hợp 3: ĐLNN X chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng kích

thước mẫu n > 30.

Với đề tài thảo luận: Ước lượng mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên

ngoại tỉnh trương ĐHTM với độ tin cậy 95%

Chúng ta đi xét trường hợp 3

Theo mục 5.2 chương VI, thì khi kích thước mẫu n > 30, ĐLNN trung bình mẫu

X có phân phối xấp xỉ chuẩn với các tham số:

E(X) = µ và Var ( X ) =

σ2

σ2

n )

Vì vậy:

U =

X−μ σ

√n

≅

N (0, 1) (1)

Khi đó, với 0 < α < 1 cho trước, ta có thể tìm được phân vị u α2 sao cho:

P ( |U| < u α2 ) ≈ 1 – α = γ (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

P (| X - µ | <

σ

√n .u α2 ) ≈ 1 −¿ α =γ

<=> P( X -ε < μ < X +ε) ≈ 1 – α= γ

Trong đó:

ε =

σ

√n .u α2 là sai số ước lượng

γ = 1 – α là độ tin cậy

( X -ε; X +ε) là khoảng tin cậy ngẫu nhiên của µ.

* Chú ý: n, ε, γ có mối liên hệ mật thiết , biết 2 trong đại lượng sẽ tìm được đại

lượng còn lại

Có 3 bài toán cần giải quyết:

Bài toán 1: Biết kích thước mẫu n, độ tin cậy 1−α, cần tìm sai số hoặc khoảng tin cậy

Bài toán 2: Biết kích thước mẫu n, sai số ε, cần tìm độ tin cậy

Bài toán 3: Biết độ tin cậy, biết sai số ε, cần tìm kích thước mẫu n

*Chú ý : - Riêng với bài toán ước lượng kích thước mẫu, vì chưa biết quy luật

phân phối xác suất của X nên phải giả thiết X´phân phối chuẩn

- Nếu chưa biết σ, vì n lớn nên, ta có thể lấy σ ≈ s'

Ví dụ Bài 5.16 : Một sinh viên theo dõi 36 lần thời gian đi từ nhà mình tới trường

và tính được thời gian trung bình cho một lần là 35 phút, phương sai mẫu điều chỉnh là 25 (phút)2 Nếu nói rằng thời gian trung bình cần thiết để đi từ nhà đến trường nằm trong khoảng từ 33 phút đến 37 phút thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu ?

Cho: n = 36 > 30

X = 35

σ2 = 25 2

ε ¿ ( 35, 37)

Tìm γ = ?

Bài làm

Gọi X– thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên.

µ - thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên trên đám đông

X´ - thời gian đi từ nhà đến trường của sinh viên trên mẫu

Vì chưa biết quy luật phân phối của X và n = 36 > 30 nên ta có:

Thì : X

≅

N ( µ,

σ2

n )

¿>¿

U =

X−μ σ

√n

≅

N (0,1) Với 0 < α < 1, tìm được phân vị u α2 sao cho:

P ( |U| < u α2 ) ≈ 1- α =γ  P ( | X - µ | <

σ

√n .u α2 ≈

1- α = γ

Ta có: ε =

σ

√n .u α2 => u α2 =

ε √ n

σ Có ε =

37−33

2 = 2; u α2 =

2 √ 36

5 = 2, 4 => α = 0, 0414 => γ = 1-α = 0, 9586

Vậy độ tin cậy đạt được: γ = 0, 9586

II Kiểm định giả thuyết thống kê.

Để kiểm định giả thuyết thông kê, ta sử dụng các kiểm định sau:

- Kiểm định giả thuyết về kỳ vọng toán của ĐLNN

+ ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với 2 đã biết

+ ĐLNN X trên đám đông có phân phối chuẩn với 2 chưa biết

+ Chưa biết quy luật phân phối xác suất của X nhưng kích thước mẫu n > 30

- Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ đám đông

- Kiểm định giả thuyết về phương sai của ĐLNN phân phối chuẩn

Với đề tài thảo luận: Kiểm định tỉ lệ sinh viên ngoại tỉnh trường Đại học Thương

mại có mức chi tiêu hàng tháng là 1.4 triệu đồng khoảng 60%, với mức ý nghĩa là 5%

Ta xét trường hợp 2: Kiểm định giả thuyết về tỉ lệ đám đông

Xét một đám đông có tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A là p, trong đó p chưa

biết Từ một co sở nào đó người ta tìm được p= p0 nhưng nghi ngờ về điều này Với mức ý nghĩa α cần kiểm định giả thuyết: H0: p= p0 Gọi f là tỉ lệ phần tử mang dấu hiệu A trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n Vì n khá lớn nên f có phân phối xấp

xỉ chuẩn: f ≅ N (p , pq

n )

XDTCKĐ: U =

f − p0

√p0q0

n trong đó: q0 = 1 – p0

Nếu H0 đúng thì U ≅ N(0,1) Xét những bài toán cụ thể:

* Bài toán 1: {H o : p= p0

H1: p≠ p0

Với α cho trước tatìm được phân vị u α

2

saocho :P(|U| > u α

2) = α

Miền bác bỏ: Wα = { utn: |utn| >

u α

2 }, trong đó: utn=

f − p0

√p0q0 n

* Bài toán 2: {H0: p= p o

H1: p >p0 ; Miền bác bỏ: Wα = { unt: unt > uα }

* Bài toán 3: {H0: p= p0

H1: p< p0 ; Miền bác bỏ: Wα = { unt: unt < -uα }

Ví dụ: Điều tra 300 học sinh trung học tại Hà Nội thấy có 66 em bị cận thị Với

mức ý nghĩa 1% có thể nói rằng tỉ lệ học sinh trung học ở Hà Nội bị cận thị nhỏ hơn 25% hay không?

Giải: Gọi X là số học sinh trung học ở Hà Nội bị cận thị

f là tỉ lệ học sinh cận thị trên mẫu

p là tỉ lệ học sinh cận thị trên đám đông

Vì n = 300 khá lớn nên f ≅ N(p;

pq

n )

Với mức ý nghĩa α = 0.01 Ta cần kiểm đinh: H0: p = p0(=0.25) và H1: p < p0

XDTCKĐ: U =

f − p0

√p0q0

n

Nếu H0 đúng thì: U ≅ N(0,1)

Với α cho trước ta xác định uα sao cho: P(U < u α ) = α

Vì α = 0.01 khá bé nên miền bác bỏ: Wα = { unt: unt < -uα }

Ta có: uα = u0.01 = 2.33

Theo đề bài: f =

66

300 = 0.22

=> unt =

0,22−0,25

√0,75.0,25

300 = -1,2 không thuộc Wα => chưa có cơ sở bác bỏ H0. Vậy với mức ý nghĩa 0,01 ta có thể nói rằng tỉ lệ học sinh trung học bị cận thị nhỏ hơn 25%

PHẦN II: BÀI TẬP

Đề bài:

1 Ước lượng mức chi tiêu trung bình của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐH TM.

2 Hiện nay, tỷ lệ sinh viên ngoại tỉnh của trường Thương mại chi tiêu hàng tháng đến 1,4triệu là 60% Hãy kiểm tra lại khẳng định trên.

( ∝=0,05 , γ=0,95 )

a Mẫu số liệu:

BẢNG ĐIỀU TRA

11 Khổng Thị Thanh Phương 47N1 11D170034 Thanh Hóa 2.000.000

12 Cao Thị Quỳnh Trang 47P3 11D200166 Hà Nam 2.000.000

13 Nguyễn Thu Nga 47P4 11D200204 Bắc Giang 2.000.000

16 Nguyễn Thị Khánh Hòa 47T4 11D220195 Bắc Ninh 2.000.000

17 Phạm Thị Thu Trang 47T4 11D220223 Thái Bình 2.500.000

22 Thái Thị Ngọc Quỳnh 48A5 13D100314 Thanh Hóa 2.000.000

23 Nguyễn Thanh Lam 48B5 12D110257 Thái Bình 1.700.000

24 Nguyễn Thị Linh 48B6 12D110320 Thanh Hóa 2.500.000

30 Phạm Thị Vân Anh 48I5 12D140243 hải Dương 2.500.000

32 Lương Thị Hồng Thương 48K1 12D240044 Hải Dương 2.300.000

33 Trần Thị Thu Hương 48K1 12D240020 Hải Dương 2.000.000

36 Trương Thị Thu Hà 48K1 12D240071 Thanh Hóa 1.300.000

42 Vũ Đức Thành Công 48K2 12D240086 Hải Dương 3.000.000

47 Lê Thị Dung 48K3 12D240127 Thanh Hóa 1.500.000

53 Nguyễn Thị Hồng Nhung 48K4 12D240168 Bắc Ninh 2.000.000

59 Hoàng Thanh Quang 48K4 12D240225 Thái Bình 1.100.000

60 Ngô Thị Thùy Trang 48K4 12D240125 TháiNguyên 2.000.000

61 Phạm Thị Chuyền 48K5 12D240244 Thái Bình 1.500.000

65 Ngô Thị Thu Huyền 48K5 12D240258 Bắc Ninh 2.500.000

68 Nguyễn Thị Hải Yến 48K5 12D240291 Hải Phòng 2.000.000

69 Trương Trung Đức 48K5 12D402448 Hải Dương 2.500.000

74 Nguyễn Thị Tươi 48K5 12D240289 Thái Bình 2.500.000

81 Trần Thị Tuyến 48K5 12D240289 Thái Bình 2.000.000

82 Nguyễn Hương Giang 48K5 12D240249 Hưng Yên 2.000.000

83 Nguyễn Thị Hường 48K5 12D240210 Hải Dương 2.000.000

84 Bùi Thị Quỳnh Mai 48N5 12D170264 Hòa Bình 2.500.000

85 Bùi Nguyễn Diệu Linh 48P1 12D200027 Ninh Bình 2.000.000

86 Nguyễn Thị Thanh Huyền 48P5 12D200236 Thái Bình 2.000.000

87 Nguyễn Thị Lan Anh 48S2 12D190101 Nghệ An 3.000.000

88 Tạ Thị Thùy Duyên 48S3 12D190127 Thanh Hóa 2.000.000

97 Nguyễn Thị Thanh Mai 49S4 13D196236 Hải Phòng 2.000.000

98 Phạm Thị Thu Huyền 8CK3B 13H150325 Hải Dương 2.000.000

99 Phạm Đức Dũng CNTH-TNA6 11K620014 Thái Bình 1.000.000

100 Đỗ Thị Hồng Thu K48A1 12D100041 Nam Định 2.000.000

105 Nguyễn Thu Thủy K48A3 12D240223 Bắc Ninh 2.000.000

106 Đặng Thị Phương Lan K48A3 12D100021 Phú Thọ 2.000.000

109 Nguyễn Thị Tuyết K48A5 12D240109 Thái Bình 2.000.000

110 Đoàn Thị Huyền Trang K48A5 12D100046 Hải Dương 2.000.000

114 Lê Tuấn Anh K48D3 13D150051 Thanh Hóa 3.000.000

116 Nguyễn Trung Kiên K48D4 11D150026 Nghệ An 2.500.000

118 Nguyễn Phương Thúy K48E2 13D220113 Quảng Ninh 2.000.000

120 Hoàng Thị Trang K48K1 12D240045 Thanh Hóa 2.000.000

122 Lương Thị Hồng Thương K48K1 12D240044 Quảng Ninh 2.000.000

123 Trần Thị Thu Hương K48K1 12D240020 Ninh Bình 2.000.000

125 Đồng Kim Tuyến K48K2 12D240108 Thái Bình 2.000.000

126 Nguyễn Văn Trường K48K2 12D240107 Hà Nam 2.500.000

127 Nguyễn Ngọc Tú K48K2 12D240049 Hải Dương 3.000.000

128 Trương Văn Thùy K48K2 12D240103 Hưng Yên 1.500.000

129 Nguyễn Ngọc Trường K48K3 12D240167 Hà Tĩnh 2.500.000

130 Nguyễn Thị Thủy K48K3 12D240163 Bắc Ninh 2.000.000

133 Nguyễn Minh Thiện K48K4 12D240220 Thanh Hóa 2.000.000

135 Nguyễn Thị Vân Anh K48K4 12D240182 Quảng Ninh 3.000.000

139 Phan Thị Duyên K48K4 12D240187 Hải Dương 3.000.000

140 Nguyễn Thị Giang K48K4 12D240189 Thanh Hóa 1.900.000

142 Hoàng Thị Mỹ Hạnh K48K4 12D240191 Thanh Hóa 2.000.000

143 Nguyễn Thị Hằng K48K4 12D240192 Nam Định 2.500.000

148 Đinh Văn Hùng K48K4 12D240199 Hải Phòng 3.500.000

152 NGuyễn Hải Linh K48K4 12D240204 Ninh Bình 2.500.000

153 Nguyễn Huy Tuân K48K4 12D240227 Hưng Yên 2.500.000

156 Phạm Thị Thanh Thảo K48K5 12D240277 Hà Nam 2.000.000

158 Đinh Huy Hoàng K48U1 12D130076 Bắc Giang 3.000.000

BẢNG THỐNG KÊ

Mức

chi

tiêu

1 1,1 1,3 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,8 3 3,5

Số

Sinh

Kích thước mẫu: n=160

Đơn vị mức chi tiêu: triệu VNĐ

b Giải quyết bài toán:

Bảng phân phối thực nghiệm

Mứ

c

chi

tiêu

1 1,1 1,3 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,8 3 3,5

Kích thước mẫu: n = 160

Đơn vị mức chi tiêu: triệu VNĐ

1 Ước lượng mức chi tiêu trung bình của sinh viên ngoại tỉnh trường Đại học Thương mại.

Gọi:

X là mức chi tiêu hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐHTM.

ĐHTM trên mẫu

μ= E(X ) là mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐHTM trên đám đông

Vì n = 160 > 30 nên Xcó phân phối xấp xỉ chuẩn : X´ ≃ N ( μ, σ2

n )

⇒ U=X−μ´

σ /√n ≃ N (0,1)

Nên với α = 1- γ ta có thể tìm được phân vị: u ∝

2 = u0.025 = 1.96 thỏa mãn:

P ( |U| < u ∝

2 ) ≈ 1−¿α = γ

Thay biểu thức của U vào công thức trên ta có:

P ( |X´ – μ| < σ

√n u ∝2 ) ≈1−¿ α = γ

⟺ P ( X´ – ε < μ < X´ + ε ) ≈1−¿α = γ=¿ 0.95

Trong đó : ε = σ

√n

u ∝

2

Ta tìm được khoảng tin cậy đối xứng của µ: ( X´ – ε; X´ + ε )

Vì σchưa biết, kích thước mẫu lớn ta lấy: σ ≈ s’ (n>30)

X =∑

i=1

n

n i x i=¿2.1125

Ta có : s’ = √s ’2 =√ 1

n−1∑

i=1 n

n i¿ ¿ ¿ ¿ = 106002093 ≈ 0.1975

⇒ σ ≈ 0.1975 ⇒ ε = σ

√n

u ∝

2 = 0.1975

√160 1.96 ≈0.0306 Thay vào công thức khoảng tin cậy ta được :

X´ −¿ σ

√n u α2 = 2.1125 – 0.0306 = 2.0819

X´ + σ

√n u ∝2 = 2.1125 + 0.0306 = 2.1431

Vậy mức chi tiêu trung bình hàng tháng của sinh viên ngoại tỉnh trường ĐHTM nằm trong khoảng: (2.0819 triệu VNĐ; 2.1413 triệu VNĐ).

2 Hiện nay, tỷ lệ sinh viên ngoại tỉnh của trường Thương mại chi tiêu hàng tháng đến

1,4triệu là 60% Hãy kiểm tra lại khẳng định trên.

Tóm tắt : P0=0.6, n=160, nA=150, f=150160=0.9375, α=0.05

Kiểm định giả thuyết : {H0: p= p0

H1: p≠ p0

Giải

p là tỉ lệ sinh viên ĐHTM có mức chi tiêu trung bình hàng tháng từ 1.4 triệu VNĐ trên đám đông.

f là tỷ lệ sinh viên ĐHTM có mức chi tiêu trung bình hàng tháng từ 1.4 triệu VNĐ trên mẫu

Với α =0.05 ta kiểm định bài toán {H0: p=0.6

H1: p≠ 0.6

Xây dựng tiêu chuẩn kiểm định U=

f − p o

√p o q o n

(p0=0.6)

Ta có n=160 ⇒ f ¿ N(p;

pq

n )

Nếu giả thiết H0 đúng thì U ¿ N(0;1) nên với α=0.05 ta tìm được phân vị chuẩn: u ∝

2= u0.025 = 1.96 thỏa mãn: P(|U| >u ∝

2) = α = 0.05

⇒ Miền bác bỏ Wα= {utn:|u tn| >u ∝

2} = {utn:|u tn| >1.96}

Tìm utn =

f tn−p0

√p0q0 n

Với giả thiết đã cho thì ftn =

150

160 = 0.9375, p0=0.6, q0=0.4, n=160

⇒ utn =

0.9375−0.6

√0.6×0.4

160 =8.7209 >1.96.

Kết luận: Do u tn ∈ W α nên ta bác bỏ H 0 và chấp nhận H 1 Tức là tỷ lệ sinh viên trường ĐHTM có mức chi tiêu trung bình lớn hơn 1.4 triệu đồng khác 60%.

PHẦN III: MỞ RỘNG

I Mở rộng đề tài:

Đề tài: Ước lượng mức điểm trung bình môn Xác suất thống kê của sinh viên trường ĐHTM với độ tin cậy 95%

Hiện nay tỷ lệ sinh viên trường ĐHTM có điểm trung bình môn Xác suất thống kê

là 5.5 khoảng 40% Hãy kiểm định lại khẳng định trên với mức ý nghĩa 5%

II.Ứng dụng ước lượng và kiểm định giả thuyết thống kê:

Ứng dụng kiểm định giả thuyết thống kê:

Lý thuyết kiểm định các giả thuyết thống kê là một bộ phận quan trọng của thống

kê toán Từ đó mà nó có rất nhiều ứng dụng trong thực tế:

 Trong kinh tế:

 Ta có thể kiểm tra, xác thực xem lợi nhuận trung bình thu được trong phương án kinh doanh, cũng như so sánh được tính hiệu quả giữa các phương án đó

 Kiểm soát được hiệu quả của việc thay đổi các chiến lược kinh doanh

 Kiểm tra và so sánh được mức độ rủi ro của các quyết định trong kinh doanh

Từ những kiểm định tính toán được mà các nhà kinh doanh có được những phản hồi đối với công tác quản trị, biết rõ được thực trạng tổ chức của mình, những vấn