SKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

SKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶPSKKN MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG

KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP

I/ PHẦN MỞ ĐẦU

I.1) Lý do chọn đề tài

Bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là một bài toán quan trọng của môn hình học giải tích Các bài toán này thường có trong các đề thi về môn Toán ở các kỳ thi vào Đại học và Cao đẳng trong tất cả các năm

Đây là một bài toán mà đa số học sinh gặp nhiều khó khăn trong việc tìm ra cách giải, học sinh nhiều khi không giải được các bài toán này, mặc dù trình độ các em hoàn toàn có thể giải được

Từ những nguyên nhân trên và bằng kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, tôi hệ thống lại một số dạng toán viết phương trình đường thẳng trong không gian thường gặp, nhằm giúp các em học sinh giải các bài toán này một cách dễ dàng hơn

I.2) Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Nhằm giúp các em học sinh giải được các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, góp phần nâng cao chất lượng bài làm trong thi cử

I.3)Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp 12

I.4) Giới hạn phạm vi nghiên cứu: học sinh các trường THPT

trong thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đăk Lăk

I.5) Phương pháp nghiên cứu: tìm hiểu nghiên cứu các tài liệu về

dạng bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, tổng hợp kết quả các bài kiểm tra 15 phút, 45 phút, đề thi Đại học qua nhiều năm, …

II/ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG DỤNG

II.1) Cơ sở lý luận

Qua quá trình dạy toán ở cấp THPT với đề tài “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP”, việc tìm ra cách để giải một bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là một vấn đề không quá khó Tôi hy vọng đề tài này sẽ giúp ích cho các em học sinh lớp 12 trong việc giải các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian, giúp các em có phương pháp giải nhất định đối với bài toán này Từ đó các em sẽ hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi

II.2) Thực trạng

a)Thuận lợi- khó khăn

Học toán và tìm cách giải một bài toán là một vấn đề khó khăn đối với nhiều học sinh có kiến thức chưa vững Trong khi đó bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian là một bài toán khá quan trọng của chương trình lớp 12 Nhận ra được mối liên hệ giữa đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian, nhưng khi bắt tay vào viết phương trình đường thẳng, học sinh vẫn thường xuyên lúng túng Do

đó kết quả bài làm không cao

b) Thành công- hạn chế

Việc tìm ra cách giải và thực hiện một bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian đối với học sinh không còn quá khó khăn nữa Tuy nhiên học sinh vẫn còn lúng túng, nhiều học sinh vẫn thụ động, dù đã nhận biết được sẽ giải bài toán này theo phương pháp nào, gồm những bước gì nhưng khi trình bày lại có nhiều thiếu sót

c) Các nguyên nhân, yếu tố tác động

Với kinh nghiệm giảng dạy tôi nhận thấy rằng nhiều học sinh rất ngại học toán và giải các bài toán về viết phương trình đường thẳng trong không gian Trong giờ học các em tỏ ra mệt mỏi, lười suy nghĩ Nếu như các em không nắm được một số dạng bài toán về viết phương trình đường thẳng trong không gian thường gặp thì khi làm bài kiểm tra về phần này, cũng như khi thi tốt nghiệp THPT và thi Đại học, Cao đẳng, các em sẽ dễ dàng bỏ qua bài toán này, và như thế kết quả số học sinh đạt điểm cao môn Toán là không nhiều

III/ NỘI DUNG

III.1) Mục tiêu

Giúp học sinh có những tư liệu có ích, cải tiến phương pháp học toán nói chung và phương pháp giải bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng

III.2) Nội dung “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP”

A Kiến thức cơ bản

Trước khi giới thiệu các dạng toán viết phương trình đường thẳng thường gặp, tôi xin đề cập đến phần kiến thức cơ bản của phương trình đường thẳng trong không gian Đây không phải là một phương pháp đặc biệt ,mà đây là kiến thức học sinh phải biết nếu muốn viết phương trình đường thẳng

Đường thẳng trong không gian được cho bởi các dạng cơ bản sau

(Mỗi giá trị t cho ta một giá trị tương ứng x y z, , là tọa độ của một điểm

  ; với điều kiện abc 0.

B Các yếu tố để một đường thẳng được xác định

- Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt

- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó Đường thẳng này gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng

- Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đó

- Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì nó song

song với một đường thẳng nào đó của mặt phẳng

- Qua một điểm cho trước, có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng cho trước

- Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

đó

C Một số dạng toán thường gặp

Khi nắm vững phần lý thuyết này các em sẽ xác định rõ nhiệm vụ khi gặp bài toán viết phương trình đường thẳng, từ đó vận dụng linh hoạt các phương pháp giải toán được đề nghị qua các bài toán sau đây

Để tiện cho việc trình bày, tôi sử dụng một số từ viết tắt và ký hiệu sau:

*Cách giải

- Tìm VTCP theo yêu cầu đề bài, cần lưu ý các dạng sau:

(1)  đi qua A;BuAB (2)  (P) u nP

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham

số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng  đi qua hai điểm A(1;2;3),B(3;5;7)

Giải

-  đi qua hai điểm A và B nên có vectơ chỉ phương là AB2;3; 4 

- Vậy phương trình tham số của  là :

Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2007)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm

1; 4; 2 ,  1; 2; 4

A B  Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB Viết phương

trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (OAB) tại G

Ví dụ 3: (Đề Cao đẳng khối A, B, D năm 2009)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có

1;1;0 , 0; 2;1

A B và trọng tâm G0; 2; 1   Viết phương trình đường thẳng 

đi qua điểm C và vuông góc với mặt phẳng (ABC)

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;1;0) và

mặt phẳng  P :x2y2z 9 0 Viết phương trình đường thẳng  qua A

Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

đường thẳng  qua A(1;2;3) và song song với đường thẳng

1 2: 3 2

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

đường thẳng  qua A(1;1;1) và vuông góc với hai đường thẳng

Ví dụ 7: (Đề Đại học khối B năm 2013)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho các điểm A1; 1;1 ,  B 1; 2;3

và đường thẳng : 1 2 3

x y z

 Viết phương trình đường thẳng đi

qua A, vuông góc với hai đường thẳng AB và 

Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

a/ Viết phương trình đường thẳng  song song với mặt phẳng

 P : x y z+1 0 , qua điểm M1,1,1 và vuông góc với đường thẳng

b/ Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

  : 3x y 5z 1 0  , qua một điểm thuộc Oy và vuông góc với đường

- Vì d nằm trong   và đi qua điểm thuộc trục Oy nên d qua A

- Lại có VTPT của   là n3;1; 5  và VTCP của a là a3; 5; 3  nên VTCP của d là: n a ,    2 14;3;9  

- Do đó phương trình của d là: 1

14 3 9

x y z

Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

1 Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng  đi qua hai điểm

a) A(1;-2;3), B(3;0;0) b) M( 0;2;-1), N(2;3;6)

2 Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với  

trong mỗi trường hợp sau:

5 Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mặt phẳng

  : 3x y 5z 1 0  , cắt trục Oy và vuông góc với đường thẳng 1

- Dễ thấy  qua M và A, từ đó suy ra phương trình của 

Ví dụ : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2004)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A 4; 2; 4 và đường thẳng

3 2: 1

1; 0;3

1 42x 4z 10 0

- Dễ thấy  qua A(-4;-2;4) và H nên phương trình :

BÀI TOÁN 2: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M , cắt

và vuông góc với đường thẳng d cho trước

- Viết PTTS của đường thẳng d

- Gọi H   d tọa độ của H theo tham số t

- Ta có MH  d MH u  d 0 Từ đó suy ra giá trị của tham số và phương trình đường thẳng 

Với ví dụ trên, ta có thể giải như sau

BÀI TOÁN 3: Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt

phẳng (P), cắt và vuông góc với đường thẳng d cho trước

Ví dụ: (Đề tuyển sinh Đại học khối D-2009)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

BÀI TOÁN 4: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M, cắt

đường thẳng d’ và vuông góc với đường thẳng d cho trước

*Cách giải

- Viết phương trình mặt phẳng  P đi qua M và vuông góc với d

- Tìm giao điểm N  d'  P

- Viết phương trình MN

Ví dụ 1: (Đại học khối D năm 2011)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) và đường

- Mặt phẳng (Q) đi qua A và vuông góc với d Q : 2x y 2z 2 0

- Gọi M là giao điểm của Ox và (Q)M1;0;0

- VTCP của  là AM

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

đường thẳng  đi qua điểm A0;1;1, vuông góc với đường thẳng

33x 2 0

- Đường thẳng  là tập hợp các điểm M x y z ; ;  thỏa mãn hệ phương

trình đường thẳng đi qua hai điểm đó

(2) Tìm tọa độ một điểm A thuộc  và một VTCP của nó rồi viết

PTTS của 

(3) Trong hệ (1) Cho z f t t ,  (thường cho zt hoặc yt hoặc

xt), rồi tìm x y, theo t Từ đó suy ra phương trình tham số của 

Ví dụ: Cho hai mặt phẳng   và  ' lần lượt có phương trình

giao tuyến của hai mặt phẳng   và  '

- Lại cho z=1, ta được x=-10, y=5 Vậy A'10;5;1 cũng thuộc d

- VTCP của d là AA'  5;3;1 nên d có phương trình tham số là:

- Gọi n11; 2; 1  là VTPT của mặt phẳng   , n2 1;1; 2 là VTPT của mặt phẳng  ' Đường thẳng d vuông góc với hai vectơ n1

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa M và đường thẳng a

- Tìm giao điểm B của b và (P)

- Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua M và B

BÀI TOÁN 6: Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M, cắt hai đường thẳng a, b cho trước

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

đường thẳng d đi qua điểm M3;10;1và cắt cả hai đường thẳng

09x 5 16z 61 0

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình

đường thẳng d đi qua điểm A1; 1;1 và cắt cả hai đường thẳng

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình

đường thẳng d đi qua điểm M 4; 5;3và cắt cả hai đường thẳng

*Cách giải 3: ngoài hai cách giải trên, ta có thể viết phương trình

đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng

- Lấy bất kỳ điểm Aa; Bb (thường chọn luôn trên đề) Tính

;

AM BM

 

  

; từ đó đưa ra kết luận

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình

đường thẳng đi qua điểm M1; 1;1 và cắt cả hai đường thẳng

- Đường thẳng d1 đi qua điểm A1; 0;3 có VTCP u12;1; 1 

- Đường thẳng d2 đi qua điểm B2;3; 0 có VTCP



không cùng phương với u1

và cũng không cùng phương với u2

+ Vì thế trong  P thì d cắt d1; trong  Q thì d cắt d2 Vậy d là đường thẳng duy nhất cần tìm

- Đường thẳng d đi qua điểm M1; 1;1 và nhận u   6; 1; 7 làm VTCP nên có phương trình:

Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường

thẳng nằm trong mặt phẳng  P :y2z0, cắt hai đường thẳng

- Gọi A  1  P  Tọa độ điểm A thỏa mãn:

BÀI TOÁN 7: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng

 P , cắt hai đường thẳng a b, cho trước

 

1

1

0 1; 0; 04

02z 0

12z 0

- Vì đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng (P) nên nhận VTPT n P



của (P) làm VTCP

- Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a và  Mặt

phẳng (Q) đi qua một điểm M thuộc a và có VTPT là n Q  u n a, P

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình

đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P :x2y  3z 5 0 và cắt cả

- Gọi  Q là mặt phẳng chứa hai đường thẳng d và d1 có VTPT là

- Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng a và vuông

- Từ đó viết phương trình  qua M có VTCP nP

Với ví dụ 1, ta có lời giải sau:

1532

Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình

đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P :x   y z 1 0 đồng thời cắt

2 5 5 55

 Gọi  2 là giao tuyến của (P) và (Q) Viết phương

trình đường thẳng d vuông góc với (R) và cắt cả hai đường thẳng

+ Gọi M'    ( )P Tìm tọa độ điểm M’

- Đường thẳng d’ đi qua M’ và có VTCP là ud

+ Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa d và    Q  P

+  là hình chiếu của d lên mặt phẳng  P      P  Q

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  là giao tuyến của hai mặt phẳng   :x   y z 5 0,  : 2x 3 y  z 4 0 và mặt phẳng  P : 3x2y z 150

a) Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa  và    Q  P

b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng  lên mặt phẳng  P

Giải

a) Đường thẳng  là giao tuyến của   và   nên có VTCP là

Ví dụ 2: (Đề dự bị 1- Đại học khối A năm 2006)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A0;0;0 , B 2;0;0 , C 0; 2;0 , ' 0;0; 2 A 

a) Chứng minh A’C vuông góc với BC’ Viết phương trình mặt phẳng (ABC’)

b) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng B’C’ trên mặt phẳng (ABC’)

Hình chiếu d của B’C’ lên (ABC’) là giao tuyến của   với

(ABC’)

 Phương trình

4 2:

( là hình chiếu của d trên Oxy)

2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

 P :x   y z 1 0 và đường thẳng

1: 1

x y

a) Tìm giao điểm A của  và  P

b) Viết phương trình đường thẳng ’ đi qua A, ’ nằm trong  P và đồng thời ’

Giải

a) Tọa độ giao điểm của  và  P là nghiệm của hệ phương trình:

1

11

11

1 0

x

x y

phương trình đường thẳng  đi qua trực tâm của tam giác ABC, nằm

trong mặt phẳng (ABC) và vuông góc với đường thẳng d

nên ABC ABC, d 12; 2; 11

Đs:

1:

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau

b) Viết phương trình đường vuông góc chung của d1 và d2

BÀI TOÁN 11: Viết phương trình đường thẳng  là đường vuông góc chung

của hai đường thẳng a và b chéo nhau