SKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trịSKKN Tìm GTLN, GTNN bằng phưng pháp miền giá trị
Trang 1Phần I đặt vấn đề
Mục đích việc giảng dạy toán ở trờng THPT là dạy cho học sinh
về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kĩ năng giải toán, từ
đó giúp cho học sinh khai thác các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn toán và hình thành t duy lôgic, sáng tạo cho học sinh Vì vậy, ngời giáo viên cần dạy cho học sinh kĩ năng giải bài tập; từ đó yêu cầu đặt ra là ngời giáo viên phải dạy cho học sinh phơng pháp tiếp cận và giải quyết các dạng bài toán nh thế nào
Chơng trình toán phổ thông có rất nhiều dạng toán, phong phú
về nội dung cũng nh hình thức, trong đó có rất nhiều dạng bài toán khó nh chứng minh bất đẳng thức, biện luận số nghiệm của phơng trình, bất phơng trình, và dạng toán “Tìm giá trị lớn nhất
và giá trị nhỏ nhất” cũng nằm trong số đó Bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất một hàm số hay một biểu thức là một trong những bài toán đợc quan tâm nhiều nhất trong các kì thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia; đồng thời bài toán này cũng thờng xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học, cao đẳng những năm gần
đây.Chính vì thế, việc dạy cho học sinh nắm bắt phơng pháp
và rèn luyện tốt kĩ năng giải bài toán này là hết sức cần thiết Mặt khác, thông qua việc giải các bài toán này giúp cho học sinh phát triển đợc t duy lôgic, sáng tạo, khả năng suy luận,phán đoán Điều
đó giúp học sinh học tốt môn toán hơn và giải quyết những vấn
đề trong cuộc sống một cách linh hoạt và có hiệu quả hơn
Bài toán tìm giá trị lớn nhất(GTLN) và giá trị nhỏ nhất(GTNN) của một hàm số hay một biểu thức có nội dung phong phú, đa dạng về hình thức,nhiều mức độ và nhiều phơng pháp giải khác nhau Trong phạm vi rất nhỏ, tài liệu này chỉ trình bày một trong những phơng pháp đó ”Phơng pháp miền giá trị” tìm GTLN,GTNN là phơng pháp hữu ích giúp học sinh giải loại bài toán này một cách rõ ràng, mạch lạc và có hiệu quả Tài liệu trình bày phơng pháp thông qua các ví dụ học sinh rất dễ nắm bắt; ngoài
ra phần bài tập đề nghị giúp học sinh củng cố phơng pháp và rèn luyện kĩ năng giải loại bài toán này bằng phơng pháp trên
Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 1
Trang 2Phần II Nội dung
I Bổ sung kiến thức
1 Định nghĩa GTLN,GTNN
• Cho hàm số y = f(x) xác định trên D Khi đó:
+ M là GTLN của hàm số f(x) trên D nếu
M f (x), x D
x D : f (x ) M
≥ ∀ ∈
+ m là GTNN của hàm số f(x) trên D nếu
m f(x), x D
x D: f(x ) m
≤ ∀ ∈
• Cho biểu thức P F(x,y)= với x D∈ ⊂Ă ; y D'∈ ⊂Ă Khi đó:
+ M là GTLN của P nếu
M F(x,y), x D, y D' (x ; y ): x D, y D' : F(x ; y ) M
≥ ∀ ∈ ∀ ∈
+ m là GTNN của P nếu
m F(x,y), x D, y D' (x ; y ): x D, y D' : F(x ; y ) m
≤ ∀ ∈ ∀ ∈
*Chú ý: Với biểu thức nhiều biến ta định nghĩa tơng tự.
2 Định nghĩa miền giá trị(tập giá trị) của hàm số
• Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D
Tập hợp f(D)= ∈{y Ă / y f(x),x D= ∈ } đợc gọi là miền giá trị (tập giá
trị) của f(x).
• Cho biểu thức P = F(x,y) với x D, y D'∈ ∀ ∈
Tập hợp {P∈Ă / P F(x,y),x D,y D'= ∈ ∈ } đợc gọi là miền giá trị (tập giá
trị) của P
II Phơng pháp miền giá trị tìm GTLN,GTNN
1.Phơng pháp miền giá trị
Để tìm GTLN,GTNN của hàm số y=f(x) trên D; ta thực hiện các
bớc sau:
• Bớc1: Gọi T là tập giá trị(TGT) của hàm số y = f(x).Khi đó,
Trang 3+y0 ≥ ∀ ∈ ⇒m, x D min f(x) m D =
+m y≤ ≤0 M, x D∀ ∈ ⇒Max f (x) M; Min f (x) m D = D =
• Chú ý:
+ PT ax2 +bx c+ =0(a≠0) có nghiệm ⇔ ∆ ≥0
0
asinx bcosx c(a+ = +b ≠ ) có nghiệm ⇔a2 +b2 ≥c2
2 Một số ví dụ minh hoạ
2
2
0
: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
Giải: Hàm số có tập xácđịnh là ; gọi T là tập giá trị của hàm số Khi đó,
(y )
= − + +
∈ ⇔ − + + =
⇔ ∆ ≥ ⇔ − − ≥
Ă
Ă
Ví dụ 1
0
61 4
⇔ ≤
= ⇔ =
2 2
2
2
1
1
: Tìm GTLN,GTNN của hàm số
Giải: Tập xácđịnh : ; Gọi T là tập giá trị của hàm số Ta có:
y T pt có nghiệm trên
x x y
x x
x x
y
x x (y )x (y
+ −
=
− + + −
− +
Ă
Ă
Ví dụ 2
0 0
2
1 0
(2*) có nghiệm trên Nếu y có nghiệm
Nếu y : (2*) có nghiệm
ậy ax đạt khi đạt khi
)x y
+ + =
Ă
Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 3
Trang 40
: Tìm GTLN,GTNN của hàm số inx
Giải: Gọi y là 1 giá trị bất kì của hàm số Khi đó,
pt inx có nghiệm trên
Ă
Ví dụ 3
10
3 10
3 0
ậy ax (chẳng hạn khi acr
(chẳng hạn khi acr
.
π π
Ă
Ă
: Tìm GTLN,GTNN của hàm số in x+3 x Giải: Tập xác định của hàm số là
ọi T là tập giá trị của hàm
y s cos x sin cosx
G
Ă
Ví dụ 4
2
số Ta có:
Ă
0
1 2
1 2 1
inx : Tìm GTLN,GTNN của hàm số
inx Giải: TXĐ : Gọi T là tập giá trị của hàm số Ta có:
inx
inx
s cosx y
s cosx
s cosx
y
s cosx
(y )s
=
Ă
Ă
Ví dụ 5
0
2
có nghiệm trên
)cosx y (y ) (y ) ( y )
Ă
Trang 51,
: T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè a sao cho
inx Gi¶i:
* Hµm sè cã TX§ lµ ;gäi T lµ tËp gi¸ trÞ
inx
Ta cã:
y T PT
a x a
x x
a x a y
x
a x a
+ − < ∀ ∈
+ −
=
+ −
∈ ⇔
¡
¡
VÝ dô 6
0
cã nghiÖm trªn inx
y x
=
¡
¡
Gv: Ph¹m V¨n Hng - Trêng THPT TrÇn Hng §¹o Trang 5
Trang 62 2
0
2
7
3
7
3
KÕt luËn
y
a
a
a
− >
+ + < −
<
¡
¡
2
2
2
2
0
sin 2
x
in x Gi¶i:
Gäi T lµ tËp gi¸ trÞ cña nã Ta cã:
o
y T PT
x
y
c x
x c
+ < − ∀ ∈ +
+
∈ ⇔
¡
¡
VÝ dô 7
0
0
s
cã nghiÖm trªn os
Tõ (7*) vµ
x
y
c x
x y
+ =
−
> − ∀ ∈ ⇔ > −
¡
¡
¡
¡
¡
min (7**) suy ra ®iÒu chøng h
Trang 73 Bài tập đề nghị
2 2 2 2
2
2 1
1
1 3)
Tìm GTLN,GTNN của hàm số
a)
b)
Tìm tất cả giá trị của sao cho
Tìm giá trị của a để giá trị lớ n nhất của biểu thức:
y
x
x x y
kx
x x
=
+
− +
=
( )
1
2
: sin sin sin
asinx đạt giá trị nhỏ nhất
osx Cho thoã mã n
Tìm giá trị lớ n nhất của biểu thức
c
f
+ +
=
Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 7
Trang 8iiI Phơng pháp tìm gtln,gtnn của biểu thức hai biến số
Đối với bài toán tìm GTLN,GTNN của một biểu thức 2 biến số trong đó 2 biến bị ràng buộc bởi một điều kiện cho trớc, ta có thể
mở rộng phơng pháp trên để giải các bài toán đó
1.Bài toán
Cho các số thực x,y thoã mãn biểu thức G(x,y) = 0
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức P = F(x,y)
2 Phơng pháp giải.
Ta có thể các dạng bài toán trên theo phơng pháp chung gồm các bớc sau
• Bớc 1: Gọi T miền giá trị(TGT) của biểu thức P Khi đó:
( , ) 0 ( , )
T G x y
m
F x y m
=
(*) có nghiệm (x,y) thoả mãn điều
kiện
• Bớc 2: Tìm điều kiện có nghiệm của hệ (*), từ đó suy ra GTLN,GTNN của P
3 Một số ví dụ minh hoạ
Trang 92 2
0
0 0
: Cho các số thực x,y thoã mã n điều kiện
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức
Giải: Vớ i đều kiện , ta xét các tr ờng hợ p sau:
x xy y P
x xy y
− +
=
+ ≠
= ⇒ ≠ ⇒
Ví dụ 8
2 2 2
1
1 1 1
1 1 1
Nếu x 0 Đ ặt ta có
Hàm số có tập xácđịnh : ; Gọi T là tập giá trị của hàm số Ta có:
x x t x t t t P
x x t x t t t
t t y
t t
t t
y
t t
=
=
− +
=
+ +
− +
+ +
Ă
2
0
1
3 3
1 3
3
ên
ậy ax
(y )t (y )t y
y
V : M P ; MinP
⇔ ≤ ≤
Ă
Ă
Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 9
Trang 102 2 2 2 0
1 2
: Cho các số thực x,y thoã mã n điều kiện
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức
Giải: Gọi là 1 giá trị thuộc tập giá trị của Khi đó hệ sau có
(xy y ) P
xy x
+
=
Ví dụ 9
2
0
2 2 2
nghiệm
(9*)
Nếu x 0 Đ ặt ta có
:
(x t x t ) t t P
x t x x t
=
2 2 2
0 2 2
2
0
2
(9**)
Ta có pt có nghiệm trên
(Do
t t
(P )t (P )t P
+ +
+ +
+
=
Ă
Ă
2
P= − .
: Cho 2 số thực x,y thay đổi thoã mã n điều kiện (x+y)xy
Tìm GTLN của biểu thức
Giải: Gọi tập giá trị của Khi đó,
x y xy Q
x y
m T
∈ ⇔
Ví dụ 10
(x+y)xy
(*) có nghiệm x 0,y 0
x y xy m
+ =
Trang 112 2
2
2 2
2
2
3
3 4
4 0
(x+y)xy
Hệ (*) có nghiệm x 0,y 0 hệ (**) có nghiệm (S,P) vớ i S
Ta có vớ i x 0,y 0 nên suy ra:
+
(x y) xy (x y)
m (xy)
SP S P
S x y
P
P.
SP
⇔ +
=
= +
2 2
0
0
4
(*) vô nghiệm + Thay vào hệ (**) ta đ ợ c:
vớ i Trong tr ờng hợ p này hệ (**) có nghiệm thoã mã n S khi và chỉ khi (
m
S
P
≤ ⇒
> ⇒ = ⇒ =
≥
2
Tóm lại các giá trị của để hệ (*) có nghiệm x 0,y 0 là ,
ax
+
=
: Cho 2 số thực x,y thay đổi thoã mã n điều kiện x
Tìm GTLN của biểu thức
Giải: Đ iều kiện:
Gọi tập giá trị của Khi đó, hệ sa
Q x y
x ; y
= +
≥ − ≥ −
∈ ⇔
Ví dụ 11
3
2 9
u có nghiệm : x
Đ ặt ; thì và hệ (*) thành
m
u v (u v) m
+ =
+ =
⇔
Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 11
Trang 122
1
0 3
là nghiệm của ph ơng trình
Từ đó hệ (*) có nghiệm ( thoả mã n
có nghiệm không âm
(**)
m S
P
⇒
≥ − ≥ −
⇔
2
9 3 21
9 3 15 2
0 18
9 3 21
9 3 15
2
m
+
: Cho 2 số thực x,y thay đổi thoã mã n điều kiện
Tìm GTLN của biểu thức
Giải: Đ iều kiện:
Gọi là tập giá trị của h
x y (x y)
Q x(x ) y(y ) x,y
∈
∈ ⇔
Ă
Ví dụ 12
ệ sau có nghiệm (*)
Đ ặt ;
PT này có nghiệm ' 0
x y (x y)
x(x ) y(y ) m
u x(x ) v y(y )
( u)( u
3
1
7
T ơng tự
Từ đó ta có hệ
: v
:
(u )(v ) m
m
≥ ⇔ ≥ −
≥ −
Trang 133 2 2
2
3
1 0
0 3
Hệ (*) có nghiệm (x,y) hệ (**) có nghiệm vớ i
pt (***) có nghiệm
m (u,v) u,v t
(m )
m
m
∆ ≥
[ ) 3
3
28
3
28
2 3
maxQ ; minQ
4.Bài tập đề nghị
1) Cho các số thực x,y thay đổi sao cho 4x2 −3xy+3y2 =6
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức A x= 2 + xy−2y2
2) Cho 2 số thực x,y thoã mãn x2 +y2 =1 Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:
2
2
x xy B
xy y
+
=
3) Cho các số thực không âm x,y thoã mãn x+ y=4
Tìm GTLN,GTNN của biểu thức: C= x+ +1 y+9
4) Cho 2 số thực x,y thoã mãn x2 +y2 =2 Tìm GTLN,GTNN của biểu thức:
D= x +y − xy
Gv: Phạm Văn Hng - Trờng THPT Trần Hng Đạo Trang 13
Trang 14Phần III kết quả thực nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, tôi đã nhiều lần kiểm chứng kết quả sau khi truyền đạt cho học sinh phơng pháp trên Trong lần kiểm tra vào học kì 1 năm học 2008-2009 tôi thực hiện nh sau:
1 Đối tợng khảo sát:
- 2 lớp: 11B1, 11B2
- Lớp thực nghiệm : 11B2
- Lớp đối chứng: 11B1
2 Tiến hành:
-Giáo viên dạy ở lớp 11B2 theo phơng pháp trên để tìm
GTLN,GTNN ,
còn ở lớp 11B1 giáo viên truyền đạt theo các phơng pháp sách giáo khoa
-Kiểm tra 15 phút
-Nội dung: Yêu cầu hs tìm GTLN,GTNN của hai hàm số:
a) sử dụng điều kiện có nghiệm của pt
a x b+ x c=
b) Sử dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2
3 Kết quả: Kết quả khảo sát cho ở bảng phân bố tần
số,tần suất nh sau:
Điểm số
suất(%) Tần số
Tần suất(%)
Trang 154 NhËn xÐt:
- N¨ng lùc häc tËp cña häc sinh líp 11B1 tèt h¬n líp 11B2
- Häc sinh bÞ ®iÓm díi 5, ®iÓm 0,1 ë líp 11B1 nhiÒu h¬n líp 11B2
- §iÓm Tb ë líp 11B1 thÊp h¬n líp 11B2
-Sè lîng ®iÓm kh¸ giái ë 11B2 nhiÒu h¬n ë líp 11B1
Gv: Ph¹m V¨n Hng - Trêng THPT TrÇn Hng §¹o Trang 15
Trang 16Phần IV kết luận
Việc tìm ra lời giải của một bài toán là vấn đề khó; đặc biệt
đối với bài toán tìm GTLN,GTNN lại càng khó hơn Đối với học sinh
để giải bài toán tìm GTLN,GTNN các em thờng rất lúng túng, vụng
về, trình bày thiếu chặt chẽ , thiếu lôgic do các em cha đợc trang
bị đầy đủ các phơng pháp để giải loại bài toán này Thực tế trong chơng trình toán phổ thông loại bài toán này đợc trình bày rãi rác trong chơng trình các khối lớp với nhiều phơng pháp khác nhau nên học sinh thờng không nắm chắc và dễ quên Việc giáo viên cung cấp, hệ thống cho học sinh đầy đủ các phơng pháp và rèn luyện
kĩ năng tìm GTLN,GTNN là hết sức cần thiết Điều đó giúp học sinh phát triển t duy và giải quyết tốt các bài toán ứng dụng thực tế trong chơng trình toán phổ thông
Tìm GTLN,GTNN bằng phơng pháp miền giá trị là một trong những phơng pháp có hiệu quả tốt đối với học sinh Qua thực tế cho thấy, sau khi nắm bắt và rèn luyện kỹ năng theo phơng pháp này học sinh đã có cách nhìn và hớng giải quyết tốt các bài toán loại này trong các đề thi học kì,đề thi học sinh giỏi, đề thi đại học, cao đẳng Mặt khác, khi nắm chắc phơng pháp học sinh biết chỉ ra các mối liện hệ chặt chẽ giữa bài toán tìm GTLN,GTNN với bài toán chứng minh bất đẳng thức, bài toán cực trị từ đó các
em có cách nhìn khái quát và vận dụng đợc các phơng pháp giải tốt hơn
Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân trong quá trình giảng dạy về cách giải bài toán tìm GTLN, GTNN bằng phơng pháp miền giá trị Mặc dù tôi đã cố gắng nhng không tránh khỏi khiếm khuyết, sai sót Rất mong sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô giáo và đồng nghiệp để phơng pháp này đợc hoàn thiện và các phơng pháp tìm GTLN,GTNN khác cũng đợc học sinh tiếp nhận và
sử dụng mang lại hiệu quả tốt hơn
- ***
Trang 17Ph¹m V¨n Hng
Gv: Ph¹m V¨n Hng - Trêng THPT TrÇn Hng §¹o Trang 17