Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 8 thông qua dạy học chủ đề “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ”.

Luận văn đã trình bày tổng quan về tư duy,tư duy sáng tạo, năng lực tư duy sáng tạo, mối quan hệ giữa năng lực tư duy sáng tạo với việc giải các bài toán về chủ đề Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Luận văn đã khảo sát thực trạng việc dạy và học chủ đề Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất ở một số trường THCS trong huyện Thuận Thành, tỉnh Bắc Ninh. Luận văn đã hệ thống 4 biện pháp để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 8 thông qua dạy học chủ đề “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất ” góp phần đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này ở trường THCS. Tác giả đã đưa ra giáo án minh họa cho luận văn của mình, có tác dụng giúp giáo viên định hướng để tiếp tục thiết kế các giờ học hiệu quả, phát huy được tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 8 nói riêng và học sinh THCS nói chung. Kết quả thực nghiệm sư phạm phần nào kiểm nghiệm được tính khả thi và tính hiệu quả của đề tài. Luận văn có thể là một tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp và sinh viên ngành Sư phạm Toán.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN MINH THU

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI

LỚP 8 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN MINH THU

PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP

8 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT”

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN Chuyên ngành: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC BỘ MÔN

TOÁN

Mã số: 60 14 10

Cán bộ hướng dẫn: GS.TS Bùi Văn Nghị

HÀ NỘI – 2013

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo của Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và hết lòng giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu đề tài.

Tác giả bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới GS.TS Bùi Văn Nghị đã nhiệt tình giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, các thầy, cô trường THCS Ninh Xá, THCS Xuân Lâm, THCS Vũ Kiệt huyện Thuận Thành, tỉnh Bắc Ninh đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành Luận văn này Tác giả cũng đặc biệt cảm ơn các em học sinh các lớp 8A của 2 trường THCS Ninh Xá, THCS Xuân Lâm đã giúp đỡ trong quá trình thực nghiệm để kiểm chứng các kết quả nghiên cứu.

Sự quan tâm giúp đỡ của gia đình và bạn bè, tập thể lớp Cao học Toán K7 Trường Đại học Giáo dục, luôn động viên cổ vũ và tiếp thêm sức mạnh cho tác giả trong suốt những năm tháng học tập và thực hiện đề tài nghiên cứu.

Mặc dù có nhiều cố gắng, song Luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, tác giả mong được lượng thứ và nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của thầy, cô và các bạn.

Hà Nội, tháng 11 năm 2013

Tác gia

Nguyễn Minh Thu

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Danh mục các kí hiệu, các chữ viết tắt ii

DANH MỤC BẢNG BIỂU vi

MỞ ĐẦU 1

Tiểu kết chương 1 23

Tiểu kết chương 2 66

Tiểu kêt chương 3 86

KẾT LUẬN 87

TÀI LIỆU THAM KHẢO 89

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong sự nghiệp đổi mới toàn diện của đất nước để hội nhập với cộngđồng quốc tế, đổi mới giáo dục là một trong những nhiệm vụ trọng tâm Nângcao chất lượng dạy học nói chung, chất lượng dạy học môn Toán nói riêngđang là một yêu cầu cấp bách đối với ngành Giáo dục nước ta hiện nay Mộttrong những khâu then chốt để thực hiện yêu cầu này là đổi mới nội dung vàphương pháp dạy học Nghị quyết Hội nghị lần thứ VI Ban chấp hành Trung

ương Đảng Cộng sản Việt Nam khẳng định: "… Phải đổi mới phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện tư duy sáng tạo của người học…".

Với học sinh, tư duy sáng tạo thể hiện qua việc vận dụng kiến thức tựcấu trúc lại cái đã biết, tìm tòi, phát hiện điều chưa biết Với mỗi môn học tưduy sáng tạo có đặc trưng riêng Khi học Toán, việc tìm tòi các lời giải khácnhau hoặc sáng tạo ra bài toán mới là cách thể hiện của tư duy sáng tạo Nókhông chỉ giúp học sinh hiểu sâu kiến thức mà còn tạo ra niềm say mê, hứngthú, tích cực học tập cho các em học sinh

Vấn đề rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh đă được khá nhiều ngườiquan tâm nghiên cứu Tuy nhiên, việc khai thác và ứng dụng những lí luậnnày vào thực tế giảng dạy môn toán ơ các trường phổ thông nước ta cc̣òn nhiềuhạn chế vv́à hầu hết giáo viên chưa thấy được tác dụng to lớn của phương phápnày nên chưa được coi trọng và áp dụng vào thực tế Ngoài ra, giáo viên cũngchưa có nhiều kinh nghiệm và thiếu những cơ sơ lí luận để xây dựng các hoạtđộng tương thích với nội dung , chưa được huấn luyện một cách có hệ thống,chưa có điều kiện để thực hiện,…

Các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là mộttrong những mảng kiến thức toán hay và khó với học sinh lớp 8 nhưng lại có

vai trò hết sức quan trọng trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.Bằng những quan sát thực tế, tôi thấy học sinh phần nhiều còn thụ động, chưacó khả năng nâng cao tư duy tiến tới tự học tích cực và sáng tạo trong cáchhọc Thực trạng này xuất phát từ nhiều nguyên nhân chủ quan và khách quan.Có nguyên nhân nằm ơ chính trong các em học sinh, với lối lười tư duy, lườihọc làm mất đi tính sáng tạo trong hoạt động học tập Có những nguyên nhânlại đến từ chính giáo viên chúng ta, khi chưa tìm được cách giảng dạy phùhợp nhằm kích thích các em tính sáng tạo, rèn cho các em học sinh thói quentìm tòi suy nghĩ, từ đó có cách suy nghĩ độc lập tích cực, hình thành nên khảnăng tự học, tự nghiên cứu Các giáo viên đôi khi còn chưa quan tâm được tớitừng học sinh, giảng dạy nặng về lý thuyết, không khu biệt được đối tượng đểcó các dạng bài tập thích hợp Trước thực trạng đó tôi thấy cần thiết phải có

sự thay đổi trong phương pháp giảng dạy của mỗi giáo viên để có thể pháthuy tối đa tư duy sáng tạo cho học sinh

Với những lý do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình là: "Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 8 thông qua dạy học chủ đề Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất"

2 Lịch sử nghiên cứu

Đã có nhiều tác giả trong và ngoài nước quan tâmđến vấn đề bồi dưỡng

tư duy sáng tạo cho học sinh như:

- Nhà toán học nổi tiếng Polya đã đi sâu nghiên cứu bản chất của quátrình giải toán , quá trình sáng tạo toán học và cho ra mắt tác phẩmSáng tạo toán học

- Một số công trình của các giáo sư Hoàng Chúng, Nguyễn CảnhToàn…nghiên cứu về lí luận và thực tiễn việc phát triển tư duy sángtạo cho học sinh

- Một số luận văn thạc sĩ cũng nghiên cứu về vấn đề này như:

+ "Phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh chuyên toán THPT qua giảng dạy chuyên đề phép biến hình trong mặt phẳng" -

Luận văn thạc sĩ của Nguyễn Hoàng Cương, ĐHGD-ĐHQG HN,năm 2010;

+ "Rèn luyện kỹ năng giải toán và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh thông qua dạy học chương số phức - Giải tích lớp 12 nâng cao THPT" - Luận văn thạc sĩ của Trần Đức Thiện, ĐHGD-ĐHQG

HN, năm 2010;

3 Mục tiêu nghiên cứu

Đề xuất một số biện pháp nhằm góp phần phát triển tư duy sáng tạo chohọc sinh khá, giỏi lớp 8 qua dạy học chuyên đề tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhấtbiểu thức

7 Gia thuyết nghiên cứu

Nếu dạy bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức theo cácbiện pháp đề xuất trong luận văn này thì sẽ phát triển tư duy sáng tạo cho họcsinh

8.1 Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học, tâm lí học, lí luận dạyhọc môn Toán

- Các tài liệu sách báo, bài viết phục vụ cho đề tài

8.2 Điều tra, quan sát

Dự giờ, quan sát việc dạy của giáo viên và việc học của học sinhtrong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa, sách tham khảolớp 8

8.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm với các lớp học thực nghiệm vàlớp học đối chứng trên cùng một đối tượng

9 Đóng góp cua luận văn

- Minh họa cho cơ sơ lí luận về tư duy sáng tạo thông qua một số ví

dụ cụ thể

- Phản ánh được việc dạy học chuyên đề tìm giá trị lớn nhất và nhỏnhất của biểu thức cho học sinh khá giỏi lớp 8 tại một số trường THCS ơThuận Thành - Bắc Ninh

- Đề xuất được một số biện pháp dạy học giải bài tập tìm giá trị lớnnhất, nhỏ nhất của biểu thức theo hướng phát huy tư duy sáng tạo cho họcsinh

10 Cấu trúc luận văn

Mơ đầu

Chương 1 Cơ sơ lí luận và thực tiễn

Chương 2 Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 8 thôngqua dạy học chủ đề giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Chương 3 Thực nghiệm sư phạmKết luận và khuyến nghị

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Tư duy

.1.1.1 Tư duy là gì?

Trong quá trình hoạt động thực tiễn của mình, con người luôn có nhucầu hiểu biết tự nhiên, nhận thức khám phá tự nhiên trơ thành một nhu cầuthiết yếu Nhận biết thế giới khách quan để nắm được bản chất và những quyluật giúp con người tồn tại và phát triển Quá trình nhận thức đó chính là quátrình tư duy của con người

Theo từ điển triết học: Tư duy là sản phẩm cao nhất của vật chất được

tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận…Tư duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con người và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật Tư duy là hoạt động tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận trong ngôn ngữ… Kết quả của tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó.

Theo tâm lý học, tư duy là quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tínhbản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật, hiện tượngtrong hiện thực khách quan mà trước đó ta chưa biết Từ đây ta có thể thấy tưduy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức vì nó đi sâu vào bản chất, pháthiện ra quy luật của sự vật

Qua các định nghĩa này ta có thể thấy tư duy là một quá trình có vai trò

vô cùng quan trọng với sự phát triển của loài người, là đặc trưng tiểu biểu củacon người Nó giúp chúng ta nhận thức đúng về đối tượng từ đó có những

hành động phù hợp để tác động vào đối tượng khách quan Do đó rèn luyện tưduy là một việc làm cần thiết và quan trọng đặc biệt là trong việc dạy và học.

Cơ sơ trực tiếp của tư duy chính là những tri giác biểu tượng hình thành

do có sự tác động của tự nhiên vào cơ quan cảm giác trong quá trình hoạtđộng thực tiễn của con người Do đó muốn phát triển tư duy phải thông quacác hoạt động thực tiễn Đây là một lưu ý với người giáo viên trong quá trìnhgiảng dạy của mình

Qua nhiều cách định nghĩa về tư duy ta có thể rút ra những đặc điểm cơbản của tư duy là:

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phảnánh thế giới khách quan một cách tích cực

- Tư duy gắn liền với ngôn ngữ và kết quả của nó bao giờ cũng là một ýnghĩ được thể hiện ra bằng ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối tượng đượcphản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động của con ngườinhằm phản ánh đối tượng

- Khách thể trong tư duy được phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từthuộc tính này đến thuộc tính kia nó phụ thuộc vào chủ thể tư duy (hay chínhlà con người)

Từ đây áp dụng vào việc dạy học ta có thể thấy:

- Muốn phát triển tư duy cần tạo ra các tình huống kích thích tư duyđưa ra các hoạt động đòi hỏi tư duy của học sinh ơ nhiều mức độ khác nhau

- Đưa ra các bài tập yêu cầu mức độ tư duy phù hợp với đối tượng;

- Giúp học sinh phát triển tư duy đồng thời cũng phải lưu ý tới kết quảcủa quá trình tư duy được thể hiện ra bằng ngôn ngữ hay cụ thể hơn là hướngdẫn học sinh trình bày kết quả tư duy một cách khoa học, hiệu quả nhất

.1.1.2 Quá trình tư duy

Tư duy là một hoạt động trí tuệ với quá trình gồm 4 bước cơ bản sau:

- Bước 1: xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy

- Bước 2: huy động trí tuệ, vốn kinh nghiệm, liên tương, hình thành giảthuyết và cách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

- Bước 3: xác minh giả thuyết trong thực tiễn Nếu giả thuyết đúng thìkhẳng định chính xác hoá và giải quyết vấn đề, nếu giả thuyết không phù hợpthì phủ định nó và hình thành giả thuyết mới

- Bước 4: quyết định, đánh giá kết quả, đưa vào sử dụng

Để dễ hình dung 4 bước trong quá trình tư duy chúng tôi có bảng sơ đồhoá như sau:

Tư duy là một quá trình phức tạp của bộ não người do đó việc phânchia các giai đoạn chỉ mang tính tương đối giúp chúng ta dễ dàng tìm hiểu để

từ đó có biện pháp tác động phù hợp Bốn bước này có mối quan hệ mật thiếtvới nhau không thể tách rời nhau cũng không thể bỏ qua bước nào Bước 1đặt ra vấn đề cần tư duy, bước 2 và bước 3 giải quyết vấn đề chính của quátrình tư duy, bước 4 đóng vai trò kiểm tra đánh giá lại tính đúng đắn của quátrình tư duy đó

Các thao tác trí tuệ cơ bản phục vụ quá trình tư duy là:

Phân tích, tổng hợp → so sánh, tương tự → trừu tượng hoá và khái quáthoá → cụ thể hoá, đặc biệt hoá → tương tượng → suy luận → chứng minh

Các thao tác này thống nhất với nhau trong một quá trình Giống nhưhai mặt đối lập của một thực thể thống nhất Ví dụ như thao tác phân tích làthao tác tư duy chia đối tượng nhận thức thành các bộ phận, các mặt, cácthành phần khác nhau Còn tổng hợp lại là thao tác tư duy để hợp nhất các bộphận các mặt, các thành phần đã phân tách rời nhờ sự phân tích thành mộtchỉnh thể Hay khái quát hoá và đặc biệt hoá cũng vậy Một thao tác là để hợpnhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm một loại theo những thuộctính, những liên hệ hay quan hệ chung nhất định (khái quát hoá) thì một thaotác lại làm ngược lại đi từ cái chung đến các riêng Nhưng các thao tác nàyluôn hỗ trợ cho nhau giúp cho chúng ta nhận thức được đối tượng một cáchchính xác và đầy đủ Do đó muốn phát triển tư duy thì cần rèn luyện cho họcsinh các thao tác này thật tốt

.1.1.3 Những đặc điểm của tư duy

Trước tiên tư duy nhất thiết phải sử dụng ngôn ngữ làm phương tiện.

Giữa tư duy và ngôn ngữ có mối quan hệ không thể chia cắt, tư duy và ngônngữ phát triển trong sự thống nhất với nhau Ngôn ngữ là phương tiện để conngười tiến hành tư duy đồng thời cũng là phương tiện để con người thể hiện

lạc Do đó rèn luyện tư duy và ngôn ngữ phải luôn đi cùng với nhau giốngnhư hình thức và nội dung của một sự vật phải có sự đồng thuận thống nhấtvậy.

Tư duy phải dựa vào các khái niệm Các khái niệm là những yếu tố của

tư duy, sự kết hợp các khái niệm theo những phương thức khác nhau cho phépcon người đi từ ý nghĩ này đến ý nghĩ khác

Tư duy phản ánh khái quát Tư duy phản ánh hiện thực khách quan,

những nguyên tắc hay nguyên lý chung, những khái niệm hay vật tiêu biểu.Phản ánh khái quát là phản ánh tính phổ biến của đối tượng.Vì thế những đốitượng riêng lẻ đều được xem như một sự thể hiện cụ thể của quy luật chungnào đó Nhờ đặc điểm này, quá trình tư duy bổ sung cho nhận thức và giúpcon người nhận thức hiện thực một cách toàn diện hơn

Tư duy phản ánh gián tiếp Tư duy giúp ta nhận thức về những đặc

điểm bên trong, những đặc điểm bản chất mà các giác quan không phản ánhđược, mang lại những nhận thức thông qua các dấu hiệu gián tiếp

Tư duy không tách rời quá trình nhận thức cảm tính Quá trình tư duy

bắt đầu từ nhận thức cảm tính, liên hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính trongsuốt cả quá trình và nhất thiết phải sử dụng những tư liệu của quá trình nhậnthức cảm tính

Hiểu được những đặc điểm của quá trình tư duy người giáo viên sẽ biếtcách phát huy tốt nhất tư duy cho học sinh, tạo ra hiệu quả cao trong quá trìnhdạy và học Đặc biệt là trong quá trình dạy học môn toán ơ bậc THCS Bơitoán học là một môn học logic đòi hỏi rất cao sự tư duy của học sinh

Theo các nhà toán học nét độc đáo của tư duy theo phong cách toán họclà:

- Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế

- Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất đến mục đích

- Phân chia rành mạch các bước suy luận

- Sử dụng chính xác các kí hiệu

- Lập luận có căn cứ đầy đủ

.1.1.4 Phân loại tư duy

Cho đến nay, vẫn chưa có sự thống nhất khi phân loại tư duy Tuynhiên, có hai cách phân loại tư duy phổ biến nhất, đó là:

.a Phân loại tư duy theo đối tượng (của tư duy): Với cách phân loạinày, ta có các loại tư duy sau:

- Tư duy kinh tế,

- Tư duy chính trị,

- Tư duy văn học,

- Tư duy toán học,

- Tư duy nghệ thuật, …

.b Phân loại tư duy theo đặc trưng của tư duy: Với cách phân loạinày, ta có các loại tư duy sau:

- Tư duy cụ thể,

- Tư duy trừu tượng,

- Tư duy logic,

- Tư duy biện chứng,

- Tư duy sáng tạo,

- Tư duy phê phán, …

.1.2 Tư duy sáng tạo

.1.2.1 Tư duy sáng tạo

“Sáng tạo” hiểu theo Từ điển tiếng Việt là tạo ra giá trị mới về vật chất

cái đã có Hoặc theo Đại từ điển tiếng Việt, sáng tạo là làm ra cái mới chưa ailàm Tìm tòi làm tốt hơn mà không bị gò bó

Theo Lecne thì có hai kiểu tư duy cá nhân: “Một kiểu là tư duy tái hiện hay tái tạo, kiểu kia gọi là tư duy tạo ra cái mới hay sáng tạo”.

Tư duy sáng tạo là tư duy mà kết quả là tạo được một cái gì đó mới Tưduy sáng tạo dẫn đến tri thức mới về thế giới hoặc về phương thức hoạt độngmới

Tư duy sáng tạo là quá trình tìm cách nhận thức, phát hiện ra quy luậtcủa sự vật, có ý thức luôn tìm ra cái mới để hiểu rõ hơn bản chất của sự vật,hiện tượng cũng như tìm ra nguyên nhân, ngăn chặn, loại bỏ cái xấu và pháttriển cái tốt

Như vậy, tư duy sáng tạo là một thuộc tính bản chất của con người đểtồn tại và phát triển những gì tốt đẹp và loại bỏ, ngăn chặn những điều có hạiđối với con người

Tư duy sáng tạo có tính khơi đầu, sản sinh ra một sản phẩm phức tạp

Tư duy sáng tạo có tính phát minh, trực giác tương tượng và phát triển liêntục Kiến thức trước đó được tổng hợp và mơ rộng để sản sinh ra những ýtương mới Và những ý tương mới này chịu sự phân tích, phê phán và tínhhiệu quả của chúng được xét đến trong việc giải quyết bài toán

.1.2.2 Các thành phần cơ bản của tư duy sáng tạo

a Tính nhuần nhuyễnTính nhuần nhuyễn trong tư duy có thể được sử dụng một cách dễdàng, thoải mái, một cách tự nhiên trong quá trình suy nghĩ để phát hiện vànhận thức bản chất của sự vật.Tính nhuần nhuyễn được thể hiện ơ việc vậndụng các thao tác tư duy đạt đến mức độ thành thạo một cách tự nhiên nhằmtạo ra một số ý tương để giải quyết vấn đề, nhanh chóng đưa ra giả thuyết, ý

tương mới và số ý tương nghĩ ra càng nhiều thì càng có khả năng xuất hiện ýtương độc đáo.

Mặt khác, tính nhuần nhuyễn còn được thể hiện ơ chỗ khả năng tìm rađược nhiều giải pháp trên nhiều tình huống, góc độ, khía cạnh khác nhau, từđó tìm ra được phương án tối ưu

b Tính linh hoạtTính mềm dẻo và tính linh hoạt thể hiện khả năng chuyển từ hoạt độngtrí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, chuyển từ đối tượng suy nghĩ này sangđối tượng suy nghĩ khác; biết thay đổi phương pháp cho phù hợp với điềukiện, hoàn cảnh, không bị gò bó, rập khuôn bơi những gì đã có; kịp thời vànhanh chóng điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trơ ngại và tìm ra hướng giảiquyết mới cho một vấn đề

c Tính độc đáoTính độc đáo của tư duy thể hiện ơ khả năng phát hiện cái mới, khác lạ,không bình thường trong quá trình nhận thức sự vật Đây là đặc trưng cơ bảnnhất của tư duy sáng tạo, là dấu hiệu để phân biệt giữa tư duy sáng tạo với cácdạng tư duy khác

.1.3 Năng lực tư duy sáng tạo

.1.3.1 Năng lực tư duy sáng tạo

Trong thời đại ngày nay, khi nhận thức của con người đã đạt đến mộttrình độ cao hơn thì năng lực tư duy không còn giữ nguyên nghĩa mà đã trơthành năng lực tư duy sáng tạo Bơi lẽ, người ta không chỉ tư duy để có nhữngkhái niệm về thế giới, mà còn sáng tạo nhằm thay đổi thế giới làm cho thếgiới ngày càng tốt đẹp hơn Với học sinh THCS nói riêng, năng lực tư duysáng tạo đã trơ thành một trong những điều kiện cần thiết để đem lại cho họmột công việc hứa hẹn khi ra trường hay xa hơn nữa là một chỗ đứng vữngchắc trong xã hội và trên thế giới Do đó, ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà

trường phổ thông, học sinh phải được rèn luyện và phát triển năng lực tư duysáng tạo, coi nó như là hành trang để bước vào đời.

Năng lực tư duy sáng tạo trong Toán học là năng lực tư duy sáng tạotrong hoạt động nghiên cứu Toán học (khoa học), là năng lực tư duy đối vớihoạt động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả tốt, mới, khách quan, cốnghiến những lời giải hay, những công trình toán học có giá trị đối với việc dạyhọc, giáo dục và sự phát triển của khoa học nói riêng cũng như đối với hoạtđộng thực tiễn của xã hội nói chung

.1.3.2 Một số biểu hiện năng lực tư duy sáng tạo của học sinh trung học phổ thông trong quá trình giải bài tập Toán học

Tư duy sáng tạo góp phần rèn luyện và phát triển nhân cách cũng nhưcác năng lực trí tuệ cho học sinh; bồi dưỡng hứng thú và nhu cầu học tập,khuyến khích học sinh say mê tìm tòi, sáng tạo Decartes cũng đã có câu nóinổi tiếng về tầm quan trọng của năng lực tư duy đối với sự tồn tại của con

người trong vũ trụ: “Tôi tư duy, vậy tôi tồn tại” Nguyên lý cơ bản đó của ông

mang ý nghĩa tiến bộ trong lịch sử, bơi nó khẳng định được rằng mọi khoa

học chân chính đều phải xuất phát từ sự nghi ngờ, “nghi ngờ ở đây không phải là hoài nghi chủ nghĩa, mà là sự nghi ngờ về phương pháp luận, nghi ngờ để đạt đến sự tin tưởng”, có nghĩa là tư duy.

Trên cơ sơ cho học sinh làm quen với một số hoạt động sáng tạo nhằmrèn luyện năng lực, giáo viên đưa ra một số bài tập có thể giúp học sinh vậndụng sáng tạo nội dung kiến thức và phương pháp có được trong quá trình họctập, mức độ biểu hiện của học sinh được sắp xếp theo thứ tự tăng dần củanăng lực tư duy sáng tạo Đối với học sinh phổ thông có thể thấy các biểuhiện của năng lực tư duy sáng tạo trong việc giải bài tập về giá trị lớn nhất,nhỏ nhất qua các khả năng sau

a) Có khả năng vận dụng thành thục những kiến thức, kỹ năng đã biết vào hoàn cảnh mới.

Khả năng này thường được biểu hiện nhiều nhất nên trong quá trìnhdạy học giáo viên cần quan tâm phát hiện và bồi dưỡng khả năng này Khảnăng áp dụng các thuật giải đã có sẵn để giải một bài toán mới, hay vận dụngtrực tiếp các kiến thức, kỹ năng đã có trong một bài toán tương tự hoặc đã biếtlà khả năng mà tất cả học sinh đều phải cố gắng đạt đựợc trong học toán Biểuhiện năng lực tư duy sáng tạo của học sinh ơ khả năng này được thể hiện là:với nội dung kiến thức và kỹ năng đã được học, học sinh biết biến đổi nhữngbài tập trong một tình huống cụ thể hoàn toàn mới nào đó về những cái quenthuộc, những cái đã biết để áp dụng vào giải một cách dễ dàng, từ đó học sinhthể hiện được tính sáng tạo của bản thân khi giải những bài toán đó

b) Có khả năng phát hiện, đề xuất cái mới từ một vấn đề quen thuộc.

Khi đứng trước một bài tập học sinh nhận ra được vấn đề mới trong cácđiều kiện, vấn đề quen thuộc; phát hiện ra chức năng mới trong những đốitượng quen thuộc, tránh được sự rập khuôn máy móc, dễ dàng điều chỉnhđược hướng giải quyết trong điều kiện mới, đây cũng là biểu hiện tạo điềukiện để học sinh rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy

c) Có khả năng nhìn nhận đối tượng dưới các khía cạnh khác nhau.

Mỗi khi học sinh cố gắng làm các bài toán mà lại thất bại, thông thườnghọc sinh sẽ có cảm giác chán nản chứ không chuyển sang làm theo một hướngsuy nghĩ hay cách nhìn khác Tuy nhiên, một thất bại mà học sinh đã nếm trải

sẽ chỉ có ý nghĩa nếu như học sinh không quá coi trọng phần kém hiệu quảcủa nó Thay vào đó, học sinh nếu biết phân tích lại toàn bộ quá trình cũngnhư các yếu tố liên quan, và cân nhắc xem liệu sẽ thay đổi những yếu tố đónhư thế nào để đạt được kết quả mới Đừng tự đặt câu hỏi cho bản thân “Tạisao mình lại thất bại?” mà hãy hỏi “Mình đã làm được những gì rồi?” Nhìnnhận và đánh giá vấn đề từ các khía cạnh khác nhau, từ đó phát hiện đượcnhững tầm nhìn, cách nhận định mới phù hợp với bài toán Aristotle cho rằng

không những có năng lực diễn đạt sự tương đồng giữa hai cá thể hoàn toàntách biệt mà còn có thể liên kết chúng lại với nhau, thì đó là con người có khảnăng đặc biệt.

d) Có khả năng phối hợp nhiều công cụ, phương pháp khác nhau để giải quyết một vấn đề.

Đứng trước một bài tập Toán mang tính sáng tạo cao, đòi hỏi học sinhphải vận dụng rất nhiều kiến thức khác nhau và nhiều phương pháp, cách giảikhác nhau Đồng thời học sinh cũng phải biết phối hợp các kiến thức vàphương pháp đó, huy động những kỹ năng, kinh nghiệm của bản thân cộngvới sự nỗ lực, phát huy năng lực tư duy sáng tạo cao của cá nhân để tìm tòi,giải quyết vấn đề

e) Có khả năng tìm được nhiều cách giải khác nhau đối với bài toán đã cho.

Đây là biểu hiện của học sinh khi đứng trước những bài toán có nhữngđối tượng, những quan hệ có thể xem xét dưới nhiều khía cạnh khác nhau.Đứng trước những bài toán loại này học sinh biểu hiện khả năng, năng lựcchuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, thể hiện năng lựcnhìn một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau

f) Có khả năng tìm được cách giải độc đáo đối với bài toán đã cho.

Có những bài toán các yếu tố trong đó hiện lên một cách trực tiếp quangôn ngữ của đề bài nhưng cũng có những bài toán yếu tố được ẩn ngầm dướicách diễn đạt không dễ phát hiện, thậm chí là một cách đánh lừa khả năng tưduy của học sinh, khi giải bài toán nếu nhìn ra trọng tâm yêu cầu của bài toán,phát hiện cái mới, khác lạ, không bình thường trong quá trình làm bài học

sinh sẽ thể hiện ra năng lực tư duy sáng tạo

.1.4 Dạy học các bài toán về GTLN - GTNN ở trường THCS

.1.4.1 Nội dung chương trình GTLN - GTNN ở trường THCS

Học sinh bắt đâu được làm quen với dạng toán tim GTLN, GTNN củabiểu thức đại số từ lớp 7

a Lớp 7

- Học sinh được giới thiệu một số bài toán tìm GTLN – GTNN ơ dạngcác biểu thức chứa các bình phương hoặc chứa dấu giá trị tuyệt đối và bấtđẳng thức Côsi Chẳng hạn như:

1 Tìm GTNN của A= − + +x 3 x 4 ;

2 Tìm giá trị nguyên của x để 14

4

x D

- Học sinh được học về GTLN - GTNN thông qua nội dung phân tích

đa thức thành nhân tử, phân thức, biểu thức chưa dấu giá trị tuyệt đối, bấtđẳng thức Côsi Chẳng hạn như:

1 Tìm GTNN của A=2x2 −5x+10;

2 Tìm GTLN, GTNN của

2 2

Tìm GTLN, GTNN của: M =

) 1

( 2

3 2

2 1

2 2

2 1

2 1

x x x

x

x x

+ + +

+

- Qua nghiên cứu nhận thấy phần kiến thức GTLN, GTNN là 1 chuyên

để cơ bản trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Được giới thiệusâu và kĩ ơ lớp 8 và 9 Nhưng các tài liệu tham khảo, các tác giả đều mới giớithiệu các dạng bài tập và các ví dụ chứ chưa có phương pháp giải cụ thể chotừng dạng nên trong quá trình học học sinh cũng gặp nhiều khó khăn

.1.4.2 Thực trạng dạy học các bài toán về GTLN - GTNN ở trường THCS

Về phía giáo viên

Qua trao đổi với một số giáo viên toán ơ một số trường THCS trên địabàn huyện Thuận Thành và tìm hiểu thực trạng việc dạy học nội dung GTLN -GTNN ơ các trường THCS tôi có một vài nhận xét như sau:

Đa số giáo viên đều đồng ý với quan điểm các bài toán tìm GTLN GTNN có khả năng to lớn trong việc phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh,tạo tiền đề nền tảng cho việc theo học các bậc học cao hơn sau này;

Đa số các giáo viên đều cho rằng đây là những bài toán khó đối vớihọc sinh các lớp đại trà, do đó các giáo viên giảng dạy ơ các lớp đại tràthường không chú trọng cho học sinh vấn đề này Ở các lớp chuyên, lớp chọn,khi bồi dưỡng học sinh giỏi, các giáo viên mới chỉ cho học sinh giải các bàitoán tìm GTLN - GTNN ơ dạng tường minh từ đó hình thành cho học sinhphương pháp giải bài toán dạng này;

- Do các bài toán tìm GTLN - GTNN rất đa dạng, phong phú nên giáoviên phải mất nhiều công sức chọn lọc một hệ thống bài toán phù hợp vớinhiều trình độ nhận thức của học sinh;

- Đa số các giáo viên khi dạy bài toán tìm GTLN - GTNN chỉ dừng lại

ơ mức độ rèn cho học sinh kỹ năng tính toán đối với từng dạng bài toán cụthể;

- Một phần lớn các giáo viên có chú ý đến việc phát triển tư duy sángtạo cho học sinh nhưng hiệu quả không cao: các giáo viên chưa thực sự coitrọng những bài tập trong đó học sinh phải tự xác lập, tìm tòi phát hiện và giảiquyết vấn đề; chưa dành thời gian cho việc hướng dẫn học sinh tìm tòi khaithác mơ rộng bài toán; trong các đề kiểm tra chưa chú ý sử dụng các câu hỏi,bài tập phát huy được tư duy sáng tạo của học sinh, …

- Hầu hết học sinh sau khi giải xong một bài toán không có thói quenkhai thác lời giải: tìm nhiều lời giải và chọn lời giải tối ưu, tìm bài toán tổngquát, lật ngược vấn đề, …

- Khi gặp bài toán mới chưa biết cách giải các em ít khi xem xét cáctrường hợp riêng để tự mò mẫm, dự đoán kết quả từ đó tìm lời giải mà thườngđợi sự gợi ý của giáo viên.

Nguyên nhân

Có nhiều nguyên nhân dẫn đến thực trạng trên:

- Do các bài toán tìm GTLN - GTNN là các bài toán khó dạy đối vớigiáo viên và khó học đối với học sinh;

- Còn một bộ phận không nhỏ giáo viên chưa ý thức được vai trò củaviệc bồi dưỡng và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh hoặc không cóphương pháp để bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh Dạy học còn thiênvề kỹ năng giải toán mà nhẹ về rèn luyện tư duy nhất là tư duy sáng tạo;

- Giáo viên chưa xây dựng được hệ thống bài tập nhằm tác động đếntừng yếu tố cụ thể của tư duy sáng tạo;

- Các đề kiểm tra còn thiên về kiểm tra các kiến thức đã học chứ chưaphản ánh được năng lực tư duy và tư duy sáng tạo của học sinh;

- Do cách dạy của một bộ phận không nhỏ giáo viên như đã nói ơ trênđã làm cho học sinh học tập một cách thụ động, năng lực duy độc lập và sángtạo bị hạn chế;

- Hầu hết các em học sinh khi giải ra kết quả một bài toán là dừng lại,không có thói quen suy nghĩ thêm để tìm lời giải khác cũng như xem xét lờigiải đó có tối ưu hay chưa, không đào sâu suy nghĩ, xem xét các bài toán dướinhiều khía cạnh khác nhau cũng như không mơ rộng khai thác bài toán, …

- Bài toán tìm GTLN - GTNN là bài toán khó nên học sinh ít hứng thú

do đó các em chưa thực sự tích cực trong các giờ học;

- Tính tự giác và độc lập trong học tập của các em chưa cao, còn ỷ lạivào thầy cô giáo, giành ít thời gian cho việc tự học, số lượng các em tự đọcsách thảm khảo để nâng cao trình độ là không nhiều.

.1.4.3 Quan hệ giữa các bài toán tìm GTLN - GTNN với việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh

Theo thuyết hoạt động có đối tượng thì năng lực chỉ có thể hình thànhvà phát triển trong hoạt động Để giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, màđỉnh cao là tư duy sáng tạo, thì cần phải rèn luyện cho học sinh hoạt động tưduy sáng tạo, mà đặc trưng cơ bản nhất là tạo ra những phẩm chất tư duymang tính mới mẻ Trong học tập môn toán, một trong những hoạt động chủyếu để phát triển tư duy cho học sinh là hoạt động giải bài tập Vì vậy, giáoviên cần phải tạo điều kiện để thông qua hoạt động này các năng lực trí tuệđược phát triển, học sinh sẽ có những sản phẩm tư duy mới, thể hiện ơ:

- Năng lực phát hiện vấn đề mới;

- Tìm ra hướng đi mới;

- Tạo ra kết quả mới

Để làm được điều đó, trước hết người giáo viên cần chú ý hoạt độnggiải các bài toán tìm GTLN - GTNN để tìm ra kết quả không phải chỉ là mục

đích mà chính là phương tiện hiệu nghiệm để phát triển tư duy sáng tạo cho

học sinh Bài toán tìm GTLN - GTNN phải đa dạng phong phú về thể loại vàđược sử dụng trong tất cả các khâu của quá trình dạy học như nghiên cứu tàiliệu, ôn tập, luyện tập, kiểm tra…Thông qua hoạt động giải các bài toán tìmGTLN - GTNN mà các thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tổng hợp, kháiquát hóa, trừu tượng hóa,…thường xuyên được rèn luyện và phát triển, cácnăng lực: quan sát, trí nhớ, óc tương tượng, suy nghĩ độc lập,…để rồi cuốicùng tư duy của học sinh được rèn luyện và phát triển thường xuyên, đúnghướng, thấy được giá trị lao động, nâng khả năng hiểu biết thế giới của học

sinh lên một tầm cao mới, góp phần cho quá trình hình thành nhân cách củahọc sinh.

Thực chất của việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh là trên cơ sơkiến thức cơ bản học sinh vận dụng một cách linh hoạt và sáng tạo để tìm rađáp số của bài toán bằng con đường ngắn nhất Theo tác giả Nguyễn XuânTrường (Đại học Sư Phạm Hà Nội) thì "kiến thức lâu ngày có thể quên, cáicòn lại là năng lực tư duy sáng tạo"

Theo tôi để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thì trong quá trìnhgiảng dạy các bài toán tìm GTLN - GTNN trước hết phải làm cho học sinhthông hiểu sâu sắc kiến thức cơ bản về GTLN - GTNN, từ đó rèn các thànhphần của tư duy sáng tạo Muốn vậy phải đa dạng hóa các dạng bài toán, ưutiên sử dụng bài toán có nhiều cách giải hay, bài toán có sự phát triển thêmkiến thức mới,…Với mỗi bài toán, không chỉ dừng lại ơ mức độ tìm ra cáchgiải của bài toán mà phải tập cho học sinh suy nghĩ tìm ra cách giải khác, pháttriển bài toán, rút ra những kiến thức mới cần lĩnh hội và nếu thay đổi các dữkiện hoặc yêu cầu thì bài toán sẽ phải giải theo hướng nào

Tiểu kết chương 1

1 Trong chương này luận văn đã làm rõ các khái niệm tư duy, sáng tạo,

tư duy sáng tạo và nêu được các thành phần của tư duy sáng tạo

2 Qua việc phân tích lý luận về tư duy sáng tạo cùng với thực trạngdạy học các bài toán tìm GTLN - GTNN ta thấy rằng:

- Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là rất cần thiết và cần đượcquan tâm trong dạy học toán

- Việc dạy học các bài toán cực trị nói chung và các bài toán tìm GTLN

- GTNN hiện nay chưa được quan tâm và khai thác đúng mức để phát triển tưduy sáng tạo cho học sinh

3 Chính vì vậy việc khai thác tiềm năng của các bài toán tìm GTLN GTNN để phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh là một hướng đi đúng đắnvà cần thiết Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm

-ra các phương pháp nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

CHƯƠNG 2 PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP

8 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

.2.1 Tóm tắt kiến thức cơ ban về GTLN, GTNN cua một biểu thức đại số

.2.1.1 Định nghĩa GTLN – GTNN của một biểu thức đại số

Cho biểu thức f(x,y,…) trên tập xác định của biểu thức nếu ta chứngminh được f(x,y,…) ≤ A hoặc f(x,y,…) ≥ B ( A, B là các hằng số ) và chỉ ra có

ít nhất 1 bộ số (xo, yo,…) để tại đó f(xo, yo,…) = A hoặc f(xo, yo,…) = B thì tanói rằng biểu thức f(x,y,…) có GTLN bằng A; kí hiệu max f = A hoặc f(x,y,

…) có GTNN bằng B; kí hiệu min f = B

.2.1.2 Các kiến thức thường sử dụng là:

+ Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức:

2

a b

ab

+ ≥ ;

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b”

+ Bất đẳng thức: ( )2 ( 2 2) ( 2 2)

ac bd+ ≤ a +b c +d (BĐT: Bunhiacopxki);

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b

c =d .

+ a + ≥ +b a b ; Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0

+ Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

y a= − f x thì max y = a khi f(x) = 0

+ Phương pháp “tìm miền giá trị”

+ Nếu hai số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉkhi 2 số đó bằng nhau

+ Nếu hai số có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉkhi 2 số đó bằng nhau

.2.1.3 Các bước tìm GTLN – GTNN của biểu thức đại số

Để tìm GTLN – GTNN của biểu thức đại số ta làm như sau:

- Tìm TXĐ của biểu thức ;

- Trên TXĐ của biểu thức, CMR f(x,y,…) ≤ A hoặc f(x,y,…) ≥ B ;

- Chỉ ra có ít nhất 1 bộ số xo, yo sao cho f(xo, yo,…) = A hoặc f(xo, yo,…)

= B ;

- Kết luận : max f = A khi x= xo ; y = yo hoặc min f = B khi x= xo ; y =

yo

.2.1.4 Các dạng bài tập tìm GTLN – GTNN của biểu thức đại số

Dạng 1: Tam thức bậc hai

Ví dụ 1.1 a) Tìm GTNN của A 2x – 8x 1= 2 +

5 ⇔ x = -2

5

Ví dụ 1.2 Cho tam thức P(x) = ax2 + bx + c

b) Tìm max P nếu a< 0

Lời giải Ta có P = a (x2 + b

Dạng 2: Đa thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 2.1 Tìm GTNN của:

x x

Ví dụ 2.2 Tìm GTNN của C = |x2 – x + 1| + |x2 – x – 2|

Lời giải Ta có C = |x2 – x + 1| + |x2 – x – 2| = |x2 – x + 1| + |2 + x – x2 |

≥ | x2 – x + 1+2 + x – x2 | = 3

Vậy min C = 3 khi (x2 – x + 1)(2 + x – x2) ≥ 0.

Do x2 – x + 1 > 0 ∀x ⇒ (2 + x – x2) ≥ 0

⇔ (x+1)(x-2) ≤ 0 ⇔-1 ≤ x ≤ 2

Vậy min C = 3 khi -1 ≤ x ≤ 2

Ví dụ 2.3 Tìm GTNN của T = |x – 1 | + |x – 2 | +|x – 3 | +|x – 4 |.

Lời giải Ta có: |x – 1 | + |x – 4 | = |x – 1 | + |4 – x |

≥ |x – 1 + 4 – x | = 3 (1);

|x – 2 | + |x – 3 | = |x – 2 | + |3 – x | ≥ |x – 2 + 3 – x | = 1 (2)

⇒ T = |x – 1 | + |x – 2 | +|x – 3 | +|x – 4 | ≥ 3+ 1 = 4.

Từ (1) ⇒ Dấu “ = “ xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4

(2) ⇒ Dấu “ = “ xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3

⇒ Vậy MinT = 4 khi 2 ≤ x ≤ 3

Dạng 3: Đa thức bậc cao

Ví dụ 3.1 Tìm GTNN của:

= ( x – y )2 + ( x – 1 )2 + 2 ≥ 2 ⇒min B 2= ⇔ 0

1 0

x y x

Ví dụ 3.2 Tìm GTNN của:

Dạng 4 Dạng phân thức

1 Phân thức có tử số là hằng số , mẫu số là tam thức bậc 2

Ví dụ Tìm GTNN của A = 2 2.

2 Phân thức có mẫu số là bình phương của một nhị thức

Ví dụ 4.2.1 Tìm GTNN của A =

2 2

Vậy MinA = -1 khi x = 1

Ví dụ 4.2.2 Tìm GTLN của B = 2

Đặt y = 1

(x+10) ⇒

110

x y

10)

2 + 1

40 ≤

140

3 Các phân thức có dạng khác

Ví dụ Tìm GTLN, GTNN của A = 3 42

1

x x

−+

Lời

giải Ta có A = 3 42

1

x x

−+ =

Ta lại có :

A = 3 42

1

x x

Dạng5 Biểu thức có chứa căn thức

Ví dụ 5.1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

25 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy Max y = 10 khi x = 61

25

* GTNN

Ta có: y = 3 x − + 1 4 5 − = x 3 x − + 1 3 5 − + x 5 − x

= 3( x− + − + −1 5 x) 5 x.

Đặt: A = x − + − 1 5 x thì t2 = 4 + 2 ( x − 1 5 ) ( − x ) ≥ 4

=> A≥ 2 và dấu “=” xảy ra khi x = 1 hoặc x = 5

Vậy y ≥3 2 + 0 = 6

Dấu “=” xảy ra khi x = 5

Do đó Maxy = 6 khi x = 5

Ví dụ 5.2 Tìm GTNN của biểu thức: M = ( )2 2

Ví dụ 5.3 Tìm GTNN của B = 3a + 4 1 a− 2 với -1≤ ≤a 1

Dạng6 Tìm GTLN, GTNN của một biểu thức biết quan hệ giữa các biến

Ví dụ 6.1 Cho x+y + z = 3

Từ (1) và (2) suy ra:

9 x= + y + z + 2xy 2yz 2xz   3 x+ + ≤ + y + z ⇒x2 + y2 + z2 ≥ ⇒ 3 min A 3= ⇔ = x y z 1.= =

Từ (1) và (2) suy ra:

Vậy MaxB = 3 khi x = y = z =1

Ví dụ 6.2 Tìm GTLN của

S = xyz (x+y) (y+z) (z+x) với x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Lời giải Vì x, y, z > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: