Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)

Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp (LA tiến sĩ)

& TRƯỜNG ĐẠI HỌC PAUL SABATIER, PHÁP

TRẦN ĐỨC ANH

TÊN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN

Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ

từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội – Năm 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

& TRƯỜNG ĐẠI HỌC PAUL SABATIER, PHÁP

TRẦN ĐỨC ANH

TÊN ĐỀ TÀI LUẬN ÁN

Đường cong Brody giới hạn và bài toán nâng ánh xạ

từ đa đĩa đối xứng hóa trong chiều thấp

Chuyên ngành: Hình học và Tôpô

Mã số: 62.46.01.05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

1 GS TSKH Đỗ Đức Thái

2 GS TSKH Pascal J Thomas

Hà Nội – Năm 2017

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan nhung ket qua đưoc trình bày trong lu¾n án này làtrung thnc và mói Các ket qua cna hai chương 1 & 2 thì đã đưoc công bo ocác tap chí Toán hqc trong và ngoài nưóc, các ket qua o chương 3 là mói vàchưa công bo o tap chí nào

Các ket qua viet chung vói GS Nikolai Nikolov và GS Pascal J Thomas

đã đưoc sn đong ý cna các đong tác gia khi đưa vào lu¾n án

Tran Đúc Anh

2

cam đoan 1

Mnc lnc 3

Lài cam ơn 5

Danh mnc ký hi¾u 7

Ma đau 9

Tong quan 13

Chương 1Ve sN không ton tai các đưàng cong E Brody giái han 25 1.1 Dan nh¾p 25

1.2 Sn không ton tai các đưòng cong Brody giói han 26

Chương 2Bài toán nâng ánh xa tN đa đĩa đoi xNng hóa không có đieu ki¾n đao hàm 31 2.1 Tóm tat n®i dung 31

2.2 Các đ®ng cơ nghiên cúu và các phát bieu 32

2.2.1 Các đ%nh nghĩa 32

2.2.2 Các đ®ng cơ nghiên cúu 33

2.3 Nhung thu gqn đau tiên cna bài toán 35

2.4 Các đieu ki¾n can 35

2.5 M®t công thúc cho ánh xa nâng 39

2.5.1 Dang Jordan sua đoi 39

2.5.2 Sai phân chia 41

2.5.3 M®t ánh xa nâng phân hình 41

2.5.4 Các tính toán cơ ban 42

2.6 Trưòng hop n 5 44

2.6.1 Trưòng hop n = 4 45

2.6.2 Trưòng hop n = 5 48

2.7 Phan ví du cho công thúc nâng khi n 6 51

Chương 3Bài toán nâng ánh xa tN đa đĩa đoi xNng hóa có đieu ki¾n đao hàm b¾c nhat 53 3.1 Phát bieu bài toán 53

3.2 Nhung thu gqn đau tiên cna bài toán 54

3

−

≤

≥

3.3 Tích h®p 55

3.4 Nhung phân tích đau tiên ve bài toán 57

3.5 Các trưòng hop cna B0 58

3.6 Ánh xa tuyen tính liên ket L B0,B1 , các đieu ki¾n và lưoc đo chúng minh 59

3.7 Trưòng hop thú nhat cna B0 61

3.7.1 Trưòng hop rank( L B0,B1 ) = 3 66

3.7.2 Trưòng hop rank( L B0,B1 ) = 4 71

3.8 Trưòng hop thú hai cna B0 74

3.8.1 Trưòng hop rank( L B0,B1 ) = 2 77

3.8.2 Trưòng hop rank( L B0,B1 ) = 3 80

3.8.3 Trưòng hop rank( L B0,B1 ) = 4 82

3.9 Trưòng hop thú ba B0 83

3.9.1 Trưòng hop rank( L B0,B1 ) = 2 86

3.9.2 Trưòng hop rank( L B0,B1 ) = 3 96

3.9.3 Trưòng hop rank( L B0,B1 ) = 4 103

Đánh giá và bàn lu¾n các ket qua 115 Ket lu¾n 117

Kien ngh% ve nhÑng nghiên cNu tiep theo 121 Các bài báo đã đưac công bo và tien an pham cua tác gia .123

Lài cam ơn

Đau tiên, tôi chân thành cam ơn hai thay đong hưóng dan là GS Đo ĐúcThái và GS Pascal J Thomas đã đong ý hưóng dan tôi thnc hi¾n lu¾n án,nhat là trong đieu ki¾n kinh phí khó khăn và cũng như thn tuc hành chínhphúc tap (do ket hop ca hai thn tuc hành chính giua Vi¾t Nam và Pháp).Nghiên cúu trong đieu ki¾n như v¾y, ve cơ ban là vat va cho ca hai thay lanhqc trò Các ý tưong cơ ban cna các ket qua trong lu¾n án đeu đưoc hìnhthành trong thòi gian ngan o Pháp, bao gom 1,5 + 3 + 3 tháng o Pháp (túcgom 3 lan sang Pháp theo kinh phí do Pháp tài tro, và chn yeu nguon tài tro

đó là do GS Pascal J Thomas tìm kiem cũng như lo lang các thn tuc hànhchính) Chính vì v¾y, khi đat đưoc bat kỳ ket qua nào trong quá trình tôiđeu cam thay rat biet ơn các thay đã tao đieu ki¾n làm vi¾c trong thòi gianđó

Tôi cũng chân thành cam ơn GS Gerd Dethloff và GS Hà Huy Khoái đãđong ý phan bi¾n lu¾n án Tôi cũng xin chân thành cam ơn GS Nguyen QuangDi¾u, PGS Nguyen Vi¾t Dũng, PGS Tran Văn Tan, PGS Sĩ Đúc Quang, TSNinh Văn Thu, TS Pham Đúc Thoan đã đong ý tham gia h®i đong bao v¾cap b® môn; GS Lê M¾u Hai, PGS Hà Huy Vui, PGS Pham Hoàng Hi¾p,PGS Jasmin Raissy đã đong ý tham dn h®i đong bao v¾ cap trưòng cho lu¾n

án cna tôi

Cuoi cùng, ket qua công vi¾c này không the ra đòi neu không có sn giúp

đõ và chia se trong công vi¾c giang day cna các đong nghi¾p o khoa Toán,

sn chu đáo cna gia đình, sn nng h® tinh than tù các ban bè

6

Danh mnc ký hi¾u

Ωn : Qua cau pho đơn v%, t¾p hop gom tat ca các ma tr¾n vuông cap n

có bán kính pho bé hơn 1.

• Cm,n ho¾c Cm×n : T¾p các ma tr¾n cõ m × n vói h¾ so phúc.

• Cho ma tr¾n A = (a ij ) Khi đó a ij đưoc gqi là h¾ so cna A ho¾c h¾

so đau vào cna A Đay đn hơn là: a ij là h¾ so (đau vào) ó v% trí (i, j) cna A.

• Gn : đa đĩa đoi xúng hóa chieu n.

• σ i : Đa thúc đoi xúng sơ cap thú i Khi viet σ i (M ) vói M ∈ C n,n ta

hieu theo hai cách: σ i (M ) là đa thúc đoi xúng sơ cap thú i cna các giá tr% riêng cna M Cách thú hai là: σ i (M ) là h¾ so b¾c n i cna đa

thúc

đ¾c trưng cna M (sai khác dau).

• Tr : Vet cna ma tr¾n vuông, ho¾c vet cna tn đong cau tuyen tính

•

−

8

1 Lý do chqn đe tài

Các van đe đưoc bàn trong lu¾n án này đeu là sn tiep noi các công trìnhnghiên cúu cna hai thay hưóng dan cna nghiên cúu sinh là GS TSKH ĐoĐúc Thái và GS TSKH Pascal J Thomas Lu¾n án gom 3 chương

Chương 1 bàn ve các đa tap phúc không thu®c kieu E giói han Đây là

khái ni¾m do ba tác gia Đo Đúc Thái, Mai Anh Đúc và Ninh Văn Thu đ¾t

ra trong bài báo [7] nham nghiên cúu câu hoi ve tính Zalcman cna các đa tapphúc, đưoc đ¾t ra trong bài báo cna ba tác gia Đo Đúc Thái, Pham NguyenThu Trang và Pham Đinh Hương [8] Các khái ni¾m và van đe này đeu liênquan gan gũi tói tính (phi) chuan tac cna các hq ánh xa chinh hình, túc làcũng gan gũi vói tính hyperbolic và các tính chat đưoc quan tâm cna các đatap phúc

Chương 2 và chương 3 bàn ve bài toán nâng ánh xa chinh hình tù đa đĩađoi xúng hóa lên qua cau pho Đây là bài toán phái sinh tù lý thuyet n®isuy Nevanlinna-Pick pho, m®t chn đe mà GS Pascal J Thomas nghiên cúunhieu năm Qua cau pho Ωn là t¾p các ma tr¾n vuông phúc cap n mà có bán

kính pho bé hơn 1 Bài toán n®i suy trong qua cau pho đưoc nhieu ngưòiquan tâm là vì nó có cơ so thnc tien trong ky thu¾t, mà ban thân nghiên cúusinh chưa tìm hieu đưoc ky càng Ta có the tham khao tong quan rat thú v%cna GS N Young [23] cho nhung úng dung đó

Tuy nhiên, qua cau pho là đoi tưong tương đoi khó nghiên cúu: ve m¾thình hqc, nó không he đep, ve m¾t giai tích hàm cũng không khá hơn baonhiêu Đây là m®t mien trong Cn2 và không b% ch¾n Các ky thu¾t hq chuantac không chay đưoc trong không gian này Quãng năm 2000, hai tác gia J.Agler và N Young đã đe ra nghiên cúu m®t mien phái sinh tù qua cau pho,

đó là đa đĩa đoi xúng hóa Gn Ta có the xem bài báo [1] cho đoi tưong này

Ta có the hieu đa đĩa đoi xúng hóa Gn là t¾p hop ghi chép lai pho cna

các ma tr¾n "m®t cách liên tuc" Đây là m®t t¾p b% ch¾n và là t¾p siêuloi theo nghĩa giai tích phúc các mien Túc là t¾p hop này đem lai hi vqngrang bài toán n®i suy se có nhieu tien trien hơn

Cách làm cna J Agler và N Young là thay vì xét bài toán n®i suy trong

9

−

qua cau pho thì ta chieu xuong đa đĩa đoi xúng hóa và xét bài toán n®i suytrong đó, và sau đó tìm cách quay tro lai qua cau pho, mà sau này tronglu¾n án gqi là bài toán nâng tù đa đĩa đoi xúng hóa

Thnc te thì qua cau pho và đa đĩa đoi xúng hóa đã thu hút đưoc rat nhieu nhà nghiên cúu o khap nơi, đ¾c bi¾t là các nhà toán hqc Ba Lan J Agler và

N Young xuat phát nghiên cúu luôn là tù quan điem lý thuyet toán tu Tuynhiên, vói bài toán n®i suy trong qua cau pho (hay bài toán Nevanlinna-Pickpho) thì phương pháp toán tu nói chung g¾p tro ngai đáng ke và khó tientrien Các nhà toán hqc Ba Lan thu®c phái giai tích mien nhìn nh¾n bàitoán theo kieu giai tích phúc mien, và hq đat đưoc nhieu ket qua Thay đonghưóng dan cna tôi cũng đóng góp đưoc ít nhieu ket qua và ca quan điemthuan túy giai tích phúc đe giai quyet bài toán n®i suy này Bài toán nângánh xa tù đa đĩa đoi xúng hóa là bài toán tìm đieu ki¾n can và đn đe có thenâng m®t đĩa chinh hình trong Gn lên Ω n Đây là bài toán thú v% và có the

đem lai m®t lưong úng dung đáng ke neu nó đưoc giai quyet m®t cách trqnven

Vói nhung đ®ng cơ như the, chúng tôi đã co gang nghiên cúu theo hưóng

đó, và hi vqng các ket qua trình bày trong lu¾n án giúp làm sáng to thêmphan nào các câu hoi đưoc bàn o trên

2 Mnc đích nghiên cNu

Muc đích cna lu¾n án gom:

(i)Mo r®ng ket qua cna ba tác gia Đo Đúc Thái, Mai Anh Đúc và Ninh Văn Thu [7]

(ii)Đưa ra công thúc nâng cu the cho bài toán nâng ánh xa không có đieu

ki¾n đao hàm vói chieu n ≤ 5 và chi ra phương pháp nâng mà tác gia Pascal J Thomas đưa ra không hoat đ®ng vói n ≥ 6.

(iii)Nghiên cúu bài toán nâng ánh xa vói đieu ki¾n đao hàm b¾c 1 cho

trưóc trong chieu n = 4 Tìm cách đưa ra dang đieu ki¾n "de su dung"

hơn so vói ba tác gia trưóc đó là N Nikolov, P Pflug và P J Thomas [13]

3 Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

Đoi tưong nghiên cúu cna lu¾n án là các không gian không thu®c kieu

E−giói han, qua cau pho và đa đĩa đoi xúng hóa.

4 Phương pháp nghiên cNu

Phương pháp nghiên cúu trong lu¾n án là khao sát ky các lý lu¾n cnacác tác gia trưóc đó như cna ba tác gia Đo Đúc Thái, Mai Anh Đúc và NinhVăn Thu, ho¾c ba tác gia N Nikolov, P Pflug và P J Thomas; roi tù đótìm cách mo r®ng phương pháp cna hq.

Trù chương 1, lu¾n án thiên ve tính toán và phương pháp tính toán Vìthe lu¾n án su dung nhieu các công cu cơ ban cna giai tích co đien nhưchuoi, bán kính chuoi h®i tu, v.v.; đai so tuyen tính ve ma tr¾n (giá tr%riêng, vector riêng, đa thúc đ¾c trưng, dang Jordan, dang huu ty v.v.), h¾phương trình và cách tuyen tính hóa các đa thúc v.v.; kien thúc cơ ban ve đathúc n®i suy (công thúc n®i suy Newton và Hermite) v.v

5 Ket cau lu¾n án

Ve cơ ban, lu¾n án ngoài các muc theo quy đ%nh thì gom 3 chương chính:

(i)Chương 1 bàn ve các không gian không thu®c kieu E giói han, hay các

không gian không có các đưòng cong Brody giói han

(ii) Chương 2 nghiên cúu bài toán nâng ánh xa không có đieu ki¾n

đao hàm vói công thúc nâng cu the trong trưòng hop chieu n ≤ 5 và chi

ra phan ví du nói rang công thúc nâng đó không hoat đ®ng khi chieu n

≥ 6.

(iii) Chương 3 nghiên cúu bài toán nâng ánh xa vói đao hàm b¾c 1

cho trưóc o chieu n = 4.

−

12

Như đã nói trong phan Mo đau, lu¾n án gom 3 chương chính, moichương bàn ve m®t bài toán cu the thu®c chn yeu vào hai chn đe: các đưòngcong Brody giói han và các bài toán nâng tù đa đĩa đoi xúng hóa (có vàkhông có đieu ki¾n đao hàm) Chúng tôi se trình bày chi tiet thành hai mucnhư sau.

Các đưàng cong Brody giái han

Đưòng cong Brody giói han là khái ni¾m đưoc đ¾t ra boi ba tác gia ĐoĐúc Thái, Mai Anh Đúc và Ninh Văn Thu trong bài báo [7] liên quan gangũi tói các hq chuan tac ho¾c phi chuan tac các ánh xa chinh hình Cu thehơn, có le các tác gia này xuat phát tù đ%nh lý noi tieng sau cna Zalcmannăm 1975 [24,25]

Đ%nh lý Zalcman Cho {f j : D → P1}∞ là m®t hq các hàm phân hình Neu hq này là không chuan tac đoi vói metric cau cua P1 thì ta có the trích

ra đưoc m®t dãy con roi tham so hóa afin lai đe thu đưoc m®t dãy con h®i tn tói m®t hàm nguyên khác hang có đao hàm cau b% ch¾n.

Cu the, ton tai dãy con {fj k }k≥1 , điem z0 ∈ D, dãy zk ∈ D và các so dương ρ k → 0+ sao cho dãy hàm

Hàm g như trong đ%nh lý Zalcman có đao hàm cau b% ch¾n, và ta gqi

nó là m®t đưòng cong Brody, theo tên gqi cna nhà Toán hqc R Brody tùbài báo noi tieng cna ông [5] ve tiêu chuan tính hyperbolic cna đa tap phúc

13

j=1

#

compact Cũng chính tù bài báo đó cna R Brody, đưòng cong Brody cũng làm®t chn đe đưoc m®t so lưong các nhà Toán hqc quan tâm (như J Duval, A.Eremenko, M Tsukamoto, J Winkelmann v.v.) và đem tói m®t so ket qua ratthú v%

Ba tác gia Đo Đúc Thái, Mai Anh Đúc và Ninh Văn Thu [7] có le xuat

phát tù đ%nh lý Zalcman và đ¾t ra khái ni¾m không gian loai E giói han

nham muc đích tìm ý tưong giai quyet gia thuyet ve tính Zalcman cna khônggian Cn đưoc đ¾t ra trong bài báo ba tác gia Đo Đúc Thái, Pham NguyenThu Trang, Pham Đinh Hương [8] Ta trình bày sơ qua các đ%nh nghĩa

Đ%nh nghĩa không gian loai E giái han Cho X là m®t đa tap phúc

đưoc trang b% m®t metric Hermit E Đa tap phúc X đưoc gqi là thu®c loai

E-giái han neu X thóa mãn các đieu sau:

Vói moi hq không chuan tac Hol(∆, X), trong đó ∆ là m®t mien trong C và Hol(∆, X) là t¾p tat ca các ánh xa chsnh hình tù ∆ vào X, sao cho F không chúa các dãy phân kỳ compact, ton tai các dãy {p j} ⊂ ∆

vói

p j → p0 ∈ ∆ khi j → ∞, {fj } ⊂ F, {ρ j } ⊂ R vói ρ j > 0 và ρ j → 0+ khi

j → ∞ sao cho

g j (ξ) := f j (p j + ρ j ξ), ξ ∈ C, h®i tn đeu trên các t¾p compact cua C tói m®t đưòng cong E-Brody khác hang g : C → X.

Khái ni¾m "phân kỳ compact" chi là m®t đieu ki¾n topo đơn gian và can

thiet vì tình huong o đây khác vói đ%nh lý Zalcman là không gian đích X

không còn là t¾p compact như đưòng thang xa anh P1.

Đ%nh nghĩa không gian Zalcman Đa tap phúc X đưoc gqi là không

gian Zalcman neu X thóa mãn đieu sau:

Vói moi mien Ω ⊂ C m và vói moi hq phi chuan tac F các ánh xa chsnh hình tù Ω vào X thóa mãn F không phân kỳ compact, ton tai m®t dãy các điem {p j } ⊂ Ω vói p j → p0 ∈ Ω, {fj } ⊂ F, {ρ j} ⊂ R+ vói ρ j → 0+ sao cho

g j (ζ) = f j (p j + ρ j ζ), ζ ∈ C m

h®i tn đeu trên các t¾p compact trong C m tói m®t đưòng cong nguyên khác hang g : C m → X.

Sn khác bi¾t giua hai khái ni¾m trên nam o ràng bu®c đoi vói đưòng cong

g : m®t cái có đao hàm b% ch¾n, m®t cái không có đieu ki¾n nào ca.

Các tác gia trong bài báo [8] nêu ra gia thuyet ve tính Zalcman như sau:

−

−

F ⊂

Gia thuyet tính Zalcman Phai chăng Cn là không gian Zalcman vói mqi

n ≥ 1?

Các tác gia trong bài báo đó đã chúng minh đưoc C1 là không gian

Zalcman nhò tính chat đ¾c bi¾t C1 = P1 Ky thu¾t chúng minh khá đơn gian: Hàm g đưoc xây dnng thông qua giói han nên mien giá tr% cna nó

ho¾c là nam trong C1 ho¾c là nam han trong biên cna C1 (là m®t điemtrong P1) Do g khác hang, nên đieu sau không the xay ra Tù ky thu¾t

chúng minh đó thì ta có the thay là neu biên là đa tap hyperbolic thì ket qua

van đúng Nhưng rat tiec, tù n 2, biên cna C n trong Pn không còn hyperbolic,nên hưóng đi đó phai tam dùng

Đe tiep tuc nghiên cúu bài toán ve tính Zalcman cna Cn , ba tác gia Đo

Đúc Thái, Mai Anh Đúc và Ninh Văn Thu đã đ¾t ra khái ni¾m manh hơnkhông gian Zalcman, và chúng minh đưoc hai ket qua chính sau

Đ%nh lý 1.6 cua [ 7 ] Cn (n 2) không thu®c loai E-giói han vói mqi hàm đ® dài E trên Cn

Đ%nh lý 1.7 cua [ 7 ] (C∗)2 không thu®c loai ds2 -giói han, trong đó ds2

là metric Fubini-Study trên P2(C)

Chúng minh Đ%nh lý 1.6 khá đơn gian, cách làm cna ba tác gia là tìm

m®t đưòng cong khác hang g : C C n−1 và sau đó lý lu¾n dna trên sn tontai đưòng cong đó M¾t khác, chúng minh đ%nh lý 1.7 cna ba tác gia phúctap hơn và ky thu¾t

Dna vào cách chúng minh cna ba tác gia đoi vói đ%nh lý 1.6, chúng tôinh¾n đ%nh rang sn ton tai đưòng cong nguyên khác hang trong Cn−1 là cotyeu và tìm cách cai thi¾n l¾p lu¾n o đây Tù đó chúng minh đưoc ket quasau:

Ket qua chính cua chương 1 Cho X là đa tap phúc có chúa m®t đưòng

cong nguyên, túc là m®t đưòng cong chsnh hình khác hang f : C → X Khi

đó, ca hai đa tap phúc C × X và C∗ × X đeu không thu®c loai E−giói han vói mqi metric Hermit E tương úng trên C × X và C∗ × X.

Phương pháp chúng minh là hoàn toàn co đien Chúng tôi xây dnng m®thàm chinh hình tù C vào C nh¾n các giá tr% và đao hàm b¾c 1 tai các điemcho trưóc, sao cho giá tr% và đao hàm phai không có ràng bu®c nào ca Đe làmđưoc đieu đó, chúng tôi bat chưóc hoàn toàn cách chúng minh cna đ%nh lýMittag-Leffler, đó là dùng lý thuyet bó: xây dnng các mam hàm đ%a phương

và chúng minh các mam hàm có the dán lai đưoc nhò đoi đong đieu b¾c 1cna bó tri¾t tiêu Tat ca nhung đieu này hoàn toàn có the thnc hi¾n đưockhi bó là nhat quán (tieng Anh: coherent) và không gian nam dưói là Stein

≥

− {∞}

≥

F

→

M®t bình lu¾n nho: E o đây là metric, túc manh hơn so vói ket qua đau cna

ba tác gia Chúng tôi can E là metric đe có the áp dung bat đang thúc tam

giác, tù đó đánh giá đưoc các đai lưong mong muon

Bài toán nâng ánh xa tN đa đĩa đoi xNng hóa

Bài toán nâng ánh xa tù đa đĩa đoi xúng hóa là bài toán phái sinh tùcác bài toán n®i suy Nevanlinna-Pick và Carathéodory-Fejér, vì the đau tiênchúng tôi trình bày sơ qua đ%nh nghĩa và thu¾t ngu trong lý thuyet n®i suynày

Cho X ⊂ C n và Y ⊂ Cm là các mien Cho p1, p2, , p N là N điem phân bi¾t trong X và q1, , q N là N điem trong Y.

Bài toán n®i suy Nevanlinna-Pick Bài toán tìm các đieu ki¾n (can và

đu) sao cho ton tai ánh xa chsnh hình f : X → Y sao cho f (p i ) = q i vói 1

≤ i ≤ N đưoc gqi là bài toán n®i suy Nevanlinna-Pick.

Ta có the gqi các điem p i là các điem n®i suy ho¾c các moc n®i suy; còn các giá tr% q i là các giá tr% n®i suy.

Bài toán n®i suy Carathéodory-Fejér Trong bài toán n®i suy

Nevanlinna- Pick, neu ta đòi hói thêm đieu ki¾n ve đao hàm cua f tai các moc n®i suy, ví dn f j(p i ), f jj(p i ), v.v nh¾n các giá tr% cn the, thì bài toán

đó đưoc gqi là bài toán n®i suy Carathéodory-Fejér.

Ta đưa ra hai ví du ve bài toán n®i suy kieu này

Bài toán n®i suy co đien Vói X = Y = D đĩa đơn v% mó trong C, bài toán n®i suy Nevanlinna-Pick (ho¾c Carathéodory-Fejér ) tương úng đưoc

gqi là bài toán n®i suy Nevanlinna-Pick (t.Ú Carathéodory-Fejér) co đien đã đưoc giai quyet trqn ven bói Rolf Nevanlinna (1919) và Georg Pick

(1916) Cn the là cho λ1, , λ N , z1, , z N ∈ D, (trong đó λ1, , λ N phân bi¾t) khi đó ton tai m®t hàm chsnh hình f : D → D sao cho f (λ i ) = z i vói 1

≤ i ≤ N khi và chs khi ma tr¾n Pick

quyet rat thành công tù phương pháp lý thuyet toán tu, khoi đau boi D.Sarason [18] Chính tù bài báo cna D Sarason, lý thuyet n®i suy Nevanlina-Pick (và các bài toán liên quan) có thêm m®t bưóc tien dài theo kieu lýthuyet toán tu và nhieu bài toán đưoc giai quyet theo hưóng này.

Bài toán n®i suy hi¾n nay đưoc quan tâm là bài toán n®i suy pho mà

phát bieu cna nó là như sau

tr¾n vuông M C n,n có bán kính pho nhó hơn 1) Bài toán này đưoc gqi là

bài toán Nevanlinna-Pick (t.Ú Carathéodory-Fejér) pho.

Bài toán này đưoc nhieu ngưòi quan tâm là vì nó có cơ so thnc te là bàitoán xuat phát tù lý thuyet đieu khien manh (tieng Anh: Robust controltheory), ta có the tham khao bài tong quan cna N Young [23] Tuy v¾y, bàitoán n®i suy pho là bài toán rat khó so vói nhung bài toán trưóc đó (n®i suytrong đĩa đơn v%, ho¾c qua cau đơn v% trong không gian đ%nh chuan) Quacau pho Ωn không có hình hqc đep Nó là mien không b% ch¾n, không phai

t¾p loi Phương pháp lý thuyet toán tu cũ [3] áp dung trên qua cau pho đattói giói han và khó đưa ra đưoc các đieu ki¾n có the tính toán đưoc

Quãng năm 2000, J Agler và N Young [1] đe xuat m®t hưóng làm mói tiepc¾n tói bài toán này vói muc đích có the đưa ra các đieu ki¾n tính toán rõ

ràng hơn Cu the là hai nhà toán hqc đưa đa đĩa đoi xúng hóa, ký hi¾u là G n ,

có đ%nh nghĩa như sau

Vói moi ma tr¾n M ∈ Ω n , ta xét đa thúc đ¾c trưng

Ánh xa π đưoc gqi là phép chieu tù Ω n lên G n (ho¾c ánh xa đoi xúng hóa).

σ i (M ) cũng có the đ%nh nghĩa là đa thúc đoi xúng sơ cap thú i cna các giá tr

% riêng cna M Đa đĩa đoi xúng hóa G n có the coi là m®t cách ghi chép

thông tin pho cna ma tr¾n m®t cách liên tuc (ho¾c chinh hình)

Ý tưong cna hai tác gia là chuyen đoi bài toán Nevanlinna-Pick pho vebài toán n®i suy trong đa đĩa đoi xúng hóa, vói hi vqng rang: đa đĩa đoi xúnghóa là mien b% ch¾n, siêu loi và hyperbolic v.v thì có the de tiep c¾n hơn

so vói qua cau pho Tuy v¾y, mqi chuy¾n van còn rat khó khăn, ngay ca bàitoán n®i suy tù 3 điem tro lên rat hiem khi đưoc đe c¾p

∈

Σ

Gan đây, nhóm các nhà toán hqc phái Ba Lan như Jarnicki, Zwonek,Pflug, Edigarian, Kosinski, Warzawski v.v và các nhà toán hqc khác như N.Nikolov, P J Thomas, Nguyen Văn Trào v.v đã tích cnc su dung công cu giaitích phúc đe nghiên cúu bài toán n®i suy và cũng đat đưoc m®t so ket qua.Đieu này là mói là vì J Agler và N Young xuat phát điem luôn đe c¾p bàitoán n®i suy dưói cách tiep c¾n toán tu, và cách tiep c¾n kieu này gan nhưkhông the tien trien vói bài toán Nevanlinna-Pick pho So lưong bài báonghiên cúu bài toán Nevanlinna-Pick pho theo hưóng này lên tói vài chucbài, chúng to hưóng đi theo kieu giai tích phúc thuyet phuc đưoc nhieu nhàtoán hqc

M®t cách tn nhiên, neu chúng ta tiep c¾n bài toán n®i suy pho bangcách chieu qua cau pho Ωn xuong G n thì se phai có m®t quá trình ngưoc lai:

đi tù Gn lên Ω n Bài toán đó se đưoc gqi là bài toán nâng tù đa đĩa đoi xúng

hóa Gn , chn đe cna hai chương 2 và 3 cna lu¾n án này.

Phát bieu bài toán nâng Cho B0 ∈ Ωn và ϕ : D → G n là m®t đĩa chsnh hình có ϕ(0) = π(B0) Tìm đieu ki¾n can và đu đe ta có the tìm thay m®t ánh xa chsnh hình Φ : ω → Ω n vói Φ(0) = B0 và π ◦ Φ = ϕ trong đó ω là m®t lân c¾n cua 0 ∈ D?

Ánh xa Φ như the đưoc gqi là ánh xa nâng cna ϕ và khi đó ϕ đưoc nói

là nâng đưoc (đ%a phương) Ta gqi bài toán này là bài toán nâng úng vói bài toán Nevanlinna-Pick pho ho¾c bài toán nâng tù đa đĩa đoi xúng hóa không

có đieu ki¾n đao hàm.

Neu ta đòi hoi thêm Φj(0) = B1 vói B1 Cn,n là ma tr¾n cho trưóc, thì

bài toán tro thành bài toán nâng tù đa đĩa đoi xúng hóa vói đao hàm b¾c nhat cho trưóc.

Ta có nh¾n xét nho là: Neu Φ là ánh xa nâng thì C−1 Φ C cũng là ánh

xa nâng vói C là ma tr¾n kha ngh%ch, ho¾c m®t hàm chinh hình nh¾n giá tr%

ma tr¾n kha ngh%ch Chính vì the, ta luôn có the coi B0 = Φ(0) là ma tr¾n

o dang Jordan đe cho ti¾n lý lu¾n

Chúng tôi trình bày sơ lưoc các nghiên cúu ve bài toán nâng trong m®tmuc tiep sau đây

Sơ lưac các nghiên cNu ve bài toán nâng không có đieu ki¾n đao hàm

Ban thân J Agler và N Young là nhung ngưòi đau tiên nghiên cúu bàitoán nâng [1], nhưng ket qua cna hq đat đưoc là rat sơ lưoc, cu the là vói

chieu n = 2 Sau đó S Petrovic [16] xét bài toán vói chieu n = 3 chn yeu

nham tra lòi câu hoi cna Bercovici chú không chn đích nghiên cúu bài toán

∈

· ·

nâng Thnc te thì NCS và thay đong hưóng dan Pascal J Thomas chi biettói bài báo cna S Petrovic sau khi hoàn thành bài báo [15].

Bài toán này đat đưoc tien b® rõ ràng hơn vói bài báo cna P J Thomas

và Nguyen Văn Trào [19], trong đó hai tác gia này nghiên cúu bài toán nâng

không có đao hàm vói ma tr¾n giá tr% n®i suy B0 là lũy linh (đieu này cũng

tương đương vói đieu ki¾n B0 có đúng m®t giá tr% riêng, nhò bien đoiM¨obius) Cũng chính tù bài báo này mà chúng tôi trình bày đưoc đieu ki¾ncan đ%a phương cho bài toán nâng o hình thúc rõ ràng như sau

Đieu ki¾n can và đu cho bài toán nâng không có đao hàm, M¾nh đe 2.11cua lu¾n án Cho ϕ ∈ Hol(ω, G n ), vói ω là m®t lân c¾n cua α ∈ D Cho A1 như trong (2.1) Các khang đ%nh sau là tương đương:

(a)Ton tai ωj ⊂ D m®t lân c¾n cua α và Φ ∈ Hol(ωj, Ω n ) sao cho

trong đó d i như trong Đ%nh nghĩa 2 10 .

(c) Ton tai ωj ⊂ D m®t lân c¾n cua α và Φ ∈ Hol(ωj, Ω n ) sao cho

π ◦ Φ = ϕ, Φ(0) = A1 và Φ(ζ) cyclic vói ζ ∈ ωj \ {α}.

Trong này, chúng tôi xin phép không trình bày chi tiet đ%nh nghĩa cna

các so d i , ta chi can hieu đơn gian là các so d i là các so đ¾c trưng cho dang Jordan cna ma tr¾n A1 (cũng chính là B0 như đã bàn o trên, nhưng vì lý do trùng

ký hi¾u nên tai đó chúng tôi thay đoi chút cho ti¾n trình bày)

Như v¾y, ve m¾t đ%a phương, bài toán nâng không có đao hàm đã đưocgiai quyet trqn ven M®t cách tn nhiên, bài toán nâng toàn cuc là đoi tưongnghiên cúu tiep theo

Tác gia P J Thomas trong quá trình nghiên cúu đã tìm ra m®t công thúcnâng dưòng như hi¾u qua đe tan công bài toán này Trưóc khi trình bày côngthúc cna P J Thomas, chúng tôi nhac lai chút là: Ánh xa Φ là ánh xa

nâng cna ϕ khi và chi khi vói moi ζ, đa thúc đ¾c trưng cna Φ(ζ) có các h¾

so trùng vói các tqa đ® cna ϕ(ζ) (sai khác dau) Công thúc nâng cna P J

Thomas là như sau:

∆A−1 P[ϕ(ζ)](ϕ1,1, ϕA,A)

ϕ n,A := −

và

n k=A+1 f (ζ) , 1 ≤ A ≤ n − 1

ϕn,n := −∆ n−1 P[ϕ(ζ)](ϕ1,1, , ϕn−1,n−1, 0) = ϕ1 − (ϕ1,1 + · · · + ϕn−1,n−1).

Vi¾c đe xuat này cna P J Thomas là do kinh nghi¾m và trnc giác cnatác gia làm vi¾c ve van đe n®i suy (ban thân GS P J Thomas là chuyên gia

ve lý thuyet n®i suy) Công thúc nâng o trên khi thay vào đa thúc đ¾c trưng

det(tI Φ(ζ)) đem lai hình thúc y h¾t công thúc n®i suy Newton, và vì the

tác gia đã hy vqng rang công thúc này se cho phép giai quyet bài toán nângtoàn cuc

Có m®t lý do nua khien P J Thomas quan tâm tói công thúc nâng kieunhư này là nó cho phép giai quyet ca bài toán nâng tai nhieu điem, và nóphuc vu ca đ®ng cơ nghiên cúu tính liên tuc cna hàm Lempert trong qua caupho

Tuy nhiên, chúng tôi chi ra rang công thúc nâng đó chs có the hoat đ®ng

ó chieu n 5 và that bai ó chieu n 6 Đây cũng là ket qua chính trong

chương 2 cna lu¾n án, đong thòi đưoc công bo o bài báo [15]

Nhân ti¾n, cũng phai nói là ket qua lý thuyet ve đieu ki¾n can và đn cnachương này đeu b% phn boi ket qua cna R Andrist [2], m®t nhà Toán hqc Thuy

Sĩ R Andrist đã chúng minh đưoc đieu ki¾n can và đn đ%a phương cna chúngtôi đưa ra cũng là đieu ki¾n can và đn toàn cuc bang cách su dung lý thuyetOka-Gromov-Forstneriˇc (còn gqi là lý thuyet đong luân chinh hình) Đây

là lý thuyet khó và vưot qua kha năng hieu biet cna NCS, nên chúng tôikhông the bình lu¾n gì thêm Tuy nhiên, ket qua mà chúng tôi đat đưoc van

có giá tr% nhat đ%nh và có the đăng đưoc báo là vì các ket qua này đưa racông thúc nâng cu the

Cũng do ket qua cna R Andrist, bài toán nâng không có đieu ki¾n đaohàm ve m¾t lý thuyet đã đưoc giai quyet trqn ven Vì the, vi¾c tiep tuc trienkhai nghiên cúu sang bài toán nâng có đieu ki¾n đao hàm là tn nhiên

Sơ lưac các nghiên cNu ve bài toán nâng có đieu ki¾n đao hàm b¾c nhat

Các ket qua đau tiên ve bài toán nâng tù đa đĩa đoi xúng hóa có đieuki¾n đao hàm thu®c ve A N Huang, S A M Marcantognini, N Youngnăm 2006 [12] và N Nikolov, P Pflug, P J Thomas năm 2011 [13]

Huang, Marcantognini và Young chúng minh đưoc rang neu giá tr% n®i

suy B0 là cyclic, thì ta luôn nâng đưoc ánh xa ϕ Ta có the hieu ma tr¾n

cyclic theo ba cách như the này:

Ma tr¾n B0 là cyclic neu dang chính tac huu ty cna nó chi có m®t khoiduy nhat

Ma tr¾n B0 là cyclic neu, vói moi giá tr% riêng λ cna B0, chi có đúng m®t khoi Jordan úng vói λ.

• Ma tr¾n B0 là cyclic neu B0 là điem chính quy (theo nghĩa giai tích)

cna ánh xa đoi xúng hóa π : Ω n → G n

Như v¾y, neu B0 không là điem kỳ d% (theo nghĩa ánh xa kha vi), thì

không có thêm đieu ki¾n đe có the nâng đưoc ϕ (ngoài đieu ki¾n hien nhiên π(B0) = ϕ(0) và Dπ B0 (B1) = ϕj(0))

Bài báo thú hai đưoc nêu o trên nghiên cúu tình huong mà B0 là ma tr¾n

phi-cyclic o chieu n 3 Cách làm cna các tác gia ve cơ ban là dn đoán m®t

công thúc nâng giong như công thúc nâng đưoc đe xuat boi P J Thomas mà

đã bàn o trên, roi sau đó thay vào công thúc nâng vào đa thúc đ¾c trưng đetính toán và chinh sua các giá tr% đau vào cna công thúc nâng Chính cáchlàm như v¾y khien cho các tác gia chi có the giai quyet bài toán trong trưòng

hop chieu n 3, thú hai là cách làm đó có han che ve hình thúc trình bày

đieu ki¾n can và đn Chính vì the, thay đong hưóng dan P J Thomas đãyêu cau NCS khao sát bài bài đó và tìm cách làm rõ hơn ban chat các đieuki¾n đưoc nêu ra trong bài báo đó

N®i dung chương 3 cna lu¾n án trình bày nghiên cúu ve bài toán nâng

tù đa đĩa đoi xúng hóa có đieu ki¾n đao hàm b¾c nhat o chieu n = 4 Quan

điem cna chúng tôi trong vi¾c tiep c¾n bài toán này là như sau:

Phương pháp nâng cũ cna P J Thomas trong bài toán nâng không cóđieu ki¾n đao hàm không the hoat đ®ng trong bài toán nâng có đieuki¾n đao hàm

Phương pháp bien đoi sơ cap trong bài báo [13] tìm cách đưa B0 và B1

ve dang đơn gian rat khó có the tong quát

• Phương pháp cna Huang, Marcantognini và Young [12] chi hoat đ®ng

đoi vói B0 cyclic

Cách tiep c¾n mói can thong nhat ca hai bài toán nâng có và không có đieu ki¾n đao hàm, chú không coi hai bài toán này là riêng bi¾t.Chúng tôi chi t¾p trung nghiên cúu bài toán nâng đ%a phương vói hyvqng rang neu giai quyet trqn ven bài toán nâng đ%a phương, thì ta có thegiai quyet đưoc bài toán nâng toàn cuc theo cách làm cna R Andrist [2].Sau đây chúng tôi trình bày sơ lưoc cách tiep c¾n bài toán nâng có đieu

ki¾n đao hàm b¾c nhat trong chieu n = 4.

Cách tiep c¾n bài toán nâng có đieu ki¾n đao hàm b¾c nhat trong chieu n = 4

Đau tiên, B0 luôn có the đưoc quy ve trưòng hop lũy linh

Sau đó, chúng tôi quan ni¾m bài toán nâng ánh xa là h¾ phương trình

các đao hàm cna Φ tai ζ = 0 Cu the là: hai hàm chinh hình π Φ và ϕ bang nhau khi và chi khi đao hàm mqi cap tai ζ = 0 phai bang nhau.

Ký hi¾u B k = Φ (k) (0) vói k ≥ 0 Đe trình bày các phương trình ta can phai (đa) tuyen tính hóa các hàm σ m (M ) sao cho

1

σ m (M ) =

m! M · M · · M

m lan Như v¾y neu viet A1A2 A k , vói A i là các ma tr¾n vuông cùng cap, thì

ta can hieu đó là dang đa tuyen tính nh¾n đưoc tuyen tính hóa đa thúc σ k , mà

σ k (M ) chính là đa thúc đoi xúng hóa thú k cna các giá tr% riêng cna ma tr¾n vuông M.

Nhac lai ϕ m = σ m (Φ) Như v¾y, đao hàm hai ve tai ζ = 0 o mqi cap k đeu phai bang nhau, và ta thu đưoc các phương trình theo B2, B3, như

Ta tam gqi các phương trình này là phương trình nâng Tù bài toán nâng

không có đieu ki¾n đao hàm, ta biet rang neu ϕ nâng đưoc thì

H¾ qua Gia su B0 ∈ Cn,n lũy linh và d1, , d n là các so liên ket cna

trong đó các dau cham bieu dien các hang tu cau tao boi B i vói i < k Neu

ta quan ni¾m B k là thông tin biet sau, còn các B i vói i < k là các thông tin

biet trưóc (ho¾c đã biet), thì rõ ràng dang phương trình như trên chính là

dang phương trình tuyen tính theo B k Đieu này goi ý là ta nên sap xep

các phương trình tai (3.4) thành các nhóm n phương trình Cu the là, đ¾t

Xk

=

(k+d1 1) 1

, (k + 1)(k + 2) (k + d1 −

Khi đó các phương trình cna ϕ (3.4) chính là các t¾p Xk vói k ≥ 2 (vói k = 0,

và 1, thì B Bây giò neu ta xét ánh xa tuyen tính sau L0 và B1 đưoc cho trưóc)

Ta gqi ánh xa L B0,B1 này là ánh xa tuyen tính liên ket vói bài toán nâng

(ho¾c vói du li¾u {ϕ, B0, B1})

Bây giò ta quan sát Xk vói k ≥ 2 Nh¾n xét

trong đó các dau cham bieu th% cho các hang tu chi phu thu®c vào B i vói

i < k.

Ta nh¾n xét là neu rank(L B0,B1 ) = n, túc là L B0,B1 có hang cnc đai, thì

ta có the tìm thay m®t dãy {Bk}k≥2 là nghi¾m cna các phương trình trong

đó B k can phai đưoc tìm trưóc B k+1

Tuy nhiên, đieu này không đam bao sn h®i tu cna chuoi Σ∞

k=0 B k k ζ trong khi đieu này là can thiet cho vi¾c Φ chinh hình trong m®t lân c¾n cna ζ = 0.

Ta se bàn ve đieu này trong m®t lát nua

Ta nh¾n xét là neu rank(L B0,B1 ) < n, thì đieu này cho ta m®t quan h¾

tuyen tính giua các đai lưong cna Xk Cu the là B k có the b% tri¾t tiêu

khoi to hop tuyen tính nào đó cna các ve phai cna (3.4) đe san xuat ra cácphương

trình không phu thu®c vào B k , túc là chi phu thu®c vào B0, B1, , B k−1 Nh¾n xét là ta xét B2, B3, , như là m®t chuoi các thông tin mà trong đó

B k−1 là thông tin biet trưóc thông tin B k Khi k = 2, đieu này cho ta các đieu ki¾n can cu the ve ϕ, và đây chính là cách mà các tác gia trong [13] đãnh¾n đưoc các đieu ki¾n can

Trong trưòng hop mà rank(L B0,B1 ) < n, m®t vài đai lưong cna X k không

có sn tham gia cna

B k

, ví du, ϕ (k+d n−1)

(0) Vì the vi¾c xét các đao hàm tiep theo là tn nhiên, ví du, ϕ (k+d n)

(0) cho tói khi nó phu thu®c vào B k nhưng

không phai phu thu®c vào B k+1 Bang cách này, chúng tôi thnc te đã thay

L B0,B1 boi m®t ánh xa mói L B0,B1,B2 mà B2 tham gia vào trong đ%nh nghĩa

cna L B0,B1,B2 nhưng không có B k nào khác vói k 3 Ánh xa mói L B0,B1,B2

này phai có hang cnc đai

Tuy nhiên, ta van còn van đe ve sn h®i tu cna chuoi Σ∞

k=0 B k k ζ Đieu này

hóa ra cũng không quá khó khăn: neu ta có the tìm đưoc m®t nghi¾m{Bk}

có dang B k là các ma tr¾n chi gom đúng m®t dòng khác 0, thì sn h®i tu đưoc đam bao, do dãy B k se b% chi phoi boi m®t quan h¾ hoi quy tuyen tính và ta

có the đánh giá đưoc chuan cna chúng

Đe làm đieu này, chúng tôi phai tìm m®t ma tr¾n B2 thích hop sao cho

han che cua L B ,B ,B lên không gian con cua C n,n , gom các ma tr¾n có đúng dòng cuoi khác 0, có hang cnc đai, túc là có hang bang n.

Chúng minh khi đó chn yeu là ky thu¾t tính toán, rat dài dòng và m¾t

moi Cũng do van đe h®i tu cna chuoi Taylor Σ∞

k=0 B k k ζ cna Φ(ζ) mà chúng tôi chi có the giai quyet o trưòng hop n = 4, do tính toán se tro nên rat

cong kenh o chieu lón hơn

Toàn b® n®i dung chương 3 đưoc viet thành thành tien an pham [21], tam thòi chưa đưoc công bo o tap chí nào

k!

n n

≥

k!

k!

Ve sN không ton tai các đưàng

Trong chương này, chúng tôi trình bày m®t chúng minh mói cho ket qua cnacác tác gia Đo Đúc Thái, Mai Anh Đúc và Ninh Văn Thu [7] ve các đưòngcong Brody giói han và hq không chuan tac các ánh xa chinh hình Chúngminh này đưoc công bo o bài báo [22], và do giói han ve thòi gian, chúng tôitái xuat ban n®i dung bài báo o đây mà không có thêm thay đoi nào

Các hq không chuan tac các ánh xa chinh hình và đưòng Brody (túc là m®t đưòng cong chinh hình có đao hàm b% ch¾n) có moi quan h¾ m¾t thiet (tham khao [5,25]) Liên quan tói các chn đe này, các tác gia cna bài báo [7]

đã chúng minh đưoc các ket qua sau

Đ%nh lý 1.1 (Đ%nh lý 1.6 cna [7]) Cn (n 2) không thu®c loai E-giói han vói mqi hàm đ® dài E trên C n

Đ%nh lý 1.2 (Đ%nh lý 1.7 cna [7]) (C∗)2 không thu®c loai ds2

-giói han, trong đó ds2 là metric Fubini-Study trên P2(C)

Chúng minh cna các tác gia này su dung m®t ket qua cna J Winkelmann

và các ky thu¾t trích dãy khá phúc tap Vì the trong chương này, chúng tôi

co gang đưa ra m®t chúng minh khác ngan hơn và tong quát hơn m®t chút.Đau tiên, chúng tôi nhac lai m®t vài đ%nh nghĩa và giai thích n®i dung các đ%nh lý cna ba tác gia

Đ%nh nghĩa 1.3 Cho X là m®t đa tap phúc đưoc trang b% m®t metric

Hermit E Đưòng cong chinh hình f : C → X đưoc gqi là m®t đưàng cong

25

≥

F S

F

S

trong đó c là m®t hang so dương.

Hàm đ® dài là khái ni¾m tong quát hơn khái ni¾m metric, nhưng nó sekhông liên quan gì tói chúng ta o đây, ta có the tham khao bài báo cna ba tácgia [7] cho đ%nh nghĩa đó Lưu ý rang neu chúng tôi viet E p (˙v), thì đieu đó có nghĩa là đ® dài cna vector tiep xúc ˙v tai điem p theo metric E Neu

điem p đã rõ ràng, thì ta se viet |˙v| E

Đ%nh nghĩa 1.4 Cho X là m®t đa tap phúc đưoc trang b% m®t

metric Hermit E Đa tap phúc X đưoc gqi là thu®c loai E-giái han neu X

thoa mãn các đieu sau:

Vói moi hq không chuan tac Hol(∆, X), trong đó ∆ là m®t mien

trong C và Hol(∆, X) là t¾p tat ca các ánh xa chinh hình tù ∆ vào X, saocho F không chúa các dãy phân kỳ compact, ton tai các dãy {pj} ⊂ ∆vói

p j → p0 ∈ ∆ khi j → ∞, {fj } ⊂ F, {ρ j } ⊂ R vói ρ j > 0 và ρ j → 0+ khi

dãy {f j}∞j=1 trong F, đeu ton tai m®t dãy con h®i tu đeu trên các t¾p

con

compact cna ∆ Hq ánh xa mà không có tính chat này thì đưoc gqi là hq

không chuan tac.

Đ%nh nghĩa 1.6 Dãy {f j}∞

j=1 trong Hol(∆, X) đưoc gqi là phân kỳ

sao cho, vói mqi j ≥ j0, ta có f j (K) ∩ L = ∅.

Đ%nh lý 1.7 (Ket qua chính) Cho X là đa tap phúc có chúa m®t đưòng

cong nguyên, túc là m®t đưòng cong chsnh hình khác hang f : C → X Khi

đó, ca hai đa tap phúc C × X và C∗ × X đeu không thu®c loai E−giói han vói mqi metric Hermit E tương úng trên C × X và C∗ × X.

Đe chúng minh đ%nh lý, ta se su dung hai bo đe Bo đe thú nhat đưoc

phát bieu mà không chúng minh (tham khao trang 299, chương 15 [17])

Bo đe Q1.8 Cho c n > 0 vói n ∈ΣN Khi đó các đieu sau là tương đương.

(a

)

(a

)

Thêm nua, (a) và (b) đeu tương đương vói đieu sau.

(c) ∞n=1(1 − cn ) > 0 neu ta gia su thêm rang 0 < c n < 1 vói mqi n.

Bo đe thú hai là bo đe chính, là chìa khóa cho chúng minh cna ket qua

Bây giò ta su dung m®t ky thu¾t co đien như trong chúng minh đ

%nh lý Mittag-Leffler Xung quanh moi điem α j , ta luôn tìm thay m®t hàm chinh hìnhf j sao cho f j (α j ) = p j và f jj (α j ) = k j Đieu đó có nghĩa là

ta luôn tìm thay m®t đoi dây chuyen {(Uj , f j)}, trong đó Uj là m®t lân c¾n mo cna α j vói

j ≥ 1, trong phúc đoi dây chuyen Cˇech C0(U , O), trong đó U = {Uj : j ≥ 1}

là m®t phn mo cna C và fj (α j ) = p j , f jj (p j ) = k j vói mqi j ≥ 1.

Ký hi¾u δ là toán tu vi phân cna phúc Cˇech Khi đó, δ (U j , f j) là

m®t đoi chu trình trong Z1( , ) sai khác m®t cái m%n cna Nhưng bó là nhat

quán và không gian cơ so C là không gian Stein, do đó đoi đong đieu cna nó

H1(C, I) tri¾t tiêu

Đieu đó có nghĩa là ta có the tìm thay m®t đoi dây chuyen {(Uj , g j)} ∈

C0(U , I) sao cho δ{(Uj , f j)} = δ{(Uj , g j)} Suy ra fj − g j = f i − g i trong

U j U i vói j = i, khi đó chúng đ%nh nghĩa m®t hàm toàn cuc g : C C thoamãn các đieu ki¾n n®i suy trên

Chúng minh cua Đ%nh lý 1.7 Ta chi chúng minh đ%nh lý cho C∗ X, chúng

minh cho trưòng hop còn lai là tương tn

Do f là chinh hình và khác hang nên ton tai m®t dãy các so phúc

khác không {pj}∞

j=1 trong C sao cho f j(p j) =ƒ 0 vói mqi j.

Gia su g : C C là m®t hàm chinh hình sao cho g(α j ) = p j và gj(α j ) = k j vói mqi j 1 Hàm này luôn ton tai nhò Bo đe1.9 Ta tính đ® đài cna vectortiep xúc tói đưòng cong C z (e z , (f g)(e z )) tai điem z = q j trong đó

thì đưòng cong nguyên C s z ›→ (ez , (f ◦ g)(e z )), tù bây giò đưoc ký hi¾u là

F, không phai là m®t đưòng cong E−Brody.

Bây giò xét dãy f n ∈ Hol(∆, C∗ × X) đ%nh nghĩa boi công thúc f n (z)

= F (nz) Dãy này không chúa dãy con nào phân kỳ compact do f n (0) = F (0) vói mqi n Do đó neu C∗ × X thu®c loai E−giói han, thì ta có the trích m®t dãy con, van ký hi¾u là f j , sao cho ton tai các điem a j a0 ∆ và ρ j

> 0

tien tói 0 có tính chat sau:

Dãy các ánh xa

C s ξ ›→ f j (a j + ρ j ξ)

h®i tu đeu trên các t¾p con compact tói m®t đưòng cong nguyên khác hang

đưoc ký hi¾u boi G.

Tqa đ® thú nhat cna ánh xa C ξ f j (a j + ρ j ξ) là e ja j +jρ j ξ , đây là m®t hàm chinh hình không có không điem Ký hi¾u L là hàm giói han cna dãy này, khi đó G = (L, (f g)(L)) Ta suy ra L là khác hang do G khác hang Theo đ%nh lý Hurwitz, L không có không điem.

Ta có

jρ j = d ja j +jρ j ξ

dξ

e ja j +jρ j ξ

vói tư cách là m®t dãy các hàm, h®i tu đeu trên các t¾p con compact tói

m®t hàm chinh hình chi nh¾n các giá tr% thnc Do đó jρ j h®i tu tói m®t so khác không B Ta cũng có e ja j h®i tu tói m®t so khác không e A

Do đó L có dang L(ξ) = exp(A + Bξ) và nó kéo theo

G(ξ) = (exp(A + Bξ), (f ◦ g)(exp(A + Bξ))) = F (A + Bξ) Theo cách xây dnng F, đieu này cho ta m®t mâu thuan vói gia su C∗ X

30

Bài toán nâng ánh xa tN đa đĩa đoi xNng hóa không có đieu

ki¾n đao hàm

N®i dung cna chương này là ban d%ch nguyên văn bài báo cna chúng tôi đưoccông bo tai [15] và do han che ve thòi gian, chúng tôi không thêm bat cúthay đoi nào

Qua cau pho đơn v% Ωn là t¾p tat ca các ma tr¾n vuông M cap n có bán kính pho nho hơn 1 Đe cho gqn, ta se nói qua cau pho, thay cho qua cau pho đơn v% Ký hi¾u π(M ) C n là các h¾ so cna đa thúc đ¾c trưng cna ma tr¾n M,

túc là các đa thúc đoi xúng sơ cap cna các giá tr% riêng cna nó Khi đó đa đĩa

đoi xúng hóa chieu n đưoc đ%nh nghĩa là Gn := π(Ω n ).

Thông thưòng khi khao sát các bài toán Nevanlinna-Pick cho các ánh

xa tù đĩa vào qua cau pho, vi¾c chieu ánh xa lên đa đĩa đoi xúng hóa se

có loi ích nhat đ%nh (ví du đe nh¾n đưoc các ket qua ve tính liên tuc cnahàm Lempert): neu Φ ∈ Hol(D, Ωn ), khi đó π ◦ Φ ∈ Hol(D, G n ) Cho ánh

xa

ϕ ∈ Hol(D, G n ), chúng ta tìm đieu ki¾n can và đn đe ánh xa này có the nâng đưoc qua các ma tr¾n cho trưóc, túc là tìm Φ như trên sao cho π ◦ Φ = ϕ

và Φ(α j ) = A j, 1 ≤ j ≤ N M®t đieu ki¾n can tn nhiên là ϕ(αj ) = π(A j),

1 j N Khi các ma tr¾n A j là vi pham (tieng Anh: derogatory; nghĩa

là không thùa nh¾n m®t vector cyclic) các đieu ki¾n can mói se xuat hi¾n,

bao gom các đao hàm cna ϕ tai các điem α j Chúng tôi chúng minh rang các

đieu ki¾n đó là can và đn đe nâng đ%a phương Chúng tôi đưa ra công thúc

đe thnc hi¾n nâng toàn cuc đoi vói các chieu nho (n ≤ 5), và m®t phan ví

31

∈

≤

du cho thay công thúc that bai o chieu tù 6 tro lên

M®t vài bài toán trong Lý thuyet đieu khien manh dan tói vi¾c nghiên cúu

các giá tr% kỳ d% có cau trúc cna m®t ma tr¾n (đưoc ký hi¾u boi µ) M®t

trưòng hop đ¾c bi¾t cna chuy¾n này chính là bán kính pho cna ma tr¾n

M®t ví du rat đ¾c bi¾t cna bài toán “µ-tong hop" đưoc quy ve bài toán Nevanlinna-Pick, túc là cho trưóc các điem α j D := z C : z < 1 ,

A j Ω C m , 1 j N , xác đ%nh xem ton tai hay không hàm chinh hình

Φ tù D vào Ω sao cho Φ(αj ) = A j , 1 j N Ta có tham khao nhung van đe

này trong bài tong quan rat thú v% cna Nicholas Young [23]

Chúng tôi nghiên cúu trưòng hop đ¾c bi¾t này Bây giò chúng tôi se đưa

ra m®t vài ký hi¾u

Cho Mn là t¾p hop tat ca các ma tr¾n vuông phúc cap n Vói A ∈ M n

ký hi¾u Sp(A) và r(A) = max λ ∈Sp(A) λ lan lưot là pho và bán kính pho cna A.

Ωn := {A ∈ M n : r(A) < 1}.

Đa đĩa đoi xúng hóa G n đưoc đ%nh nghĩa boi

Gn := {π(A) : A ∈ Ω n }, trong đó ánh xa π : n C n , π = (σ1, , σ n), đưoc cho boi các h¾ socna đa thúc đ¾c trưng cna ma tr¾n (sai khác dau):

Bài toán 2.2 (Bài toán nâng).

Cho ánh xa ϕ ∈ Hol(D, G n ) và A1, , A N ∈ Ωn , tìm các đieu ki¾n (can, ho¾c đu) sao cho ton tai hàm chsnh hình Φ ∈ Hol(D, Ω n ) thóa mãn ϕ

Khi đieu này xay ra, ta nói rang ánh xa ϕ nâng qua các ma tr¾n A1, , A N tai các điem (α1, , α N ) M®t đieu ki¾n can hien nhiên đe cho ϕ nâng qua các ma tr¾n A1, , A N tai (α1, , α N ) là ϕ(α j) =

π(A j ) vói j = 1, , N

Nh¾n xét 2.3 Bat cú khi nào có m®t nghi¾m cho bài toán nâng vói du li¾u α j , A j , thì khi đó se có m®t nghi¾m cho bài toán tương úng vói α j , A˜j , trong đó A j ∼ A˜j vói moi j, túc là A j đong dang vói A˜j , túc là vói moi

j ton tai P j ∈ M−

n 1 sao cho A˜j = P −1A j P j [1, Chúng minh Đ%nh lý 2.1].Ket qua đau tiên cna chúng tôi là m®t câu tra lòi đ%a phương (M¾nh đe 2.11o Muc2.4) Su dung đieu này và lý thuyet Forstneriˇc, R Andrist [2] gan đây đã chúng minh đưoc rang các đieu ki¾n đ%a phương thnc chat cũng là đieu ki¾n đn cho bài toán nâng toàn cuc Tuy nhiên, chúng tôi cung

cap m®t công thúc cu the cho ánh xa nâng vói n 5 (Đ%nh lý2.20o Muc2.6)

Phương pháp đưoc phát trien o Muc2.5hoat đ®ng trong m®t so trưòng hop khác (ví du khi các ma tr¾n n®i suy có m®t giá tr% riêng duy nhat), nhưng nói chung that bai đoi vói các chieu tù 6 tro lên, như đưoc chúng minh trong Muc2.7

Các ánh xa nâng quy vi¾c nghiên cúu bài toán n®i suy Nevanlinna-Picktrong qua cau pho ve m®t bài toán vói mien đích b% ch¾n và có chieu nho

hơn nhieu Đa đĩa đoi xúng hóa là căng (tieng Anh: taut), túc là mqi hq ánh

xa chinh hình vào nó đeu là hq chuan tac Do đó, nói riêng neu các đieu ki¾n

nâng là liên tuc đoi vói ϕ (ví du phu thu®c vào m®t so huu han các giá tr% cna ϕ và các đao hàm cna nó), ta có the thu thêm đưoc các ket qua ve tính

liên tuc Đe trình bày đieu này, chúng tôi su dung ký hi¾u sau

Ánh xa ϕ k (ϕ) là tuyen tính và liên tuc tù Hol(D, C n ), đưoc trang

b% topo h®i tu đeu trên các t¾p compact, tói C(k+1)n

Chúng tôi đưa ra m®t ví du ket qua ve tính liên tuc khi N = 2 Ta nhac

lai đ%nh nghĩa cna hàm Lempert trong boi canh này

AΩ(A, B) := inf {|α| : ∃ϕ ∈ Hol(D, Ω) : ϕ(α) = A, ϕ(0) = B}

m®t vector cyclic v, túc là v Cn sao cho các l¾p lai cna nó A k x, k 0 sinh ra toàn b® Cn

Ket qua sau đưoc nhieu ngưòi biet: hàm Lempert liên tuc theo ca hai đoi

so tai các điem (A, B) trong đó A và B là cyclic Tình huong tro nên không

rõ ràng nua khi mà m®t trong hai ma tr¾n không còn là cyclic (nhung ma

tr¾n như the đưoc gqi là vi pham (tieng Anh: derogatory; ta cũng có the

ΘB(J k (ϕ)) = (π(B), 0).

Khi đó ánh xa M ›→ AΩn (M, B) liên tnc tai điem A.

Trong ngôn tù ít ky thu¾t hơn, neu A cyclic, và neu B thoa mãn rang

sn ton tai ánh xa nâng cna ϕ tù đa đĩa đoi xúng hóa qua (A, B), nh¾n giá tr

% cyclic trù B, đưoc đ¾c trưng hóa boi m®t so huu han các đieu ki¾n lên các giá tr% cna ϕ và các đao hàm cna nó (tai m®t so điem thích hop cna nó),

khi đó ta có đưoc tính liên tuc b® ph¾n cna hàm Lempert đoi vói đoi so thú

nhat tai (A, B).

Do ket qua cna R Andrist [2] (và, trong m®t trưòng hop đ¾c bi¾t, Đ%nh

lý cna chúng tôi2.20) cung cap m®t t¾p hop các đieu ki¾n như trong M¾nh

đe2.7 , bây giò chúng tôi biet rang ket lu¾n xay ra vói mqi ma tr¾n B ∈ M n

và vói mqi chieu n: neu A cyclic, ánh xa M ›→ AΩn (M, B) liên tuc tai A Chúng minh cua M¾nh đe 2.7

Hàm Lempert luôn luôn nua liên tuc trên, vì the chúng tôi chi can chúng minh:

khi A p → A, AΩn (A, B) ≤ lim sup AΩn (A p , B).

Chuyen qua m®t dãy neu can thiet, ta có the chqn α p ∈ D sao cho | α p| ≥

AΩn (A p , B) và lim p→∞ |α p | = |α∞| = lim supp→∞ AΩn (A p , B), vói α∞ ∈ D Khi

đó, ton tai Φp ∈ Hol(D, Ω n) sao cho Φp (0) = B, Φ p (α p ) = A p

Cho ϕ p := π ◦ Φ p Boi vì G n là mien căng, chuyen qua dãy con neu can thiet, ta có the gia su ϕ Do tính liên tuc cna ánh xa jet, (π(B), 0) = Θ p → ϕ∞ ∈ Hol(D, G n ) Rõ ràng ϕ∞(0) = π(B).

Hơn nua, π(Φ∞(α∞)) = ϕ∞(α∞) = limp ϕ p (α p) = limp π(A p ) = π(A), và do

Ta can thiet l¾p m®t so ký hi¾u

Đ%nh nghĩa 2Σ.8 Cho trưóc m®t vector v := (v1, , v n) ∈ Cn, ta ký hi¾u

Cách chqn này đam bao P [π(A)] = P A

Đ%nh nghĩa 2.9 Cho a := (a1, , a n) ∈ Cn , ma tr¾n đong hành cna a là

Ma tr¾n A n là cyclic (hay không vi pham) khi và chi khi nó đong

dang vói ma tr¾n đong hành cna nó (xem [14] cho chúng minh cna tính chatnày cũng như các tính chat tương đương khác)

Tính toán trên cna đa thúc đ¾c trưng cna ma tr¾n đong hành cho

thay ϕ ∈ Hol(D, G n ), neu ta viet ϕ˜ := ((−1) j+1 ϕ j , 1 ≤ j ≤ n), thì ánh

xa đưoc cho boi Φ(ζ) := C [ϕ˜(ζ)] là m®t nâng cna ϕ.

Do đó, ket hop vói Nh¾n xét2.3, đieu này có nghĩa là vi¾c nâng qua m®t t¾p hop các ma tr¾n cyclic có the đat đưoc ngay khi các đieu ki¾n

can hien nhiên ϕ(α j ) = π(A j ), 1 j N , đưoc thoa mãn [1, Đ%nh lý 2.1], [6, Đ%nh lý 2.1]

Trưòng hop A1 chi có đúng m®t giá tr% riêng , và A2, , A N cyclic, đã

đưoc nghiên cúu trong [19]

Cho A1 ∈ Mn Sai khác đong dang, ta có the gia su nó có dang Jordan Ta viet nó dưói dang khoi liên ket vói moi giá tr% riêng phân bi¾t cna A1, ký hi¾u

≤

B s

Σk

=1 m k = n, (2.1)

trong đó Sp B k = {λ k }, và λ j =ƒ λ k vói k ƒ= j.

Tam thòi, ta co đ%nh k và viet (B, λ, m) thay cho (B k , λ k , m k ) Ta can

thiet l¾p m®t vài ký hi¾u như trong[19] Cho B = (b i,j)1≤i,j≤m Khi đó

b jj = λ, b j −1,j ∈ {0, 1}, 2 ≤ j ≤ m, và b ij = 0 neu ho¾c i > j ho¾c i + 1

< j.

Ký hi¾u r là hang cna B λI m , túc là có đúng m r c®t trong B λI m

đong nhat 0, cái thú nhat, và nhung cái đưoc đánh so boi các so nguyên

j ≥ 2 sao cho b j −1,j = 0 Đánh so t¾p hop (có the rong) các chi so c®t mà h¾ so b j −1,j tri¾t tiêu như sau

{j : b j −1,j = 0} =: {b2, , b m −r }, 2 ≤ b2 < · · · < b m −r ≤ m M®t cách tương đương, b l+1 −bl là cõ cna khoi Jordan B (l) := (b ij)b

≤i,j≤b

l+

1 −1.

So nguyên b l+1 − bl là b¾c lũy linh cna khoi B (l)

Ta có the chqn dang Jordan sao cho b l+1 −b l là dãy tăng theo 1 ≤ l ≤ m−r, vói quy ưóc b m −r+1 := m + 1 Túc là các so 0 có the có xuat hi¾n vói các chi so j nho nhat có the m®t cách toàn cuc.

vói quy ưóc rang so max bang 0 neu t¾p hop bên phai là rong

Ta cũng có the dien giai d j = d j (B) như là so nguyên d nho nhat sao cho có m®t t¾p S cna d vector trong C n vói tính chat rang các l¾p lai cna

S boi B sinh ra m®t không gian con cna C n vói chieu không bé hơn j (ta

se không can đ¾c trưng này, và vì the chúng tôi không trình bày chúngminh)

Chú ý rang B là cyclic khi và chi khi d i (B) = 1, vói mqi i (b j −1,j = 1 vói mqi j); trong khi đó nó là vô hưóng khi và chi khi d i (B) = i, vói mqi i (b j −1,j = 0 vói mqi j).

M¾nh đe sau đưa ra m®t t¾p hop các đieu ki¾n nâng can và đn ve m¾tđ%a phương Nói riêng, đieu này nói rang tat ca các đieu ki¾n can có the có

mà có the nh¾n đưoc tù bieu hi¾n cna Φ trong m®t lân c¾n α D đeu đưoc

M¾nh đe 2.11 Cho ϕ ∈ Hol(ω, G n ), vói ω là m®t lân c¾n cua α ∈ D Cho

A1 như trong (2.1) Các khang đ%nh sau là tương đương:

(a)Ton tai ωj ⊂ D m®t lân c¾n cua α và Φ ∈ Hol(ωj, Ω n ) sao cho

trong đó d i như trong Đ%nh nghĩa 2.10

(c)Ton tai ωj ⊂ D m®t lân c¾n cua α và Φ ∈ Hol(ωj, Ω n ) sao cho

π ◦ Φ = ϕ, Φ(0) = A1 và Φ(ζ) cyclic vói ζ ∈ ωj \ {α}.

Chú ý rang đieu ki¾n

d k P[ϕ(ζ)]

dt k (λ j ) = O(ζ − α), 0 ≤ k ≤ m j − 1, 1 ≤ j ≤ s, nói m®t cách chính xác rang P [ϕ(α)] (t) = P A1 (t), hay nói cách khác, ϕ(α) = π(A1), chính là các đieu ki¾n can hien nhiên cho sn ton tai ánh xa nâng; và

cũng là nhung đieu ki¾n duy nhat can thiet khi A1 là cyclic, túc là ví du khi

d m j −k(B j ) = 1 vói mqi j và k.

Rõ ràng đieu ki¾n (c) kéo theo đieu ki¾n (a), do đó chúng ta chi canchúng minh rang (a) suy ra (b) (các đieu ki¾n can) và (b) kéo theo (c) (cácđieu ki¾n đn)

Chúng minh Đau tiên do đây là m®t ket qua đ%a phương, không mat tính tong quát, ta có the gia su α = 0.

Các đieu ki¾n can.

Đau tiên, xét trưòng hop chi có m®t giá tr% riêng λ1 for A1, túc là s =

1, và hơn nua λ1 = 0 Đieu này đưoc thiet l¾p boi [19, Corollary 4.3], mà

ta có the phát bieu lai như sau

Bo đe 2.12 Neu ϕ = (ϕ1, , ϕ n ) = π Φ vói Φ (D, Ω n ), Φ(0) = A1

như trong (2.1), Sp A1 = 0 khi đó ϕ i (ζ) = O(ζ d i ), trong đó d i như trong Đ

}

O

Chú ý rang neu ta viet P (k)

38

d k P [ϕ(ζ)]

(t) dt k

(đao hàm cna đa thúc đoi vói

bien t, không nham lan vói đao hàm đoi theo bien chinh hình ζ), các đieu ki¾n trên có the viet thành P (k) (0) = O(ζ d n−k ), 0 ≤ k ≤ n − 1

Neu Sp A1 = {λ}, then Sp (A1−λI n) = {0} Ta thay ngay rang PA1−λIn (t) = P A1 (t λ), do đó đieu ki¾n can trong trưòng hop tong quát hơn cna

ma tr¾n vói m®t giá tr% riêng duy nhat tro thành:

Bo đe 2.13 Neu ϕ = (ϕ1, , ϕ n ) = π ◦ Φ vói Φ ∈ Hol(D, Ω n ), Φ(0) = A1,

Sp A1 = {λ} khi đó P (k) (λ) = O(ζ d n−k ), 0 ≤ k ≤ n − 1.

Bây giò xét trưòng hop tong quát Đe chúng minh (2.2) cho moi j, không mat tính tong quát, ta nghiên cúu khoi B1 liên ket vói giá tr% λ1.

[20, Bo đe 3.1] và các nh¾n xét sau đó cho ta m®t nhân tu hóa chinh

hình trong m®t lân c¾n ω nào đó cna 0 cna đa thúc đ¾c trưng cna Φ(ζ): for

ζ ∈ ω, P [ϕ(ζ)] (X) = P 1(X)P 2(X), và m®t phân tích tương úng cna không

gian Cn thành tong trnc tiep bien thiên cna các không gian con có chieu

Cũng như trưóc, ta có the xét P [ϕ(ζ)] (t λ1) đe quy ve trưòng hop λ1 = 0.

Chúng minh cna tính can cna (2.2) ket thúc vói bo đe sau (áp dung cho

Cho (k j , 0 ≤ j ≤ m1 − 1) là m®t dãy giam các so nguyên dương Khi đó

a0 = O(ζ k j ), 0 ≤ j ≤ m1 − 1 khi và chs khi a1 = O(ζ k j ), 0 ≤ j ≤ m1 − 1

Chúng minh Do P 0 là tích cna hai đa thúc khác, a0 = Σj

a1 a2 Do (k j)

giam, nên gia thiet a1

j−l = O(ζ k j−l ) kéo theo a1

j−l = O(ζ k j ), do đó a0 = O(ζ k j )

Ngưoc lai, bang quy nap theo j Vói j = 0, a1 = a0/a2 = O(ζ k0 ) do

mau thúc không tri¾t tiêu tai ζ = 0 Gia su tính chat đưoc thoa mãn vói

0 ≤ jj ≤ j − 1 Ta có a1 = 1 a0 − Σj a1 a2Σ , do đó theo gia thiet quy

nap thì a1

j−l = O(ζ k j−l ) = O(ζ k j ) boi vì (k j ) giam, và do a0 = O(ζ k j ), chúng

ta ket thúc công vi¾c

Các đieu ki¾n đu.

Su dung [20, Bo đe 3.1] và các nh¾n xét sau đó, áp dung l¾p lai, ta tìm

thay lân c¾n ω nào đó cna 0, và m®t nhân tu hóa bien thiên chinh hình thành

a

j 2 j l=1 j−

l l

j