Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)

Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)Tâp IĐêan nguyên tố gắn kết của Môđun đối đồng điều địa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TS LÊ THỊ THANH NHÀN

THÁI NGUYÊN - 2016

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin camđoan rằng các tài liệu trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên,ngày 15 tháng 04 năm 2016

Học viên

NGUYỄN THỊ LUẬN

Thái Nguyên,ngày 15 tháng 04 năm 2016

Học viên

NGUYỄN THỊ LUẬN

môđun Artin 81.4 Môđun đối đồng điều địa phương 11

2 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điềuđịa phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa 162.1 Hệ tham số 162.2 Các lớp vành đặc biệt 182.3 Các bổ đề liên quan 212.4 Tập iđêan nguyên tố gắn kết của môđun đối đồng điều địa

phương qua địa phương hóa và đầy đủ hóa 28Kết luận 35Tài liệu tham khảo 36

Mở đầu

Cho (R,m) là vành giao hoán địa phương Noether, M là R-môđun hữuhạn sinh với dim M = d và A là R-môđun Artin Với mọi p ∈ Spec R tabiết rằng

AssRp(Mp) = {qRp | q ∈ AssRM,q ⊆ p}

VớiA là R-môđun Artin, tập các iđêan nguyên tố gắn kết của A, kí hiệu là

AttRA, được định nghĩa bởi I G Macdonald [Mac] có vai trò quan trọngtương tự như vai trò của tập các iđêan nguyên tố liên kết của M Ta đãbiết rằng môđun đối đồng điều địa phương Hmi(M ) là Artin với mọi i ≥ 0

Do đó một câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu mối quan hệ tương tự giữa tập

lý này không đúng trong trường hợp tổng quát (xem [BS, Ví dụ 11.3.14])

Kí hiệu bR và cM lần lượt là vành và bR-môđun đầy đủ của R và M theotôpô m-adic, ta có mối quan hệ sau đây giữa tập AssRM và Ass

biết rằngAttRA = {P∩ R |P ∈ Att

b

RA}(xem [BS]) Tuy nhiên mối quan

hệ tương tự như công thức thứ hai là không đúng ngay cả khi A = Hmi(M ).Tức là quan hệ

(i) R là catenary phổ dụng và các thớ hình thức là Cohen-Macaulay;(ii) AttRpHpRi−dim(R/p)

p (Mp) = {qRp | q ∈ AttRHmi(M ),q ⊆ p} với mọi

R-môđun M hữu hạn sinh, số nguyên i ≥ 0 và p ∈ Spec R;

hóa và đầy đủ hóa

Trong tiết này ta nhắc lại công thức chuyển dịch tập iđêan nguyên tốliên kết của R-môđun hữu hạn sinh M qua địa phương hóa và qua đầy đủhóa Các kết quả ở tiết này được tham khảo từ [Mat] và [S]

Định nghĩa 1.1.1 Một iđêan nguyên tố p củaR được gọi là iđêan nguyên

tố liên kết của M nếu tồn tại một phần tử x ∈ M sao cho AnnR(x) = p.Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là AssR(M )

Sau đây là một số tính chất của tập các iđêan nguyên tố liên kết.Tính chất 1.1.2 (i) Cho p ∈ Spec(R) Khi đó p ∈ AssR(M ) khi và chỉkhi M chứa một môđun con đẳng cấu với R/p

(ii) Cho p là phần tử tối đại của tập các iđêan có dạng AnnR(x) trong

đó 0 6= x ∈ M Khi đó p ∈ AssR(M ) Vì thế, M 6= 0 khi và chỉ khi

AssR(M ) 6= ∅

(iii) Đặt ZD(M ) = {a ∈ R | tồn tại m 6= 0, m ∈ M sao cho am = 0}.Khi đó tập ZD(M ) các ước của không trong M chính là hợp của các iđêannguyên tố liên kết của M

(iv) Cho 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khớp các R-môđun Khi đó

AssRM0 ⊆ AssRM ⊆ AssRM0 ∪ AssRM00

(v) AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) và mỗi phần tử tối tiểu của SuppR(M ) đềuthuộc AssR(M )

(vi) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì AssR(M ) là tập hữu hạn Hơnnữa AssR(M ) ⊆ Var(AnnRM ) Vì thế Rad(AnnRM ) là giao các iđêannguyên tố liên kết của M

(vii) Với S là tập đóng nhân trong R thì

AssS−1 R(S−1M ) = {S−1q | q ∈ AssRM,q∩ S = ∅}

Cho p ∈ Spec(R), suy ra S = R\p là một tập đóng nhân Ta kí hiệu

Rp := S−1R và Mp := S−1M Khi đó ta có tính chất chuyển dịch của tậpiđêan nguyên tố liên kết qua địa phương hóa như sau

Mệnh đề 1.1.3 AssRp(Mp) = {qRp | q ∈ AssRM,q ⊆p}

Kết quả tiếp theo là tính chất chuyển dịch của tập iđêan nguyên tố liênkết qua đầy đủ hóa Nhắc lại rằng, một dãy (xn) ⊂ R được gọi là một dãyCôsi theo tôpô m-adic nếu với mỗi k ∈ N cho trước, tồn tại n0 ∈ N sao cho

xn− xm ∈ mk, với mọi m, n ≥ n0 Dãy(xn) ⊂ R được gọi là dãy không nếu

với mỗi k ∈ N cho trước tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ mk,với mọi n ≥ n0.

Ta trang bị quan hệ tương đương trên tập các dãy Côsi như sau : Hai dãyCôsi (xn), (yn) được gọi là tương đương nếu dãy (xn− yn) là dãy không Kíhiệu bR là tập các lớp tương đương của các dãy Côsi Chú ý rằng tổng vàtích của hai dãy Côsi là một dãy Côsi, quy tắc cộng (xn) + (yn) = (xn+ yn)

và quy tắc nhân (xn)(yn) = (xnyn) không phụ thuộc vào cách chọn đạidiện của các lớp tương đương Vì thế nó là các phép toán trên bR và cùngvới phép toán này bR làm thành một vành Noether địa phương với iđêan tốiđại duy nhất là m bR Vành bR vừa xây dựng được gọi là vành đầy đủ theotôpô m-adic của R Bằng cách tương tự ta có khái niệm môđun đầy đủ theotôpô m-adic cho R-môđun L tùy ý và được kí hiệu là bL Nhưng chú ý rằngvới p ∈ Spec(R) thì chưa chắc đã có p bR ∈ Spec(R)

R nên theo [Mat, Định lý 23.2(ii)] ta có

Hơn nữa M ⊗R ∼b = Mc nên khẳng định (i) đã được chứng minh

(ii) Gọi fa : Spec(R) → Spec(R)b là ánh xạ cảm sinh của f, tức là

fa(P) = f−1(P) := P ∩ R với mọi P ∈ Spec(R)b Vì f là ánh xạ phẳnghoàn toàn nên theo [Mat, Định lý 7.3(i)], fa là toàn ánh Áp dụng [Mat,Định lý 23.2](ii) ta có

Tiết này trình bày khái niệm và một số tính chất của môđun Artin,đặc biệt là tiêu chuẩn Artin của L Melkersson [Mel].

Định nghĩa 1.2.1 MộtR-môđun L được gọi là môđun Artin nếu mỗi dãygiảm các môđun con của L đều dừng, nghĩa là nếu L ⊇ L1 ⊇ L2 ⊇ ⊇

Ln ⊇ là một dãy giảm dần các môđun con của L thì tồn tại k ∈ N sao

cho Lk = Ln với mọi n ≥ k Vành R được gọi là vành Artin nếu nó là một

R-môđun Artin, tức là mọi dãy giảm các iđêan của R đều dừng

Mệnh đề sau cho ta điều kiện tương đương với định nghĩa môđun Artin.Mệnh đề 1.2.2 R-môđun L là môđun Artin nếu và chỉ nếu mỗi tập khácrỗng các môđun con của L đều có phần tử tối tiểu

Tiếp theo là một tính chất hay dùng của môđun Artin

Mệnh đề 1.2.3 Cho 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp các R-môđun.Khi đó L là Artin nếu và chỉ nếu L0, L00 là Artin

Phần cuối của tiết này đưa ra tiêu chuẩn Artin theo tính chất I-xoắn.Định nghĩa 1.2.4 Cho R-môđun L Với mỗi số tự nhiên n, đặt

(0 :L In) = {x ∈ L | Inx = 0}

Khi đó (0 :L In) là một môđun con của L Kí hiệu ΓI(L) = S

n≥0(0 :L In)

Ta nói rằng L là I-xoắn nếu L = ΓI(L)

Bổ đề 1.2.5 Cho a ∈ R và L là Ra-xoắn Giả sử L0, L00 là các môđun concủa L sao cho L00 ⊆ L0 và ai(0 :L 0 ai+1) = ai(0 :L 00 ai+1) với mọi i Khi đó

(0 :L I) là Artin và L = S

n≥0(0 :L In) Ta sẽ chứng minh L là Artin bằngphương pháp quy nạp theo t Nếu t = 0 thì I = 0 và do đó L = (0 :L I)

là Artin Với t = 1, đặt I = Ra Gọi L1 ⊇ L2 ⊇ ⊇ Ln là dãy giảmcác môđun con của L Ta chứng minh dãy đó phải dừng Với mỗi i và vớimỗi môđun con N của L, nếu x ∈ ai(0 :N ai+1) thì tồn tại y ∈ (0 :N ai+1)

sao cho x = aiy Ta có ax = a(aiy) = ai+1y = 0 Suy ra ax = 0 hay

x ∈ (0 :L a) Vậy ai(0 :N ai+1) ⊆ (0 :L a) Tiếp theo ta chứng minh

ai(0 :Ln ai+1) ⊇ ai+1(0 :Ln ai+2)với mọii Thật vậy, lấyx ∈ ai+1(0 :Ln ai+2)

tùy ý Khi đó tồn tại y ∈ (0 :Ln ai+2) sao cho x = ai+1y Vì y ∈ (0 :Ln ai+2)

nên ai+2y = 0 Suy ra ai+1(ay) = 0 hay ay ∈ (0 :Ln ai+1) Do đó tồntại z ∈ (0 :Ln ai+1) sao cho ay = z Ta có x = ai+1y = aiz Suy ra

x ∈ ai(0 :Ln ai+1) Vậy ai(0 :Ln ai+1) ⊇ ai+1(0 :Ln ai+2)

Với mỗi n ≥ 1 ta có dãy giảm các môđun con của (0 :L a)

(0 :Ln a) ⊇ ⊇ ai(0 :Ln ai+1) ⊇ ai+1(0 :Ln ai+2) ⊇

Vì (0 :L a) là Artin nên tồn tại kn ∈ N sao cho

En = akn(0 :Ln akn +1) = ai(0 :Ln ai+1), ∀i ≥ kn

Ta có En = akn +k n+1(0 :Ln akn +k n+1 +1) ⊇ akn +k n+1(0 :Ln+1 akn +k n+1 +1) =

En+1 Vì thế E1 ⊇ ⊇ En là một dãy giảm các môđun con của

(0 :L a) Do đó nó phải dừng, tức là tồn tại n0 để En = En0 với mọi

n ≥ n0 Với mọi i ≥ kn0 và n ≥ n0 ta có En0 = akn0(0 :Ln0 akn0 +1) ⊇

ai(0 :Ln0 ai+1) ⊇ ai(0 :Ln ai+1) ⊇ En = En0 Vậy En0 = ai(0 :Ln ai+1) vớimọi i ≥ kn0, n ≥ n0 Với mỗi số nguyên i = 0, 1, , kn0− 1 ta có dãy giảmsau

ai(0 :L1 ai+1) ⊇ ⊇ ai(0 :Ln ai+1) ⊇ ai(0 :Ln+1 ai+1) ⊇

các môđun con của (0 :L a), nên tồn tại u ≥ n0 để ai(0 :Ln ai+1) = ai(0 :Lu

ai+1) với mọi n ≥ u, 0 ≤ i ≤ kn0 − 1 Theo Bổ đề 1.2.5, Ln = Ln+1

với mọi n ≥ u Vậy L là Artin Với t > 1 Giả sử I = (a1, , at) Đặt

J = (a1, , at−1) và N = (0 :L J ) Khi đó N là Rat-xoắn và (0 :N at) =(0 :L I) Do đó (0 :L I) là Artin nên (0 :N at) cũng là Artin Vì N là

Rat-xoắn nên theo như trường hợp t = 1 ở trên thì N là Artin Vì L là

I-xoắn nên L là J-xoắn Vì N = (0 :L J ) là Artin với mọi J được sinh rabởi t − 1 phần tử nên theo giả thiết quy nạp ta được L là Artin

kết của môđun Artin

Các kiến thức ở mục này được tham khảo trong [Mac]

Định nghĩa 1.3.1 (i ) Một R-môđun L được gọi là thứ cấp nếu L 6= 0 vàvới mọi x ∈ R ta có xL = L hoặc tồn tại n ∈ N để xnL = 0 Trong trườnghợp này tập p = {x ∈ R | xnL = 0, với n ∈ N} là iđêan nguyên tố và tagọi L là p-thứ cấp

(ii ) Cho L là R-môđun Một biểu diễn thứ cấp của L là một phân tích

L = L1 + · · · + Lt thành tổng hữu hạn các môđun con, trong đó Li là

pi-thứ cấp Nếu L = 0 hoặc L có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói L làbiểu diễn được Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối tiểu nếu các iđêannguyên tố pi đôi một khác nhau và không có hạng tử Li nào là thừa, vớimọi i = 1, , t

Chú ý rằng nếu Li, Lj là hai môđun con p-thứ cấp của L thì Li + Lj

cũng là môđun con p-thứ cấp của L Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của L

đều có thể đưa được về dạng tối tiểu Khi đó tập {p1, ,pt} là độc lậpvới việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của L và được gọi là tập các iđêannguyên tố gắn kết củaL, kí hiệu là AttRL Các hạng tửLi, vớii = 1, , t,được gọi là các thành phần thứ cấp của L Nếu pi là tối tiểu trong AttRL

thì Li được gọi là thành phần thứ cấp cô lập

Nếu A là R-môđun Artin thì A là biểu diễn được Từ giờ đến hết tiếtnày ta luôn giả thiết A là R-môđun Artin

Mệnh đề 1.3.2 Các phát biểu sau đây là đúng

(i) AttRA 6= ∅ khi và chỉ khi A 6= 0

(ii) min AttRA = min Var (AnnRA) Đặc biệt

dim (R/AnnRA) = max {dim (R/p) | p ∈ AttRA}

(iii) Nếu 0 → A0 → A → A00 → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì

AttRA00 ⊆ AttRA ⊆ AttRA0 ∪ AttRA00

Chú ý 1.3.3 Cho u ∈ A và cho br ∈ Rb Gọi (rn)n∈N là dãy Côsi trong R

đại diện cho lớp br Khi đó Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A,

do đó nó là môđun Artin Chú ý rằng Ru là hữu hạn sinh Vì thế Ru vừa

là môđun Artin, vừa là môđun Noether Do đó Ru là môđun có độ dài hữuhạn Vì thế tồn tại số tự nhiên k sao cho mku = 0 Vì br ∈ Rb, tồn tại số tựnhiên n0 sao cho rn − rm ∈ mk với mọi m, n ≥ n0 Suy ra (rn − rm)u = 0

với mọi m, n ≥ n0 Hay rnu = rn0u với mọi n ≥ n0 Do đó ta có thể địnhnghĩa tích vô hướng bru = rn0u Dễ kiểm tra được đây là một tích vô hướngtrên A Do đó A có cấu trúc tự nhiên như bR-môđun Với cấu trúc này, mộtmôđun con của A xét như R-môđun nếu và chỉ nếu nó là môđun con của

A xét như bR-môđun Vì thế A là một bR-môđun Artin Nếu xem bR-môđun

A này như là R-môđun xác định bởi đồng cấu tự nhiên R → Rb thì ta đượccấu trúc R-môđun ban đầu trên A Như vậy tập iđêan nguyên tố gắn kếtcủa A trên R và trên bR luôn xác định và ta có mối liên hệ giữa các tậpiđêan nguyên tố gắn kết này như sau

Bổ đề 1.3.4 AttRA = {P ∩ R | P ∈ Att

b

RA}.Chứng minh Giả sử A = (A11 + + A1t1) + + (An1 + + Antn) làmột biểu diễn thứ cấp tối tiểu của A xét như bR-môđun, trong đó Aij là

đều không thừa nên Ai là không thừa mới mọi i Vậy

AttRA = {p1, ,pn} = {bp∩ R | bp ∈ Att

b

RA}

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

Trong tiết này ta nhắc lại khái niệm và một số tính chất của môđunđối đồng điều địa phương Các thuật ngữ được tham khảo trong cuốn [BS].Định nghĩa 1.4.1 Cho I là iđêan của R và L, N là các R-môđun Đặt

ΓI(L) = S

n≥0(0 :L In) Cho f : L → N là đồng cấu các R-môđun thì ta

có đồng cấu cảm sinh f∗ : ΓI(L) → ΓI(N ) cho bởi f∗(x) = f (x) với mọi

x ∈ ΓI(L) Khi đó ΓI(−) là một hàm tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái

từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun ΓI(−) được gọi làhàm tử I-xoắn

Định nghĩa 1.4.2 Một R-môđun L được gọi là môđun nội xạ nếu với mỗiđơn cấu f : N → N0 và mỗi đồng cấu g : N → L, luôn tồn tại đồng cấu

−→ ΓI(E1) f

∗ 1

−→ ΓI(E2) f

∗ 2

−→ · · ·

Khi đó HIi(L) = Ker fi∗/ Im fi−1∗ , với i ≥ 0 Môđun này không phụ thuộcvào việc chọn giải nội xạ của L

Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương.Mệnh đề 1.4.4 Cho L là R-môđun Các khẳng định sau là đúng.

(i) Nếu L là nội xạ thì HIi(L) = 0 với mọi i ≥ 1

(ii) ΓI(L) ∼= HI0(L)

(iii) Nếu 0 → L0 → L → L00 → 0 là dãy khớp ngắn các R-môđun thì tồntại các đồng cấu nối HIi(L00) → HIi+1(L0) với mọi i ≥ 0 sao cho ta có dãykhớp dài

0 → ΓI(L0) →ΓI(L) → ΓI(L00) → HI1(L0)

→ HI1(L) → HI1(L00) → HI2(L0) →

Một tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương là tínhtriệt tiêu trong mối quan hệ với tính I-xoắn, độ sâu và chiều của môđun.Đầu tiên là tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương trong mốiquan hệ với tính I-xoắn

Mệnh đề 1.4.5 Cho L là R-môđun Các phát biểu sau là đúng

(i) HIi(L) là môđun I-xoắn với mọi i ≥ 0

(ii) Nếu L là I-xoắn thì HIi(L) = 0 với mọi i > 0 Đặc biệt với mỗi

R-môđun L, ta có HIj(HIi(L)) = 0 với mọi i ≥ 0 và với mọi j ≥ 0

Mệnh đề trên cho ta ngay kết quả sau đây

Hệ quả 1.4.6 Với mỗi R-môđun L, đặt L = L/ΓI(L) Khi đó ta có

HIi(L) ∼= HIi(L) với mọi số tự nhiên i ≥ 1

Tiếp theo là tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phươngliên quan đến khái niệm dãy chính quy và độ sâu của môđun

Định nghĩa 1.4.7 Cho L là R-môđun Phần tử 0 6= a ∈ R được gọi

là phần tử L-chính quy nếu (0 :L a) = 0 và L 6= aL Một dãy cácphần tử a1, , an của R được gọi là L-dãy chính quy nếu ai là phần tử

L/(a1, , ai−1)L-chính quy với mọi i = 1, , n và L/(a1, , an)L 6= 0

Chú ý nếu (R,m) là vành địa phương, a1, , an ∈ m thì điều kiện thứhai trong định nghĩaL-dãy chính quy là không cần, tứcL/(a1, , an)L 6= 0

là luôn đúng

Từ nay đến hết tiết này, ta giả thiết (R,m) là vành địa phương và M

là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó ta có các kết quả sau

Định nghĩa 1.4.8 Mỗi dãy chính quy của M trong I đều có thể mở rộngthành một dãy chính quy tối đại và độ dài của của các dãy chính quy tốiđại trong một iđêan I là bằng nhau Độ dài này được gọi là độ sâu củamôđun M trong I , kí hiệu là depthI(M ) Đặc biệt khi I = m thì ta viết

chiều của vành R/ AnnRM, kí hiệu là dim M Nếu M = 0 thì ta quy ước

dim M = −1

Định lý 1.4.11 (Định lí triệt tiêu Grothendieck) Với dim M = d, cáckhẳng định sau là đúng:

(i) HIi(M ) = 0 với mọi số nguyên i > d và mọi iđêan I của R

(ii) Nếu M 6= 0 thì dim M = max{i | Hmi(M ) 6= 0}

Cuối tiết này ta trình bày tính chất Artin của môđun đối đồng điềuđịa phương Để xét tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương trướchết ta cần mệnh đề sau

Mệnh đề 1.4.12 Cho x ∈ I là một phần tử M-chính quy Khi đó với mọi

Định lý 1.4.13 Cho (R,m) là vành địa phương , M là R-môđun hữu hạnsinh với dim M = d Khi đó

(i) HId(M ) là Artin với mọi iđêan I

(ii) Hmi (M ) là Artin với mọi số nguyên i ≥ 0

Chứng minh (i) Ta sẽ chứng minh quy nạp theo d Với d = 0 thì M có độdài hữu hạn và do HI0(M ) ∼= ΓI(M ) vì thế HI0(M ) là Artin Cho d ≥ 1 vàgiả thiết rằng kết quả đúng với trường hợp chiều nhỏ hơn d Do d > 0 nêntheo Hệ quả 1.4.6 ta có HIi(M ) ∼= HIi(M/ΓI(M )) Chú ý rằng dim(M ) ≥

dim(M/ΓI(M )) Nếu dim(M/ΓI(M )) < d thì HId(M/ΓI(M )) = 0 Do đó

HId(M ) = 0 và vì thế nó là môđun Artin Giả sử dim(M/ΓI(M )) = d Khi

đó HIi(M ) ∼= HIi(M/ΓI(M )) Do M/ΓI(M ) có phần tử chính quy trong

I nên ta có thể giả thiết I chứa phần tử x là M-chính quy Từ dãy khớp

0 → M → Mx. → M/xM → 0p , theo Mệnh đề 1.4.12 ta có dãy khớp cảmsinh

lý 1.2.6 ta suy ra HId(M ) là môđun Artin

(ii) Ta cũng chứng minh bằng quy nạp theoi Vớii = 0ta có Hm0(M ) ∼=

Γm(M ) Vì M là môđun Noether nên dãy (0 :M m) ⊆ (0 :M m2) ⊆ phảidừng, tức tồn tại số tự nhiên r sao cho (0 :M mk) = (0 :M mr) với mọi

k ≥ r Do vậy Hm0(M ) = (0 :M mr) Suy ra mr ⊆ AnnR(Hm0(M )) Vìthế dim(Hm0(M )) ≤ dim R/mr = 0 Suy ra Hm0(M ) có độ dài hữu hạn,

do đó nó là Artin Cho i > 0 Giả thiết kết quả đúng cho i − 1 Chú ýrằng Hmi(M ) ∼= Hmi (M) với M = M/Γm(M ) Do đó tồn tại x ∈ m là

M-chính quy Từ dãy khớp 0 → M → Mx. → M/xM → 0p ta có dãy khớp