Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)

Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)Bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệu mạnh (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ MINH HIẾU

BÀI TOÁN CÂN BẰNG VỚI SONG HÀM GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ MINH HIẾU

BÀI TOÁN CÂN BẰNG VỚI SONG HÀM GIẢ ĐƠN ĐIỆU MẠNH

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng 2

1.1.1 Bài toán tối ưu 3

1.1.2 Bài toán điểm bất động Brouwer 3

1.1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát 4

1.1.4 Bài toán cân bằng Nash 5

1.2 Định nghĩa về tính đơn điệu, giả đơn điệu mạnh của song hàm 7 1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng 9

2 Thuật toán chiếu giải bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh 13 2.1 Thuật toán chiếu cho bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh 13

2.2 Các thuật toán và tốc độ hội tụ của chúng 17

2.2.1 Thuật toán hội tụ tuyến tính 17

2.2.2 Thuật toán không cần biết các hằng số Lipschitz 23

2.2.3 Thuật toán không có điều kiện Lipschitz 25

2.3 Ví dụ áp dụng 29

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy, cô trong khoaToán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã giảng dạy vàgiúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.

Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên tronglớp cao học Toán ứng dụng K7A đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trongthời gian học tập và quá trình làm luận văn

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót vàhạn chế, rất mong nhận được sự đóng góp quý báu của quý thầy, cô cùng toànthể bạn đọc

NGUYỄN THỊ MINH HIẾU

Học viên Cao học Toán K7A, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

H không gian Hilbert

ha, bi tích vô hướng của vectơ avàb

∂f (x) dưới vi phân của hàm f tạix

PC(x) hình chiếu (theo chuẩn) củaxlên tập C

Mở đầu

Bài toán cân bằng hay còn gọi là bất đẳng thức Ky Fan là một đề tài hiệnnay đang được quan tâm nghiên cứu, do bài toán này có nhiều ứng dụng trongcác lĩnh vực khác nhau Hơn nữa nhiều bài toán quan trọng như bài toán tối ưu,bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Brouwer, bài toán cân bằng Nash trongtrò chơi không hợp tác đều có thể mô tả dưới bài toán cân bằng

Một trong những hướng nghiên cứu được quan tâm nhiều là các phươngpháp giải thông thường Để xây dựng được các phương pháp giải, người ta phải

có những điều kiện đặt lên song hàm của bài toán, một điều kiện thường được

sử dụng là tính đơn điệu của song hàm

Bản luận văn này nhằm mục đích tổng hợp những kiến thức cơ bản nhất vềbài toán cân bằng Luận văn nghiên cứu bài toán cân bằng với song hàm giảđơn điệu mạnh Cụ thể luận văn đề cập tới sự tồn tại nghiệm của bài toán cânbằng giả đơn điệu mạnh, hơn nữa luận văn còn giới thiệu một số thuuật toán đểgiải bài toán đơn điệu mạnh Cuối cùng giới thiệu một mô hình sản xuất điện

Thái Nguyên, tháng 05 năm 2015

Nguyễn Thị Minh Hiếu

Học viên Cao học Toán K7A

Chuyên ngành Toán ứng dụng

Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên

Email: ntmhieu.gv08@tuyenquang.edu.vn

Chương 1

Bài toán cân bằng

Trong chương này chúng ta giới thiệu bài toán cân bằng và trình bày một sốtrường hợp riêng điển hình của bài toán này Tiếp đến ta khảo sát một số tínhchất của đơn điệu, đặc biệt là song hàm giả đơn điệu mạnh Cuối chương xétđến sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng với song hàm giả đơn điệumạnh Các kết quả của chương này được tổng hợp từ các tài liệu[1],[2],[3],[4],

[5], [6],[7]

1.1 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng

Cho H là không gian Hilbert thực với Tôpô yếu được xác định bởi tích vôhướng h.iứng với chuẩn k.k Giả sử C là tập lồi đóng khác rỗng trong khônggian Hilbert H và một song hàm f : C × C → R thỏa mãn f (x, x) = 0 vớimọix ∈ C Một hàmf như vậy gọi là song hàm cân bằng

Chúng ta xét bài toán cân bằng được định nghĩa như sau:

Tìm x∗ ∈ C sao cho f (x∗, x) ≥ 0, ∀x ∈ C (EP)

Bài toán này lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H Nikaido, K.Isoda nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác

và vào năm 1972, được Ky Fan giới thiệu năm 1972 và thường được gọi là bất

đẳng thức Ky Fan.

Bài toán (EP )còn được đặt tên là bài toán cân bằng bởi tác giả L D Muu

và W Oettli năm 1992, E Blum và W Oettli giới thiệu năm 1994;

Bài toán cân bằng(EP ) bao gồm một số bài toán như: bài toán tối ưu hóa,điểm yên ngựa, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động và mô hình cân bằngNash trong lý thuyết trò chơi không hợp tác v.v

1.1.1 Bài toán tối ưu

Xét bài toánmin {ϕ (x) : x ∈ C} Đặt

f (x, y) = ϕ (y) − ϕ (x)

Khi đó

ϕ (x) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ C ⇔ f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Vậy bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán(EP )

1.1.2 Bài toán điểm bất động Brouwer

Giả sửC ⊂ H là một tập lồi compact khác rỗng và ánh xạ đơn trịF : C →

C Khi đó bài toán điểm bất động có dạng sau:

Tổng quát hơn, bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị(M F P) là bài toán:

Tìm x∗ ∈ C sao cho x∗ ∈ F (x∗),

vớiF : C → 2C là ánh xạ đa trị có giá trị lồi compact khác rỗng

Khi đó, x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (M F P ) khi và chỉ khi x∗ lànghiệm của bài toán cân bằng(EP )

1.1.3 Bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát

Cho T : C → 2Rn là ánh xạ nửa liên tục sao cho T (x) là tập compact, lồi

∀x ∈ C Khi đó, bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát được phát biểu

Tìm x∗ ∈ C sao cho hT (x∗) , y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C (1.2)

Nếu ta đặt f (x, y) := hT (x), y − xi , ∀x, y ∈ C thì với cách lập luận tươngnhư trên bài toán (1.2) tương đương với bài toán cân bằng(EP )

1.1.4 Bài toán cân bằng Nash

(i)ChoI = {1, 2, , p} là tập chỉ số hữu hạn (tậpp-người chơi);

(ii) Ki là tập lồi khác rỗng của Rn

i (tập chiến lược của người chơi thứi);

(iii) Hàmfi : K1 × × Kp →R cho trước (hàm tổn thất của người chơi

thứikhi vi phạm, chiến lược của người chơi ∀i ∈ I)

Cho x = (x1, x2, , xp) ∈ K1 × × Kp vày = (y1, y2, , yp) ∈ K1 × × Kp Ta định nghĩa vectơx [yi] ∈ K1 × × Kpnhư sau:

Khi đó, bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ K sao chofi(x∗) ≤ fi(x∗[yj]) , ∀i ∈ I, ∀y ∈ K (1.3)

Điểm thỏa mãn (1.3) gọi là điểm cân bằng Nash Về ý nghĩa kinh tế, điểm cân

bằng Nash nói lên rằng bất kỳ đối thủ nào chọn phương án ra khỏi điểm cânbằng trong khi các đối thủ còn lại vẫn giữ phương án điểm cân bằng thì đối thủ

ra khỏi điểm cân bằng sẽ bị thua thiệt

Vậyx∗ ∈ K là nghiệm của (EP)

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ K là nghiệm của (EP) nhưng không là nghiệm của

Điều này mâu thuẫn với giả thiết.

Vậy x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán (1.3)

1.2 Định nghĩa về tính đơn điệu, giả đơn điệu mạnh của

song hàm

Ta ký hiệu PC - toán tử chiếu theo chuẩn lên tậpC lồi đóng, tức là:

PC(x) ∈ C : kx − PC(x)k ≤ kx − yk , ∀y ∈ C

Bổ đề 1.1 Giả sửC là một tập lồi đóng khác rỗng trongH.

(i) PC(x) là duy nhất và được xác định với mọi x;

(ii) π=PC(x) khi và chỉ khihx − π, y − πi ≤ 0, ∀y ∈ C;

(iii) kPC(x) − PC(y)k2 ≤ kx − yk2− kPC(x) − x + y − PC(y)k2, ∀x, y ∈ C.

Định nghĩa 1.1 Một song hàmf : C × C →R được gọi là

(i)Đơn điệu mạnh trên C với hệ sốβ > 0 nếu

f (x, y) + f (y, x) ≤ −βky − xk2, ∀x, y ∈ C;

(ii) Đơn điệu trên C nếu

Chú ý rằng một song hàm giả đơn điệu mạnh có thể không đơn điệu

Từ định nghĩa cho thấy (i) ⇒ (ii) ⇒ (iv) và (i) ⇒ (iii) ⇒ (iv) nhưngkhông có sự liên hệ giữa(ii)và (iii) Ngoài ra, nếuf là đơn điệu mạnh (tươngứng giả đơn điệu) với hệ sốβ > 0, thì nó là đơn điệu mạnh (tương ứng giả đơnđiệu) với hệ sốβ0 cho mọi0 < β0 ≤ β

Sau đây là một ví dụ cho song hàm giả đơn điệu mạnh Giả sử

f (x, y) := (R − kxk) g (x, y) , Br := {x ∈ H : kxk ≤ r} ,

khi g là một đơn điệu mạnh trên Br với hệ số β > 0, ví dụ g (x, y) =

hx, y − xi ,vàR > r > 0 Ta thấy rằng f là giả đơn điệu mạnh trênBr

Thực vậy, giả sử rằng f (x, y) ≥ 0, từx ∈ Br ta cóg (x, y) ≥ 0 Với hàm

g,β - đơn điệu mạnh trên Br,g (x, y) ≤ −βkx − yk2, ∀x, y ∈ Cr

Từ định nghĩa của f vày ∈ Br kéo theo

f (y, x) = (R − kyk) g (y, x) ≤ −β (R − kyk) kx − yk2 ≤

−β (R − r) kx − yk2

Vì vậyf là đơn điệu mạnh trênBr với hệ sốβ (R − r)

Giả thiết sau đây sẽ được sử dụng cho song hàmf : C × C → R

(A1) f (., y)là nửa liên tục trênC cho mỗiy ∈ C;

(A2) f (x, )là đóng, lồi và dưới khả vi trênC cho mỗix ∈ C;

(A2a) f (x, )là đóng, lồi trênC cho mỗix ∈ C

Điều kiện kiểu Lipschitz sau đây sẽ được sử dụng ở phần tiếp theo

∃L1, L2 : f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − L1kx − yk2−

− L2ky − zk2, ∀x, y, z ∈ C (1.4)

Rõ ràng với bài toán cực tiểu minx∈cϕ(x), song hàm f (x, y) := ϕ (y) − ϕ (x)

có tính chất (1.4) với hàmϕbất kỳ được định nghĩa trênC

VớiF : C → H,cho bất đẳng thức biến phân

f (x, y) := hF (x) , y − xi

nếuF là Lipschitz trênC với hằng sốL > 0, thì cho một số bất kỳµ > 0ta có

f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − Lµ2 kx − yk2−L

2µky − zk2, ∀x, y, z ∈ C,

f thỏa mãn điều kiện Lipschitz vớiL1 = Lµ2 vàL2 = 2µL

1.3 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Bổ đề 1.2 Giả sửf : C × C → R∪ {∞} là một song hàm cân bằng sao cho

f (., y)là bán liên tục trên với mỗiy ∈ C vàf (x, )là lồi với mọix ∈ C Nếu

ít nhất một trong những giả thiết dưới đây thỏa mãn:

Trong những kết quả dưới đây, chúng ta cần các điều kiện về song hàm f:

(A1) với mỗi x ∈ C, y ∈ C, hàm f (x, ) lồi chính thường (không nhấtthiết khả dưới vi phân) và hàm f (., y)là nửa liên tục trênC

(A2)f là β - giả đơn điệu mạnh trênC

Kết quả sau đây nói về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng giả đơn điệumạnh

Định lí 1.1 Giả sử rằngf là giả đơn điệu mạnh trên C, khi đó dưới giả thiết

(A1), (A2)bài toán(EP )có một nghiệm duy nhất.

Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2 ta chỉ cần chứng minh điều kiện bức sau đây:Tồn tại hình cầu đóngB sao cho:

(∀x ∈ C\B, ∃y ∈ C ∩ B : f (x, y) < 0) (C0)

Thực vậy, nếu trái lại, với mọi hình cầu đóng Br bao O với bán kính r, có

xr ∈ C\Br sao chof (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C ∩ Br

Cố định r0 > 0, thì với mọi r > r0, có tồn tại xr ∈ C\Br sao cho

Toán tử F : C → H là được gọi là giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số

Khi đóf là giả đơn điệu mạnh nếuF là giả đơn điệu mạnh

Thật vậy, giả sửf (x, y) ≥ 0 theo (1.6), ta có

hF (x) , y − xi ≥ 0

nhưng doF làβ−đơn điệu mạnh nên

hF (y) , x − yi ≤ −βky − xk2

Theo (1.6) thìf (x, y) = hF (y) , x − yi

Hệ quả 1.1 Giả sử rằng F là liên tục và giả đơn điệu mạnh trên C Khi đó bài

toán bất đẳng thức biến phân (VI) có một nghiệm duy nhất.

Thuật toán 2: Thuật toán không cần biết hằng số Lipschitz.

Thuật toán 3: Thuật toán không có điều kiện Lipschitz

Các kiến thức trong chương này chủ yếu được tham khảo ở trong các tài liệu

Bổ đề 2.1 Giả sử rằng {ak}∞k=0 là một dãy vô hạn các số dương thỏa mãn:

ak+1 ≤ ak + ξk ∀k,

vớiP∞k=0ξk < ∞.Khi đó dãy{ak}là hội tụ.

Thuật toán

Bước 1 (Chọn một điểm xuất phát và độ dài bước) Lấy x1 ∈ C, chọn sai

sốε > 0và một dãy các số dương{σk}sao cho

b) Chuyển qua bước 3

Bước 3 (Phép chiếu) Lấy xk+1 := PC xk − σkgk
và quay trở lại Bước 2vớik được thay bởi k + 1

Định lí 2.1 Giả sử rằng giả thiết(A1)và (A2) là thỏa mãn Khi đó ta có:

(i)Nếu thuật toán kết thúc ở Bước 2, thìxk là mộtε- nghiệm và

xk+1 − x∗ 2 ≤ (1 − 2βσk) xk− x∗ 2 + 2σk2 + σk2 gk 2, ∀k; (2.3)

(ii) Nếu thuật toán không kết thúc vàgk giới nội thì dãy xk hội tụ mạnh

tới nghiệm duy nhấtx∗ của(EP )

Chứng minh. (i) Nếu thuật toán kết thúc ở Bước 2, thì gk = 0 và σk ≤ ε.Khi đó, từ (2.2), f xk, y
≥ −σk ≥ −ε với ∀y ∈ C Như vậy, xk là một ε -nghiệm

Từxk+1 = PC xk − σkgk
, ta có

xk+1 − x∗ 2 ≤ xk − σkgk − x∗ 2

(ii)Giả sử rằng bây giờ thuật toán không kết thúc và dãy gk là bị chặn Vậy

có một số thựcc gk ≤ c < ∞, ∀k.Thì (2.7) có thể viết như sau:

(i) Một bài toán phụ trong thuật toán này là tìm một phương chuyển động

gk 6= 0thỏa mãn (2.2) Nếu gk là một σk - dưới đạo hàm của hàm lồi f xk,

tạixk, thìgk thỏa mãn (3.2) Thực vậy, bằng định nghĩa của σk - dưới đạo hàm

C xk
không chỉ lấy giá trị toán tửF vào phép tính, nhưng cũng ép buộc tập

C Việc này hữu dụng trong một vài trường hợp nhất định, ví dụ để tránh phépchiếu trênC Thực vậy, có thể xảy ra rằngf xk
∈ C/ Nhưnggk−F xk

∈ C.(iv)Cho thuật toán thực hiện, ta lấyσk := εσ1k, khiσk1 thỏa mãn (3.1)

2.2 Các thuật toán và tốc độ hội tụ của chúng

2.2.1 Thuật toán hội tụ tuyến tính

Một dãy zk hội tụ tuyến tính đến z∗ nếu nó tồn tại một số t ∈ (0, 1) vàmột chỉ sốk0 zk+1 − z∗ ≤ t zk − z∗ cho mọik ≥ k0

Mệnh đề 2.1 Giả sử rằng f là giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số β Khi đó dưới các giả thiết (A1), (A2) và điều kiện Lipschitz, với bất kỳ điểm x0 ∈ C,

dãyxk k≥0 được xác định bởi

thỏa mãn

[1 + 2ρ (β − L2)] xk+1 − x∗ 2 ≤ xk − x∗ 2 (2.12)

với điều kiện là0 < ρ ≤ 2L1

1, trong đó x∗ là nghiệm duy nhất của (EP).

Chứng minh. Với mỗik ≥ 0, để đơn giản ký hiệu, ta đặt

Các mệnh đề như trên được chứng minh.

Dựa trên Mệnh đề (2.1) chúng ta có thuật toán hội tụ tuyến tính sau đây chobài toán giả đơn điệu mạnh thỏa mãn điều kiện Lipschitz Như thường lệ, chúng

ta gọi một điểmx ∈ C là một ε- nghiệm tới(EP ) xk − x∗ ≤ ε, trong

đóx∗ là nghiệm chính xác của(EP )

Thuật toán 1 Chọn sai số ε ≥ 0và 0 < ρ < 2L1

1 Lấyx0 ∈ C và k = 0

Bước 1: Giải bài toán lồi mạnh

minnρf xk, y
+ 12 y − xk 2 : x ∈ Co

để có được nghiệm duy nhấtxk+1 của nó;

Bước 2: Nếu 1−αα xk+1 − xk ≤ ε với α := √ 1

1+2ρ(β−L2) thì kết thúc:

xk+1 là mộtε−nghiệm của(EP ).

Trái lại, chok ← k + 1 và quay lại Bước 1. Với

1 Khi đó dãyxk được xây

dựng bởi Thuật toán 1 hội tụ tuyến tính tới nghiệm duy nhất x∗ của (EP) và



Suy ra

Ta thấyy12 + y22 < 1nên(y1, y2)là nghiệm của bài toán

2.2.2 Thuật toán không cần biết các hằng số Lipschitz

Thuật toán 1 có một nhược điểm là, để xác định các quy tắc, nó yêu cầuphải biết trước hằng số Lipschitz Thuật toán 2 dưới đây có thể tránh đượcnhược điểm này

Thuật toán 2 Khởi đầu: Chọn một dung sai ε ≥ 0 và một dãy {ρk}k≥0 ⊂(0, ∞)ccác số dương thỏa mãn

để có được nghiệm duy nhấtxk+1.Nếu xk+1 − xk ≤ ε, thì kết thúc Trái lại,

tăng k bởi 1 đơn vị và quay trở lại Bước 1.

Định lí 2.2 Giả sử rằng f giả đơn điệu mạnh trên C với hệ số β thỏa mãn điều kiện Lipschitz vớiL2 < β Khi đó tồn tại một chỉ số k0 ∈ N sao cho mỗi

k > k0, ta có

Qk i=k0[1 + 2ρk(β − L2)]

do đóxk hội tụ mạnh tới x∗

Chứng minh. Sử dụng các lập luận tương tự như chứng minh trên, cho mỗi k

Lấy {ρk}k≥0 ⊂ (0, 1) sao cho ρk → 0khi k → +∞.Xuất phát từ 1 điểmbất kỳx0 6= 0.Theo thuật toán

2.2.3 Thuật toán không có điều kiện Lipschitz

Thuật toán 2 ở trên mặc dù không có điều kiện Lipschitz, nhưng sự hội tụcủa nó cần điều kiện Lipschitz Trong tiểu mục này chúng tôi đề xuất một thuậttoán hội tụ mạnh mà không yêu cầu f thỏa mãn điều kiện Lipschitz Bổ đề đãbiết sau sẽ được sử dụng để chứng minh kết quả hội tụ

Bổ đề 2.3 Giả sử rằng {ak}∞k=0 là một dãy vô hạn các số dương thỏa mãn

a) Nếugk = 0vàρk ≤ εdừng:xk là mộtε−nghiệm;

b) Nếugk = 0vàρk > ε, quay lại Bước 1 với k được thay thế bởi k+1;

c) Nếu không chuyển sang Bước 2.

Bước 2 (Phép chiếu) Tínhxk+1 := PC xk − ρkgk

a) Nếuxk+1 = xk và ρk ≤ ε, dừng:xk là mộtε−nghiệm;

b) Nếu không, quay lại Bước 1 vớik được thay thế bởik + 1.

Định lí 2.3 Giả sử rằng giả thiết(A1)và(A2)được thỏa mãn Khi đó

(i)Nếu thuật toán dừng ở bướck, thì xk là mộtε−nghiệm.

(ii)Ta có

xk+1 − x∗ 2 ≤ (1 − 2βρk) xk − x∗ 2 + 2ρ2k+ 2ρ2k gk 2, ∀k (2.25)

trong đó x∗ là nghiệm duy nhất của (EP ) Hơn nữa, nếu thuật toán không

dừng, thì dãyxk hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ với điều kiện làgk bị chặn.

Chứng minh. (i)Nếu thuật toán kết thúc ở Bước 1, thì gk = 0 và ρk ≤ ε Sau

đó, bằng biểu thức (2.24),f xk, y
≥ −ρk ≥ −εvới mọiy ∈ C Vì thế,xk làmộtε−nghiệm Nếu thuật toán kết thúc ở Bước 2, với cùng một cách, ta có thểthấy rằngxk là mộtε−nghiệm