Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)

Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)Về một mô hình cân bằng Nash Cournot với cước phí lõm (LV thạc sĩ)

NGUYỄN THỊ MAI

VỀ MỘT MÔ HÌNH CÂN BẰNG

NASH - COURNOT VỚI CƯỚC PHÍ LÕM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2016

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

Thái Nguyên - Năm 2016

Mục lục

1.1 Tập lồi, hàm lồi, hàm lõm 4

1.2 Cực trị của hàm lồi 8

1.3 Toán tử đơn điệu 11

1.4 Bất đẳng thức biến phân 14

2 Mô hình Nash - Cournot với cước phí lõm 18 2.1 Mô hình Nash - Cournot cổ điển 18

2.1.1 Khái niệm mô hình 18

2.1.2 Chuyển mô hình về bài toán quy hoạch hàm toàn phương lồi mạnh 22

2.2 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm 27

2.2.1 Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí lõm 27 2.2.2 Thuật giải 33

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của mô hình là giảiquyết các bài toán với mô hình cước phí lõm Trong những bài toán thực

tế, khi số lượng hàng hóa sản xuất tăng lên thì cước phí để sản xuất mộtđơn vị sản phẩm sẽ giảm đi Do đó cước phí sẽ là lõm

Nội dung của luận văn này trình bày về cách tiếp cận mô hình cânbằng Nash - Cournot với cước phí lõm, và nghiên cứu về thuật toán đểtìm ra điểm cân bằng khi mô hình có cước phí là lõm Bản luận văn gồmhai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tìm hiểu các kiến thức về tập lồi, hàm lồi, hàmlõm, toán tử đơn điệu, cực trị của hàm lồi Sau đó là tìm hiểu về bất đẳngthức biến phân

Chương 2: Mô hình Nash - Cournot với cước phí lõm

Giới thiệu về mô hình Nash - Cournot cổ điển và cách chuyển môhình về dạng bài toán quy hoạch hàm toàn phương lồi mạnh Sau đó,nghiên cứu mô hình Nash - Cournot với cước phí lõm và giới thiệu mộtphương pháp giải mô hình trong trường hợp hàm chi phí lõm và tuyếntính từng khúc

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáohướng dẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn,giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn

Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy cô tham gia giảngdạy khóa học cao học 2014 - 2016, những người đã tâm huyết giảng dạy

trang bị cho tôi những kiến thức cơ sở.

Xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, khoa Toán

- Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiệnthuận lợi cho tôi trong quá trình học tập tại trường

Đồng thời, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồngnghiệp và các thành viên trong lớp cao học toán K8A đã luôn quan tâm,động viên, giúp đỡ tôi trong thời gian học tập và quá trình làm luận văn

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 05 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Mai

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu những kiến thức cơ bản vềtập lồi, hàm lồi, toán tử đơn điệu Tiếp đó là trình bày về bài toán bấtđẳng thức biến phân Các kiến thức ở chương này được tổng hợp từ cáctài liệu [1], [2], [3], [7]

Trong luận văn này chúng ta kí hiệu Rn là không gian Euclide thực

n chiều Một phần tử x = (x1, , xn)T ∈ Rn là một vectơ cột Ta nhắc lạivới hai véctơ x = (x1, , xn), y = (y1, , yn) ∈ Rn,

(i) Lồi trên C nếu với mọi λ ∈ (0, 1), mọi x, y ∈ C ta có:

f (λx + (1 − λ) y) ≤ λf (x) + (1 − λ) f (y)

(ii) Lồi chặt trên C nếu mọi λ ∈ (0, 1), mọi x, y ∈ C, mọi x 6= y ta có:

(iv) Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C

Định nghĩa 1.3 Cho hàm bất kỳ: f : S → (−∞, +∞] với S ⊆Rn,các tập

Định lý 1.1 Hàm f (x), x ∈ Rn là hàm lồi khi và chỉ khi hàm một biến

số ϕ (λ) ≡ f (x + λd) là hàm lồi theo λ với mỗi x, d ∈ Rn

Chứng minh

Ta thấy điều kiện cần là rõ ràng Ta chứng minh điều kiện đủ Giả sử

ϕ (λ) là hàm lồi với mọi x, d ∈ Rn Lấy bất kỳ x, y ∈ Rn và đặt d = x − y.Khi đó, với mọi λ ∈ [0, 1] ta có:

f ((1 − λ) x + λy) = f (x + λd) = ϕ (λ) = ϕ ((1 − λ) 0 + λ.1)

≤ (1 − λ) ϕ (0) + λϕ (1) = (1 − λ) f (x) + λf (y)

Định nghĩa 1.4 Một hàm a-phin là hàm số có dạng f (x) = hc, xi + α

trong đó c ∈ Rn, α ∈ R cho trước tùy ý.

Nếu f (x) là hàm a-phin thì với mỗi x, y ∈ Rn và mọi số λ, β sao cho

Định nghĩa 1.5 Một tập con M của Rn được gọi là nón (mũi tại 0) nếu

x ∈ M, λ > 0 thì λx ∈ M Nón M gọi là nón lồi nếu M là tập lồi

Điểm gốc 0 có thể thuộc hoặc không thuộc M Nón M không chứa đườngthẳng nào gọi là nón nhọn Trong trường hợp này, gốc 0 gọi đỉnh của M.Mỗi nửa không gian (đóng hay mở) đều là một nón, nhưng không phải làmột nón nhọn

Định lý 1.2 Tập con M của Rn là một nón lồi có đỉnh tại gốc khi và chỉkhi λM ⊂ M, ∀λ > 0 và M + M ⊂ M

Nghĩa là với mọi x, y thuộc M và với mọi số λ > 0 ta có x + y ∈ M và

λx ∈ M

Chứng minh

Nếu M là một nón lồi thì thì λM ⊂ M, ∀λ > 0 theo định nghĩa củanón Hơn nữa, lấy x, y ∈ M thì do M lồi nên 12 (x + y) ∈ M, do đó theotrên x + y ∈ M Vì thế M + M ⊂ M

Ngược lại, nếu có λM ⊂ M, ∀λ > 0 và M + M ⊂ M thì M là một nón

và với mọi x, y ∈ M, λ ∈ [0, 1] ta có: (1 − λ) x ∈ M, λy ∈ M Từ đó,

(1 − λ) x + λy ∈ M, nghĩa là M là một tập lồi Tập con M ∈ C là một nón lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp tuyếntính không âm (còn gọi là tổ hợp nón) của các phần tử thuộc nó

Nhận xét 1.1

* Có thể chứng minh hàm f lồi trên S khi và chỉ khi:

+) Tập trên đồ thị epif là một tập lồi hoặc

k, trong đó m là số nguyên ≥ 2 ( Bất đẳng thức Jensen)

* Hàm lồi f : S → (−∞, +∞] có thể được mở rộng thành lồi xác địnhtrên toàn không gian Rn bằng cách đặt f (x) = +∞ ∀x /∈ S Vì vậy, đểđơn giản ta thường xét hàm lồi trên toàn Rn

Định nghĩa 1.6 Bao đóng của một tập C, kí hiệu là C là giao của tất

cả các tập đóng chứa C

Định nghĩa 1.7 Một điểm a ∈ C được gọi là điểm trong tương đối của Cnếu nó là điểm trong của C theo tô-pô cảm sinh bởi af f C (tập a-phin nhỏnhất chứa C) Kí hiệu tập các điểm trong tương đối của C là riC Theođịnh nghĩa ta có:

riC := {a ∈ C|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C}

trong đó B là một lân cận mở của gốc Hiển nhiên

riC = {a ∈ affC|∃B : (a + B) ∩ affC ⊂ C}

Định lý 1.3 Bao đóng và phần trong tương đối của một tập lồi là tập lồi.Chứng minh

Như vậy, nếu a, b ∈ C thì [a, b] ⊂ C chứng tỏ C lồi

Bây giờ, giả sử a, b ∈ riC Khi đó tìm được hình cầu B tâm O sao cho:

c) Bao đóng của một tập hợp lồi là một tập lồi;

d) Tập hợp của tất cả các tổ hợp lồi của một số hữu hạn các điểm trong

Rn là một tập hợp lồi

Tập C ∈ Rn được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ C, x 6= y, mọi điểm

λx + (1 − λ) y với 0 < λ < 1 đều là điểm trong của C

Mệnh đề 1.1

(i) Cho f và g là các hàm lồi lần lượt trên các tập lồi A và B, với

A ∩ B 6= φ Khi đó, hàm (λf ) + (βg) lồi trên, với mọi λ, β ≥ 0;

(ii) Giới hạn theo từng điểm của một dãy các hàm lồi cũng là một hàmlồi Tức là: fi : C → R(i ∈ N ) và dãy số {fi(x)} hội tụ với mỗi x ∈ C

thì hàm f (x) := lim

i→∞fi(x) cũng lồi trên C;

(iii) Nếu f : C → R lồi trên C và hàm một biến ϕ : I → R không giảm

trên khoảng I, sao cho f (C) ⊆ I,thì hàm hợp ϕ0f lồi trên C

1.2 Cực trị của hàm lồi

Định nghĩa 1.8 Cho C ⊆ Rn khác rỗng và f : Rn → (−∞, +∞] Mộtđiểm x∗ ∈ C được gọi là cực tiểu địa phương của f trên C nếu tồn tại mộtlân cận U của x∗ sao cho:

Chứng minh

Cho C ⊆ Rn Giả sử x∗ là điểm cực tiểu địa phương của f trên C Khi

đó tồn tại lân cận U của x∗ sao cho:

Chứng tỏ x∗ là cực tiểu toàn cục của f trên C.

Giả sử x∗, y∗ ∈ C là điểm cực tiểu của f trên C

Vậy f (x∗) = f (y∗) ≤ f (x) với mọi x ∈ C Lấy z∗ := λx∗ + (1 − λ) y∗,với 0 < λ < 1 Do C lồi, nên z∗ ∈ C và do f lồi, nên:

(ii) Nếu f là một hàm lồi chính thường trên Rn và bị chặn trên trongmột tập a-phin, thì nó là hằng số trên tập này

(ii) Nếu f không là hằng số trên tập a-phin M, có nghĩa là tồn tại

a, b ∈ M sao cho f (a) < f (b) Mọi điểm x thuộc nửa đường thẳng xuấtphát từ a và có hướng b – a đều có dạng x = a + λ (b − a) với λ > 0 Khiđó:

Điều này đúng với mọi λ > 1, nên khi cho λ → +∞ ở về phải, do

f (a) hữu hạn, nên vế phải tiến tới 0, trong khi đó theo giả thiết, về trái

f (b) − f (a) > 0 Mâu thuẫn.

Vậy f phải là hằng số trên tập a-phin M Định nghĩa 1.9 Cho f : Rn → R∪ {+∞} Ta nói x∗ ∈ Rn là dưới đạohàm của ftại x nếu:

hx∗, z − xi + f (x) ≤ f (z)∀z

Tương tự đối với hàm lồi khả vi thông thường, biểu thức này có nghĩa

là phương trình tiếp tuyến nằm dưới đồ thị của hàm số Tuy nhiên khácvới trường hợp khả vi, tiếp tuyến ở đây có thể không duy nhất

Ký hiệu tập hợp tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x) Nóichung đây là một tập (có thể bằng rỗng) trong Rn Khi ∂f (x) 6= φ thì tanói hàm f khả vi dưới vi phân tại x

Theo định nghĩa, một điểm x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi nó thỏa mãn một

hệ vô hạn các bất đẳng thức tuyến tính Như vậy ∂f (x) là giao của cácnửa không gian đóng

Vậy ∂f (x) luôn là tập lồi đóng (có thể rỗng) Như trong lý thuyết toán

tử đa trị, ta sẽ kí hiệu:

dom (∂f ) := {x|∂f (x) 6= φ}

Mệnh đề 1.4 Cho f : Rn →R∪ {+∞} lồi, chính thường

(i) x∗ ∈ ∂f (x) khi và chỉ khi f0(x, y) ≥ hx∗, yi , ∀y Nếu x ∈ ri (domf )

Từ đây suy ra: f (x) = f (x).

Nếu y∗ ∈ ∂f (x), thì với mọi z có:

1.3 Toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.10 Cho C là một tập lồi trong Rn, Q : C → Rn là mộtánh xạ Ánh xạ Q được gọi là:

(i) Đơn điệu trên C nếu mỗi cặp điểm u, v ∈ C ta có:

hQ (u) − Q (v) , u − vi ≥ 0

(ii) Đơn điệu mạnh trên C với mỗi hằng số η > 0nếu với mỗi cặp u, v ∈ C

Định nghĩa 1.11 Đồ thị (grF ), miền hữu dụng (domF ), miền ảnh

(rgeF ) của ánh xạ đơn trị F : X → Y, được định nghĩa tương ứng bằngcông thức sau:

grF = {(x, y) ∈ X × Y : y = F (x)} ;domF = {x ∈ X : ∃y : F (x) = y} ;rge = {y ∈ Y : ∃x ∈ X : y = F (x)}

Trong không gian hữu hạn chiều Rn toán tử tuyến tính được cho là một

ma trận và toán tử liên hợp chính là chuyển vị của ma trận đó

hAz, zi ≥ 0, ∀z ∈ Rn

Chứng minh.

Hiển nhiên, domA = Rn và A là toán tử đơn điệu Theo định nghĩa A

là toán tử đơn điệu khi và chỉ khi:

(i) Nếu T1, T2 là toán tử đơn điệu từ Rn → Rn và nếu λ1, λ2 ≥ 0 thì

λ1T1 + λ2T2 cũng là toán tử đơn điệu Nếu thêm điều kiện T1 hoặc T2

là đơn điệu chặt thì λ1T1 + λ2T2 là đơn điệu chặt

(ii) Nếu T : Rn → Rn là toán tử đơn điệu và A : Rn → Rn là toán tửtuyến tính, A∗ là toán tử liên hợp của A thì S (x) = A∗T∗(Ax + b)

cũng là toán tử đơn điệu Ngoài ra, nếu A là đơn ánh và T là toán tửđơn điệu chặt thì S là toán tử đơn điệu chặt

v ∈ (λ1T1 + λ2T2) (y) = λ1T1(y) + λ2T2(y)

Lấy ui ∈ Ti(x) , vi ∈ Ti(y) , i = 1, 2 sao cho:

u = λ1u1 + λ2u2;

v = λ1v1 + λ2v2

do T1, T2 là toán tử đơn điệu nên ta có:

hu1 − v1, x − yi ≥ 0,

hu2 − v2, x − yi ≥ 0.

Nhân lần lượt hai vế của biểu thức trên với λ1 và λ2 rồi cộng lại tađược:

hu − v, x − yi ≥ 0,

Điều này chứng tỏ λ1T1 + λ2T2 là toán tử đơn điệu

(ii) Lấy x, y ∈ domT, u ∈ S(x) = A∗T (Ax + b),

v ∈ S (y) = A∗T (Ay + b) chọn u1 ∈ T (Ax + b) và v1 ∈ T (Ax + b)

sao cho: u = A∗u1, v = A∗v1

Do tính đơn điệu của T ta có:

hv − u, y − xi = hA∗v1 − A∗u1, y − xi

= hv1 − u1, (Ay + b) − (Ax + b)i ≥ 0

từ đó suy ra S là toán tử đơn điệu

Giả sử A là đơn ánh và T là toán tử đơn điệu chặt, khi đó nếu x 6= y

thì Ax 6= Ay kéo theo Ax + b 6= Ay + b Giả sử u, v, u1, v1 được lấynhư trên, vì T là toán tử đơn điệu chặt nên

hv1 − u1, (Ay + b) − (Ax + b)i > 0

hF (x∗) , x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.1)Bài toán bất đẳng thức biến phân được kí hiệu là VIP (C; F) Tập tất

cả các nghiệm của VIP (C; F) được kí hiệu là SOL - VIP (C; F)

Khi F là đạo hàm của hàm lồi thì bài toán VIP tương đương với bàitoán quy hoạch lồi

Cho H là không gian Rn, C là tập con lồi đóng khác rỗng của H,

F : C → H là ánh xạ đơn điệu và ϕ là hàm lồi chính thường của H Ta

xét bài toán bất đẳng thức biến phân tổng quát sau (còn gọi là bất đẳngthức biến phân hỗn hợp):

Tìm x∗ ∈ C sao cho:

hF (x∗) , x − x∗i + ϕ (x) − ϕ (x∗) ≥ 0, ∀x ∈ C (1.2)trong đó, h., i là tích vô hướng trong H Thấy rằng khi ϕ khả vi liên tụctrên C, bất đẳng thức (1.2) tương đương với:

Tìm x∗ ∈ C sao cho:

hF (x∗) + ∇ϕ (x∗) , x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (1.3)Với bài toán (1.2) ta xét hàm đánh giá sau:

tương ứng là nghiệm duy nhất của bài toán (1.4) và (1.5) Nếu ϕ là hàmhằng thì hai ánh xạ h (x) và h1(x) là trùng nhau Vì thế, trong trườnghợp này h (x) = h1(x) với mọi x ∈ U Ngoài ra, cả h (x) và h1(x) cótính chất chung là một điểm x∗ là nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân hỗn hợp (1.2) nếu và chỉ nếu h (x∗) = h1(x∗) = x∗

Định lý 1.6 Cho C khác rỗng, C ⊂ Rn là tập compact và lồi, ánh xạ

F : C → Rn liên tục, khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân (1.1) cónghiệm, tức là tồn tại x∗ ∈ C thỏa mãn:

Do F liên tục trên C và phép chiếu PC liên tục nên Φ liên tục.

Vậy định lý điểm bất động Brouwer tồn tại:

xR ∈ CR : hF (xR) , y − xRi ≥ 0, ∀y ∈ CR (1.6)Định lý 1.7 Cho C ∈ Rn là tập lồi, đóng và ánh xạ:

x là một nghiệm của bài toán (1.6), miễn là:

kxRk < R,

vì:

x ∈ CR ⊂ C

Giả sử xR ∈ CR thỏa mãn kxRk < R cũng là một nghiệm của bài toán

(1.1) Thật vậy, vì |xR| < R, cho y ∈ C, w = xR + ε (y − xR) ∈ CR với

Mệnh đề 1.5 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn, F : C → Rn

Chương 2

Mô hình Nash - Cournot với cước phí lõm

2.1 Mô hình Nash - Cournot cổ điển

2.1.1 Khái niệm mô hình

Trong mô hình cân bằng thị trường, giả sử có n công ty đang cùng sảnxuất một mặt hàng đồng nhất Kí hiệu, xi ∈ Ui ⊆ R+ là mức sản lượngsản phẩm của công ty thứ i(i = 1, 2, , n) dự định sẽ thực hiện Ta giả sửrằng pi là giá của một đơn vị sản phẩm do công ty thứ i sản xuất, nó phụthuộc vào tổng sản lượng hàng hóa của cả công ty Kí hiệu là: σ :=

n

P

i=1

xi,nghĩa là ta có pi := pi(σ) Đặt hi(xi) là hàm chi phí của công ty thứ i khimức sản lượng của công ty đạt được là xi Giả sử lợi nhuận của công ty i

đạt được cho bởi hàm:

Định nghĩa 2.1 Một điểm x∗ = (x∗1, , x∗n) ∈ U được gọi là một điểmcân bằng Nash của mô hình Nash – Cournot nếu với mọi i = 1, 2, , n vàvới mọi yi ∈ Ui ta đều có:

fi(x∗1, , x∗i−1, yi, x∗i+1, , x∗n) ≤ fi(x∗1, , x∗n) , (∀i = 1, , n), (2.2)

fi(x∗1, , x∗i−1, yi, x∗i+1, , x∗n) = fi(x∗[yi]) , (∀i = 1, , n),

Khi đó (2.2) sẽ tương đương với:

fi(x∗[yi]) ≤ fi(x∗1, , x∗n) , (∀i = 1, , n), yi ∈ Ci (2.3)

Từ đây ta thấy rằng tại điểm cân bằng lợi nhuận của các công ty là caonhất Vì vậy nếu có một công ty rời khỏi vị trí cân bằng mà các công tyvẫn giữ nguyên ở vị trí đó thì lợi nhuận của công ty đó sẽ bị giảm đi chứkhông tăng lên Do đó, mà các công ty đều muốn ở vị trí cân bằng củamình Với mỗi x = (x1, , xn) và y = (y1, , yn) ta đặt:

Φ (x, y) := ψ(x, y) − ψ (x, x) (2.5)Khi đó, bài toán tìm điểm cân bằng của mô hình cân bằng Nash – Cournottương đương với bài toán sau:

Tìm x∗ ∈ U sao cho:

Φ (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ U (2.6)Mệnh đề 2.1 Điểmx∗ ∈ U là điểm cân bằng của mô hình Nash - Cournot

và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (2.6)

Chứng minh Giả sử x∗ ∈ U là điểm cân bằng của mô hình Khi đó,

Khi đó:

Φ (x∗, y) := ψ(x∗, y) − ψ (x∗, x∗) ≥ 0, ∀y ∈ U

Vậy x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng

Ngược lại, x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng nên nó thỏa mãn:

Hình 2.1: Mô hình cân bằng Nash - Cournot với cước phí tuyến tính

Nhận xét 2.1

- Hiển nhiên x ∈ D là nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán (P ) thì x lànghiệm tối ưu địa phương của bài toán (P )

- Nếu D là một tập lồi và f là một hàm lồi trên D thì bài toán (P )

được gọi là một bài toán quy hoạch lồi

- Nếu D = Rn thì bài toán (P ) được gọi là bài toán tối ưu không ràngbuộc Một trường hợp riêng quan trọng của bài toán tối ưu (P )là bài toánquy hoạch toàn phương lồi mạnh với ràng buộc tuyến tính, tức là: