Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)

Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)Phương pháp điểm gần kề giải một bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC (LV thạc sĩ)

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Dũng Mưu

THÁI NGUYÊN - 2016

Mục lục

1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện 1

1.2 Hàm lồi 4

1.3 Dưới vi phân 6

1.4 Tính đơn điệu 7

2 Bài toán bất đẳng thức biến phân 9 2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 9

2.2 Môt số tính chất 10

2.2.1 Sự tồn tại nghiệm 10

2.2.2 Các bài toán liên quan 15

3 Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC 19 3.1 Hàm DC 19

3.2 Phát biểu bài toán và ví dụ 23

3.3 Phương pháp điểm gần kề giải bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC 24

3.4 Một mô hình cân bằng bán độc quyền 33

Chương 1: Các kiến thức cơ bản về giải tích lồi, chương này nhắc lại và

trình bày các khái niệm, định lý, tính chất dùng để nghiên cứu bài toán bấtđẳng thức biến phân ở chương sau

Chương 2: Bài toán bất đẳng thức biến phân, chương này trình bày định

nghĩa về bài toán bất đẳng thức biến phân và các ví dụ Đồng thời cũng trìnhbày về sự tồn tại và tính chất tập nghiệm bài toán bất đẳng thức biến phântrong không gian hữu hạn chiều Rn

Chương 3: Trình khái niệm, tính chất hàm DC, phương pháp điểm gần kề

giải một bài toán bất đẳng thức biến hỗn hợp DC

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy giáo hướngdẫn GS TSKH Lê Dũng Mưu, người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôitrong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn

Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn tới các thầy, các cô trong Khoa Toán Tin, các bạn sinh viên trong lớp cao học toán K8A, trường Đại học Khoa học

-đã tạo điều kiện thuận lợi, động viên, và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học

tập và nghiên cứu tại trường Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giađình và người thân đã luôn khuyến khích, động viên giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học cao học và hoàn thành luận văn này.

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Học viên Cao học Toán K8A, Trường ĐH Khoa học - ĐH Thái Nguyên

Chương 1

Kiến thức cơ bản về hàm lồi và tập lồi

Dưới đây, ta nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích lồinhư: Tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân, Các kiến thức trong chương này đượclấy chủ yếu từ các tài liệu ([1]), ([3]) và sẽ được sử dụng ở các chương sau

1.1 Tập lồi và tập lồi đa diện

Cho hai điểm a, b ∈ Rn Tập tất cả các điểm x = (1 − λ)a + λb với

λ ∈ [0, 1]gọi là đoạn thẳng (đóng) nối a, b và được kí hiệu là [a, b]

Định nghĩa 1.1 Một tập C ⊆ Rn được gọi là một tập lồi nếu nó chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm bất kì thuộc nó Tức là, nếu (1 − λ)a + λb ∈ C với mọi a, b ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1].

Hình 1.1: Tập A lồi Tập B không lồi

Tập C là lồi khi và chỉ khi nó chứa mọi tổ hợp lồi của các phần tử thuộcnó.

Thứ nguyên (số chiều) của một tập lồi C, kí hiệu là dimC, là thứ nguyên(số chiều) của bao affine của nó Một tập lồi C trong Rn gọi là có thứ nguyênđầy nếu dimC = n

M là một tập affine khi và chỉ khi M chứa mọi tổ hợp affine các phần tửthuộc nó

Giao của một họ các tập affine cũng là một tập affine

Cho E là môt tập bất kì trong Rn, có ít nhất một tập affine chứa E, cụ thể

d) Hình cầu đóng

B(a, r) = {x ∈ Rn : kx − ak ≤ r }, a ∈ Rn, r > 0e) Tập lồi đa diện

D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b},trong đó A ∈ Rm×n

, b ∈ Rm.f) Nón lồi đa diện

K = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0}, trong đó A ∈ Rm×n

, 0 ∈ Rm

Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy ra một số tính chất đơn giản sau:

a) Giao của một họ bất kì các tập lồi là tập lồi

b) Tổng, hiệu hai tập lồi cũng là tập lồi

C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D}

c) Nếu C ⊂ Rm

, D ⊂ Rn thì tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} làmột tập lồi trong Rm×n (Có thể mở rộng cho tích của nhiều tập lồi)

Định nghĩa 1.4 Cho E là một tập bất kì trong Rn.

a) Giao của một tập affine chứa E gọi là bao affine của E, kí hiệu là affE Đó là tập affine nhỏ nhất chứa E.

b) Giao của tất cả các tập lồi chứa E gọi là bao lồi của E, kí hiệu là

conE Đó là tập lồi nhỏ nhất chứa E.

Định nghĩa 1.5 Một tập con K của Rnđược gọi là một nón hay tập nón nếu với mọi x ∈ K và mọi λ > 0 thì λx ∈ K Nón K được gọi là một nón lồi nếu

K là tập lồi.

Định nghĩa 1.6 Một tập là giao của một số hữu hạn các nửa không gian

đóng gọi là một tập lồi đa diện Nói cách khác, đó là tập nghiệm của một hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính:

ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≤ bi, i = 1, 2, , m

(b1, , bm)T

Nhận xét 1.7 Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn tương đương

bằng hai bất phương trình tuyến tính nên tập nghiệm của một hệ (hữu hạn) phương trình và bất phương trình tuyến tính cũng là một tập lồi đa diện Một tập lồi đa diện có thể không bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn (giới nội) còn được gọi là một đa diện lồi.

Định nghĩa 1.8 Ta nói hai tập lồi khác rỗng C, D trong Rn tách được bởi

Định lý 1.1 (Định lý tách I) Hai tập lồi C và D trong Rn khác rỗng, không

có điểm chung có thể tách được bởi một siêu phẳng, nghĩa là tồn tại vectơ

t ∈ Rn(t 6= 0) và một số α ∈ R sao cho (1.1) thỏa mãn.

Định nghĩa 1.9 Ta nói hai tập lồi khác rỗng C, D trong Rn là tách hẳn bởi

1.2 Hàm lồi

Định nghĩa 1.10 Hàm f : S → (−∞, +∞] xác định trên một tập hợp lồi

S ⊆ Rn được gọi là một hàm lồi trên S nếu với mọi x1, x2 ∈ S và mọi số thực

λ ∈ [0, 1] ta có

f (1 − λ) x1 + λx2 ≤ (1 − λ) f x1
+ λf x2

• Hàm f được gọi là lồi chặt trên S nếu với mọi x1, x2 ∈ S, x1 6= x2 và mọi λ ∈ (0, 1) ta có

f (1 − λ) x1 + λx2 < (1 − λ) f x1
+ λf x2

Hiển nhiên một hàm lồi chặt là lồi, nhưng điều ngược lại không đúng.

• Hàm f được gọi là hàm lõm (lõm chặt) trêm S nếu −f là lồi (lồi chặt)

trên S, gọi là tuyến tính affine trên S nếu f hữu hạn và vừa lồi vừa

a ∈ Rn, α ∈ R, bởi vì với mọi x1, x2 ∈ Rn và mọi λ ∈ [0, 1] ta có

f (1 − λ) x1 + λx2 = (1 − λ) f x1
+ λf x2
Tuy nhiên, hàm affine không lồi chặt hay lõm chặt

Định nghĩa 1.11 Cho hàm bất kì f : S → (−∞, +∞] với S ⊆ Rn, các tập

ta nói hàm f là chính thường Nói cách khác, f chính thường nếu domf 6= ∅

và f hữu hạn trên domf

Có thể chứng minh rằng hàm f lồi và không nhận giá trị −∞ trên S khi

và chỉ khi một trong hai điều kiện sau thỏa mãn

a) Tập trên đồ thị epif là một tập lồi

Định lý 1.3 Cho C là một tập lồi, khác rỗng trong Rn

một hàm lồi Mọi điểm cực tiểu địa phương của f trên C đều là điểm cực tiểu toàn cục Tập tất cả các điểm cực tiểu của f trên C:

Argminx∈Cf (x)

là một tập con lồi của C.

Định lý 1.4 Hàm lồi chính thường f trên Rn liên tục tại mọi điểm trong của miền hữu dụng của nó (f liên tục trên int(domf )).

Định lý 1.5 Giả sử f là một hàm lồi chính thường trên Rn Khi đó các điều kiện sau là tương đương:

a) f liên tục tại điểm x.

• Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x0 nếu ∂f x0
6= ∅

Ví dụ 1.1 Cho C là một tập lồi, khác rỗng của không gian Rn Xét hàm chỉ

trên tập lồi C có dạng.

δC(x) :=

(

0 nếu x ∈ C, +∞ nếu x /∈ C

a) Đơn điệu mạnh trên C với hằng số δ > 0 nếu

Chứng minh. • ∇f là đơn điệu trên C nếu f là hàm lồi trên C Thật vậy, tagiả sử x, y ∈ C Do f là hàm lồi ta có

f (x) ≥ f (y) + h∇f (y) , x − yi

f (y) ≥ f (x) + h∇f (x) , y − xi Cộng vế của hai bất đẳng thức trên ta được

h∇f (y) − ∇f (x) , y − xi ≥ 0, ∀x, y ∈ Cvậy ∇f đơn điệu trên C

• ∇f là đơn điệu mạnh trên C nếu f là hàm lồi mạnh trên C

• ∇f là đơn điệu chặt trên C nếu f là hàm lồi chặt trên C

Chương 2

Bài toán bất đẳng thức biến phân

Bài toán bất đẳng thức biến phân là một công cụ mạnh được sử dụngtrong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng Bài toán bất đẳngthức biến phân nảy sinh trong quá trình nghiên cứu và giải các bài toán thực

tế như các bài toán cân bằng trong kinh tế, tài chính, phương trình vật lý toán,giao thông đô thị, lí thuyết trò chơi, bài toán cân bằng mạng và nhiều bài toánkhác Có rất nhiều phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân đã đượcnghiên cứu như: phương pháp địa phương và toàn cục dựa trên việc chuyểnbài toán về hệ phương trình, phương pháp dựa trên kỹ thuật hàm chắn.v.v Dưới đây, ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức biến phân

và một số phương pháp giải Các kiến thức trong chương này chủ yếu đượclấy từ các tài liệu ([1]), ([2]), ([4]) và ([5])

2.1 Phát biểu bài toán và ví dụ

Định nghĩa 2.1 Cho C ⊂ Rn

thức biến phân được ký hiệu VIP(C, F ), là bài toán:

Ví dụ 2.1 Một trò chơi có N người chơi.

θi(x) : hàm giá trị, ví dụ là hàm chi phí của người chơi i, với x =

xi
, xi

∈ Rni, i = 1, 2, , N

Vấn đề của người chơi thứ i được xác định như sau: với mỗi vectơ ˜xi =(xi : j 6= i) tìm xi, sao cho hàm chi phí θi yi, ˜xi
đạt giá trị nhỏ nhất theo

M inyi ∈K iθi yi, ˜xi

mọi i = 1, 2, , N.

Ví dụ 2.2 Xét bài toán tối ưu

M in {f (x) , x ∈ K}

Định lý 2.1 (Brouwer) Cho C ⊂ Rn compact và lồi, ánh xạ F : C → C là liên tục trên C Khi đó F có một điểm bất động.

Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân có thể chứng minhdựa vào phép chiếu vuông góc Cụ thể ta có kết quả sau:

Mệnh đề 2.1 Giả sử α > 0 Với mỗi x ∈ C, đặt

x∗ = h (x∗) = pC x∗ − α1F (x∗)

⇔ ∗ − x∗ + α1F (x∗) , x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C

Bất đẳng thức cuối cùng đúng khi và chỉ khi hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈C

Định lý 2.2 Cho C là tập khác rỗng, C ⊂ Rn là tập compact lồi, ánh xạ

F : C → C liên tục, khi đó bài toán (2.1) có nghiệm Tức là tồn tại x∗ ∈ C

thỏa mãn

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

tập C, nên h là ánh xạ liên tục trên tập C, vì nó là hợp của hai ánh xạ liên tục

Do h là ánh xạ liên tục từ C vào C nên theo định lý điểm bất động Brouwertồn tại điểm bất động x∗ của h Theo Mệnh đề 2.1 x∗ là nghiệm của bài toán(2.1)

Theo Mệnh đề 2.1 việc giải bài toán (2.1) có thể chuyển về việc tìm điểmbất động của ánh xạ h Trong trường hợp h là một ánh xạ co, nguyên lý ánh

xạ co Banach có thể áp dụng trực tiếp để giải bài toán (2.1) Khi F là ánh xạđơn điệu mạnh và liên tục Lipchits trên C thì có thể chọn α thích hợp để h làánh xạ co trên C Cụ thể ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2.2 Giả sử C là tập lồi đóng và ánh xạ F : C → Rn đơn điệu

2β

Từ mệnh đề này ta có hệ quả sau:

Hệ quả 2.1 Nếu C là lồi đóng, ánh xạ F đơn điệu mạnh và Lipchits trên C

lý 2.2 bài toán (2.1) luôn có nghiệm Do đó ta chỉ xét trong trường hợp Ckhông bị chặn Cho hình cầu đóng Brbán kính r tâm O ∈ Rn.Khi đó C ∩ Br

Vậy xr là nghiệm của bài toán (2.1)

Từ định lý này ta có thể rút ra được nhiều điều kiện đủ để tồn tại nghiệm

Ta cần đến khái niệm về tính chất đồng bức sau:

Hệ quả 2.2 Nếu F : C → Rn thỏa mãn:

hF (x) − F (x0) , x − x0i

khi

x ∈ C, kxk → +∞

Định lý 2.4 Giả sử C là tập lồi đóng, ánh xạ F : C → Rn đơn điệu mạnh và

có:

hF (x) , x − ˜xi ≥ hF (˜x) , x − ˜xi + β kx − ˜xk → +∞

khi kx − ˜xk → +∞ Vì thế, theo điều kiện của Định lý 2.3 ta có lời giải củabài toán (2.1)

2.2.2 Các bài toán liên quan

Bài toán quy hoạch lồi

Cho C ⊂ Rn là tập lồi đóng và f : C → R khả vi Đặt F (x) = ∇f (x)(đạo hàm của f)

Định lý 2.5 Giả sử tồn tại x ∈ C sao cho:

với λ ∈ [0, 1]

Vì vậy hàm ϕ (λ) = f (x + λ (y − x)) , λ ∈ [0, 1] , đạt cực tiểu khi λ = 0nên

0 ≤ ϕ0(0) = h∇f (x) , y − xi = hF (x) , y − xi

Điều ngược lại cũng đúng nếu f là hàm lồi, ta có định lý sau:

Định lý 2.6 Giả sử f là hàm lồi khả vi và thỏa mãn:

Nhưng hF (x) , y − xi ≥ 0, vì vậy f (y) ≥ f (x)

Bài toán điểm bất động Brouwer

Cho C là tập lồi đóng trong Rn và T : C → C, bài toán điểm bất độngđược phát biểu như sau:

Chứng minh. Giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (VIP) và F (x) = x − T (x),tức là

Bài toán bù phi tuyến

Chú ý rằng khi C là một nón lồi trong Rn thì bài toán (VIP) trở thành bàitoán bù:

Tìm x∗ ∈ C, F (x∗) ∈ C0 sao cho hF (x∗

), x∗i = 0, (CP)trong đó

hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C (2.7)

Do C là nón lồi, x∗ ∈ C nên

(x∗ + x) ∈ C, ∀x ∈ C

Trong bất đẳng thức trên, thay x bởi (x∗ + x) ta được

hF (x∗) , x∗ + x − x∗i = hF (x∗) , xi ≥ 0, ∀x ∈ C

Suy ra F (x∗)thuộc nón đối ngẫu C0

Còn nếu thay x = 0 vào (2.7), ta được

Chương 3

Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC

Dưới đây, ta sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản về hàm DC, sử dụngphương pháp điểm gần kề giải bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC.Tiếp theo chúng ta mở rộng phương pháp điểm gần để tìm một điểm dừng củabài toán Sau đó sẽ trình bày một mô hình bán độc quyền và chuyển mô hìnhnày về bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp DC Các kiến thức trongchương này được lấy chủ yếu từ các tài liệu ([6]), ([7])

3.1 Hàm DC

Định nghĩa 3.1 Cho Ω là một tập lồi trên Rn Một hàm là DC trên Ω nếu

nó là hiệu của hai hàm lồi trên Ω, nghĩa là f (x) được gọi là DC nếu f (x) =

f1(x) − f2(x), trong đó f1, f2 là hàm lồi trên Ω.

Một hàm bậc hai f(x) = hx, Qxi , trong đó Q là một ma trận đối xứng,

là một hàm DC có thể không lồi không lõm

Thật vậy, đặt x = Uy trong đó U = u1, u2, , un là ma trận vectơ riêngcủa Q, chúng ta có UTQU = diag(λ1,λ2, , λn), do đó

f (x) = f (U y) = hU y, QU yi = TQU y ,sao cho f(x) = f1(x) − f2(x) với

Mệnh đề 3.1 Nếu fi(x), i = 1, 2, , m là hàm DC trên Ω thì hàm sau đây

Một hệ quả quan trọng của Mệnh đề 3.1 là bất kì hệ hữu hạn bất đẳngthức DC, cho dù liên tục hay không liên tục, tương đương với một bất đẳngthức DC

Thật vậy một hệ liên tục

gi(x) ≤ 0, i = 1, 2, , m

có thể viết

g(x) := max {g1(x), , gm(x)} ≤ 0 (3.1)

trong khi một hệ không liên tục gi(x) ≤ 0 ít nhất một i = 1, 2, , m tươngđương với

g(x) := min {g1(x), , gm(x)} ≤ 0 (3.2)Hơn nữa, nếu g(x) = p(x) − q(x) với p(x), q(x) lồi, khi lấy một biến t, bấtđẳng thức DC (3.1) (hoặc (3.2)) có thể chia thành hai bất đẳng thức:

p(x) − t ≤ 0, t − q(x) ≤ 0 (3.3)

Mệnh đề 3.2 Mỗi hàm f ∈ C2

(Rn) là DC trên mọi tập compact lồi Ω ⊂ Rn

f (x) + ρkxk2 trở thành lồi trên Ω khi ρ là đủ lớn

Thật vậy

2g (x) u 2f (x) u + ρkuk2

,nếu ρ là lớn nhất mà

− min 2f (x) u | x ∈ Ω, kuk = 1 ≤ ρ

2g (x) u ≥ 0, ∀u,do đó g(x) là lồi

Hệ quả 3.1 Cho f(x) là liên tục trên một tập compact lồi Ω, khi đó với mỗi

ε > 0 tồn tại một hàm DC g(x), sao cho

Mệnh đề 3.3 Một hàm DC địa phương trên một tập lồi mở (hoặc đóng) là

DC trên D.

{x1, , xk} ⊂ D cùng với lân cận lồi mở U1, , Uk của các điểm phủ D vàhàm lồi hi : Rn → R, i = 1, , k sao cho (f + hi) |Ui là lồi Cho h = Pk

được gọi là DC trên Ω : F ∈ DC(Ω), nếu fi ∈ DC(Ω)với mỗi i = 1, , m

Mệnh đề 3.4 Cho Ω1 ⊂ Rn, Ω2 ⊂ Rm là các tập lồi sao cho Ω1 là mở (hoặc

trong lân cận U1 của x sao cho F (U1) ⊂ U2.Thì

g ◦ f ∈ DC (Ω1)

Hệ quả 3.2 Cho Ω1 ⊂ Rn, Ω2 ⊂ Rm là các tập lồi sao cho Ω1 là mở (hoặc

f (x) là DC trên một tập lồi đóng (hoặc mở) Ω và f (x) 6= 0, ∀x ∈ Ω thì

1

f (x), |f (x)|

1/m

là DC trên Ω.

Nhận xét 3.2 Khi một hàm f là DC và f = g − h là một DC biểu diễn của

f với bất kì hàm lồi u,f = (g + u) − (h + u) là một hàm DC biểu diễn của f.

3.2 Phát biểu bài toán và ví dụ

Gọi x∗ là một lời giải địa phương của bài toán, tức là x∗ ∈ C thỏa mãn:

F (x∗)T (y − x∗) + ϕ (y) − ϕ (x∗) , ∀y ∈ C ∩ U, (3.5)

với U là một lân cận mở của x∗ Khi ϕ là lồi trên C, một lời giải địa phương

là một toàn cục Khi ϕ là không lồi, một lời giải địa phương có thể không làtoàn cục

3.3 Phương pháp điểm gần kề giải bài toán bất đẳng thức

m (x, U ) := min

n

F (x)T (y − x) + ϕ (y) − ϕ (x) : y ∈ C ∩ U

o, (3.7)

Mệnh đề 3.5 Giả sử S (x, U) 6= ∅ với mỗi (x, U) ∈ NC Những điều kiện

sau là tương đương

rõ ràng x∗ ∈ S(x∗, U ).

Ta thấy rằng m(x, U) ≤ 0 với mỗi x ∈ C ∩ U Do đó x∗ ∈ C ∩ U vàm(x∗, U ) = 0 khi và chỉ khi F (x∗)T (y − x∗) + ϕ (y) − ϕ (x∗) ≥ 0, ∀y ∈

C ∩ U nghĩa là (a) và (c) tương đương

Rõ ràng, nếu trong Mệnh đề 3.5, U chứa C thì x∗ là một lời giải địaphương của bài toán (3.4) Không giống như bất đẳng thức biến phân hỗnhợp lồi (bao gồm tối ưu hóa và bất đẳng thức biến phân), một bất đẳng thứchỗn hợp DC có thể không có lời giải khi ánh xạ giá liên tục và tập C làcompact

Ví dụ 3.1 Nếu chúng ta lấy C := [−1, 1] ⊂ R, F (x) = x và ϕ (x) = −x2

Ta kí hiệu ΓC là tập tất cả hàm lồi, khả dưới vi phân trên tập lồi C vàgiả sử hai hàm g và h thuộc ΓC Hơn nữa, do ϕ (x) = (g (x) + g1(x)) −(h (x) + g1(x))với hàm g1 ∈ ΓC tùy ý, ta có thể luôn giả sử rằng hai hàm g

và h lồi mạnh trên C

Từ Mệnh đề 3.5, ta có x là một lời giải của bài toán (3.4) khi và chỉ khi x

là lời giải của bài toán tối ưu sau:

min

n

F (x)T (y − x) + g (y) − h (y) : y ∈ C

o

Trên cơ sở thực tế này chúng ta có thể định nghĩa điểm dừng của bài toán(3.4) như sau :

Định nghĩa 3.4 Một điểm x ∈ C gọi là một điểm dừng của bài toán (3.4)

nếu

0 ∈ F (x) + ∂g (x) − ∂h (x) + NC(x) , (3.9)

trong đó

NC(x) := w : wT (y − x) ≤ 0, ∀y ∈ C