Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)

Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ KIM NGÂN

MỘT VÀI TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐƯỢC XÂY DỰNG

TỪ CÁC DÃY SỐ CỦA ROETTGER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ KIM NGÂN

MỘT VÀI TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐƯỢC XÂY DỰNG

TỪ CÁC DÃY SỐ CỦA ROETTGER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS NÔNG QUỐC CHINH

Thái Nguyên - 2016

2.1 Một số tính chất của dãy {Dn} 172.2 Quy tắc phân bố của m trong Dn 26

3.1 Một số kiến thức bổ trợ cho dãy {En} 283.2 Một số tính chất của dãy {En} 31

4.1 Phép kiểm tra tính nguyên tố của Lucas 344.2 Phép kiểm tra tính nguyên tố của Roettger 37

Danh mục ký hiệu

un = un(p, q) số hạng thứ n của dãy Lucas

vn = vn(p, q) số hạng thứ n của dãy Lucas

cn = cn(P, Q, R) số hạng thứ n của dãy Roettger

wn = wn(P, Q, R) số hạng thứ n của dãy Roettger

a - b a không là ước của b

ω hạng phân bố của m trong {Dn}

aλkb aλ là ước của b nhưng aλ+1 không

là ước của b

Mở đầu

Dãy số Fibonaci là một trong những vẻ đẹp đặc biệt trong kho tàng Toánhọc, nó vô cùng biến hóa với nhiều tính chất lý thú và ứng dụng quan trọng.Dãy Fibonaci được công bố bởi nhà toán học Ý tên là Leonardo Pisano Bogollo(tên thường gọi là Fibonaci) vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci Nóiđến dãy Fibonaci không thể không nói đến dãy số Lucas bởi chúng có mối liên

hệ chặt chẽ với nhau

Dãy số Lucas là dãy số được đưa ra bởi nhà toán học Francois E’douardAnatole Lucas (1842-1891) Cũng giống như dãy số Fibonaci, mỗi số trong dãyLucas được xác định bằng tổng hai số liền nhau đứng trước nó Dãy số đượcxác định bởi thương của 2 số Lucas đứng liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng

tỉ lệ vàng, đây là một con số diệu kỳ, lí tưởng trong toán học cũng như trong

tự nhiên Việc nghiên cứu các dãy số tương tự như dãy số Lucas đã được rấtnhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và có rất nhiều kết quả lý thú.Cho p, q ∈ Z là hai số nguyên thỏa mãn (p, q) = 1, ký hiệu α, β là nghiệmcủa đa thức bậc hai x2− px + q và δ = (α − β)2 = p2− 4q Lucas đã xây dựnghai dãy số của ông là {un} và {vn} xác định như sau:

∆ = (α − β)2(β − γ)2(γ − α)2 = Q2P2− 4Q3− 4RP3+ 18P QR − 27R2 6= 0

Các dãy số Roettger được định nghĩa bởi:

cn = cn(P, Q, R) = (α

n− βn)(βn − γn)(γn− αn)(α − β)(β − γ)(γ − α)và

wn = wn(P, Q, R) = (αn + βn)(βn + γn)(γn+ αn) − 2Rn

Người ta đã chứng minh được rằng các dãy {cn} và {wn} có nhiều tính chấttương tự những tính chất của dãy Lucas, ví dụ chúng đều là các dãy chia được.Gần đây nhất, các dãy này tiếp tục được mở rộng thêm bởi Roettger, Williams

wn = vn− 2Rn,trong đó vn = λn(1 + γ1n)(1 + γ2n)(1 + γ3n) Ta xác định

đệ quy tuyến tính và cũng là dãy chia được, và khi đó ta có λ = R ∈ Z và

ρi = R(γi+ 1/γi) (i = 1, 2, 3) là các nghiệm của đa thức bậc ba

g(x) = x3− S1x2+ S2x − S3,trong đó S3 = RS2

1 − 2RS2− 4R3 và S1, S2 ∈ Z

Ta có Rγi và R/γi (i = 1, 2, 3) là sáu nghiệm của đa thức

G(x) = (x2− ρ1x + R2)(x2− ρ2x + R2)(x2− ρ3x + R2)

= x6− S1x5+ (S2+ 3R2)x4− (S3+ 2R2S1)x3+ R2(S2+ 3R2)x2− R4S1x + R6

Đặt Wn = Vn− 2Rn, thì ta sẽ nhận được các dãy {Un} và {Wn} là các dãy

đệ quy tuyến tính với đa thức đặc trưng G(x)

Chương 1: Các dãy của Roettger và các kết quả liên quan

Trong chương này trình bày các định nghĩa và các tính chất quan trọng(không chứng minh) của các dãy Lucas, Roettger

Chương 2: Dãy {Dn}

Trình bày định nghĩa dãy {Dn}, các tính chất số học của dãy {Dn}

Chương 3: Dãy {En}

Trình bày định nghĩa dãy {En} và các tính chất của dãy này

Chương 4: Một số bài toán sơ cấp ứng dụng

Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS.Nông Quốc Chinh, người đã đặt đề tài và tận tình hướng dẫn để luận văn nàyđược hoàn thành

Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin, Phòng Đào Tạo Trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôihoàn thành khóa học Tôi cũng xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy củacác thầy, cô trong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, bạn

bè và các anh chị em đồng nghiệp, những người luôn động viên khích lệ giúptôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016

Học viên

Nguyễn Thị Kim Ngân

Chương 1

Các dãy của Roettger và các kết

quả liên quan

Trong Chương 1, chúng tôi xin đưa ra khái niệm dãy Lucas, dãy Roettger,một vài tính chất cơ bản, công thức tính và một số kết quả liên quan dãyRoettger Nội dung chương này chủ yếu theo tài liệu [1], [2] và tham khảothêm một số tài liệu khác Các chứng minh chi tiết các định lý và hệ quả đãđược trình bày trong các tài liệu [1] và [2] nên ở đây, chúng tôi chỉ nêu kết quảchính mà không chứng minh

Bài toán 1.1.1 Chứng minh rằng nếu phân số tối giản p

q ((p, q) = 1) lànghiệm của đa thức với hệ số nguyên

f (x) = anxn+ an−1xn−1+ · · · + a1x + a0

thì p là ước của a0 và q là ước của an

Giải Giả sử phân thức tối giản p

q là nghiệm của đa thức f (x) Khi đó, ta có

n

+ an−1

 pq

n−1

+ · · · + a1

 pq

+ a0 = 0

Từ đó, ta có

anpn = −q(an−1pn−1+ · · · + a1qn−2p + a0qn−1) (1.1)

a0qn = −p(anpn−1+ an−1pn−2q + · · · + a1qn−1) (1.2)

Từ (1.1) suy ra anpn chia hết cho q mà (p, q) = 1 nên an chia hết cho q Từ(1.2) suy ra a0qn chia hết cho p mà (p, q) = 1 nên a0 chia hết cho p

Định nghĩa 1.1.2 (Dãy Lucas) Gọi p, q ∈ Z là các số nguyên tố cùng nhau

và α, β là các nghiệm của đa thức bậc hai

x2− px + qvới biệt thức δ = (α − β)2 = p2− 4q Đặt

Ví dụ 1.1.4 Cho tam thức bậc hai x2+ 3x + 2, ta được

n

− 5−

√ 21 2

n

√

5 +√212

!n

+ 5 −

√212

Tức là ta cũng có

un+1 = pun − qun−1 và vn+1 = pvn − qvn−1,trong đó u0 = 0, u1 = 1 và v0 = 0, v1 = p Từ công thức truy hồi này, ta thể cóthể tính được un và vn với mọi giá trị nguyên n

Các dãy Lucas có nhiều tính chất thú vị và có nhiều ứng dụng trong kiểmtra tính nguyên tố của số nguyên lớn, nghiệm của đồng dư thức bậc hai và bậc

ba, và trong lý thuyết mật mã (xem [4])

Roettger [2] đề xuất việc mở rộng dãy Lucas bằng cách mở rộng đa thức từbậc 2 lên bậc n Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày giớihạn trong đa thức bậc 3 Trong trường hợp này ta gọi P, Q, R ∈ Z là các sốnguyên thỏa mãn gcd(P, Q, R) = 1 và gọi α, β, γ là các nghiệm của

h(x) = x3− P x2+ Qx − R, (1.3)với biệt thức

∆ = (α − β)2(β − γ)2(γ − α)2 = Q2P2− 4Q3− 4RP3 + 18P QR − 27R2.Giả sử rằng ∆ 6= 0

Định lý 1.1.6 (Định lý Vieta) Ba nghiệm α, β, γ thỏa mãn công thức sau

Định nghĩa 1.1.7 (Dãy Roettger) Với P, Q, R, α, β và γ xác định như trên,đặt

cn = cn(P, Q, R) = (α

n− βn)(βn − γn)(γn− αn)(α − β)(β − γ)(γ − α) (1.4)và

wn = wn(P, Q, R) = (αn + βn)(βn + γn)(γn+ αn) − 2Rn (1.5)Khi đó {cn} và {wn} được gọi là hai dãy Roettger

Với n = 0 thì

c0 = 0 và w0 = 2 · 2 · 2 − 2R0 = 6;

với n = 1 thì

c1 = 1và

a1 = wm, a2 = (w2m− ∆c2m)/4 + Rmwm,

a3 = Rm(w2m+ 2Rmwm+ 2R2m), a4 = R2ma2,

a5 = R4ma1, a6 = R6m

Chứng minh Đặt

Am = (αmβ2m+ βmγ2m+ γmα2m), Bm = (α2mβm + β2mγm+ γ2mαm),thì

cm = Am− Bm

δ , wm = Am + Bm.Thực hiện các phép tính:

cn và wn cũng thỏa mãn đa thức p(x)

Công thức (1.5) là công thức đệ quy tuyến tính bậc 6 được dùng để tínhgiá trị của dãy Roettger {cn} và {wn} với mọi n ≥ 0.

Hệ quả 1.1.10 Với mọi n ≥ 0, ta có cn, wn ∈ Z

Định lý 1.1.11 ([2, tr 55]) R2nc−n = −cn và R2nw−n = wn

Tương tự như dãy Lucas, ta cũng có công thức cộng cho dãy Roettger.Định lý 1.1.12 ([2, tr 56])

2w2n+m = wnwn+m + ∆cncn+m− Rn(wnwm − ∆cncm − 2R2mwn−m),2c2n+m = cn+mwn+ cnwn+m− Rn

(cmwn− cnwm+ 2R2mcn−m)

Hệ quả 1.1.13 ([2, tr 57])

2w2n = ∆c2n + wn2 − 4Rnwn,

c2n = cn(wn+ 2Rn),4w3n = 3∆c2n(wn + 2Rn) + wn2(wn − 6Rn) + 24R3n,4c3n = cn(∆c2n+ 3wn2)

Nếu ta thay n bằng m và m bằng n + m trong Định lý 1.1.12, ta bỏ đượcdấu trừ ở chỉ số dưới trong công thức của wn và cn

Hệ quả 1.1.14 ([2, tr 58])

2wn+3m = ∆cmcn+2m+ wmwn+2m − Rmwmwn+m

+ Rm∆cmcn+m+ 2R3mwn2cn+3m = wmcn+2m + cmwn+2m − Rmwmcn+m

+ Rmcmwn+m − 2R3mcn.Định lý dưới đây là công thức nhân của wn và cn

+ wn(wn4− 10Rnwn3 + 20R2nwn2 + 40R3nwn− 80R4n)

Một trong những tính chất quan trọng nhất của dãy Lucas {un} với n ≥ 0

đó là nó là một dãy chia được

Định nghĩa 1.1.16 Một dãy số nguyên {An} được gọi là dãy chia được nếu

An| Am miễn là n | m và An 6= 0, tức là khi một chỉ số là bội của chỉ số khácthì số hạng tương ứng cũng là bội của số hạng kia

Ví dụ 1.1.17 Mọi dãy có dạng an = kn, với k là số nguyên khác không, làmột dãy chia được Mọi dãy có dạng an = An − Bn, với A > B > 0 cũng làdãy chia được

Định lý 1.1.18 ([1]) Dãy số Roettger {cn} (n ≥ 0) là một dãy chia được, tứclà

cm | cn nếu m | n

Chứng minh Giả sử m | n, khi đó tồn tại s ≥ 0 sao cho n = ms Ta có

cn(P, Q, R) = (α

n− βn)(βn− γn)(γn − αn)(α − β)(β − γ)(γ − α)

= (α

ms− βms)(βms− γms)(γms− αms)(α − β)(β − γ)(γ − α)

= (α

m− βm)(βm− γm)(γm− αm)(α − β)(β − γ)(γ − α)

· (α

ms− βms)(βms− γms)(γms− αms)(αm− βm)(βm − γm)(γm− αm)

= cm(P, Q, R) · cs(Am, Bm, Rm),trong đó An = αn + βn+ γn, Bn = αnβn+ βnγn+ γnαn (xem [2])

Lưu ý, dãy Roettger {wn} (n ≥ 0) không nhất thiết là dãy chia được Xét

đó, w1 = P Q − 3R = 6, w2 = (P2− 2Q)(Q2− 2RP ) − 3R2 = 20, chứng tỏ w2

không là bội của w1 Vậy dãy Roettger {wn} không là dãy chia được

Gần đây, các dãy Roettger được tiếp tục mở rộng thêm bởi Roettger vàWilliams và Guy [3] Nhắc lại, gọi P, Q, R ∈ Z là các số nguyên thỏa mãngcd(P, Q, R) = 1, gọi α, β, γ là các nghiệm của

= (β

n− αn)(γn − βn)(αn − γn)(β − α)(γ − β)(α − γ)

vn = (αn+ βn)(βn+ γn)(γn+ αn)

= αnβnγn



1 + αβ

n 

1 + βγ

n

1 + γα

n

= λn(1 + γ1n)(1 + γ2n)(1 + γ3n)thì ta thu được

Vn = λn(1 + γ1n)(1 + γ2n)(1 + γ3n), (1.8)trong đó λ, γ1, γ2, γ3 ∈ Q; γ1, γ2, γ3 6= 1; γi 6= γj khi i 6= j và γ1γ2γ3 = 1

Trong [3], các tác giả chứng minh rằng nếu Un, Vn ∈ Z (n ≥ 0), {Un} là mộtdãy đệ quy tuyến tính và {Un} cũng là một dãy chia được, thì λ = R ∈ Z và

ρi = R(γi+ 1/γi) (i = 1, 2, 3) phải là các nghiệm của đa thức bậc ba

g(x) = x3− S1x2+ S2x − S3, (1.9)trong đó

là Rγi, R/γi (i = 1, 2, 3)

Nếu định nghĩa

thì cả {Un} và {Wn} là các dãy đệ quy tuyến tính với đa thức đặc trưng G(x).{Un} và {Wn} là các dãy tổng quát hơn {cn} và {wn} Ta có:

Nếu ký hiệu d là biệt thức của g(x), thì như đã chứng minh trong [3], ta có

d = ∆Γ, trong đó

Γ = R4(γ1− γ2)2(γ2− γ3)2(γ3− γ1)2 (1.15)

= S22+ 10RS1S2− 4RS13− 11R2S12+ 12R3S1+ 24R2S2+ 36R4 (1.16)Biệt thức D của G(x) được cho bởi D = Ed2R12, trong đó

E = R2∆(S1+ 2R2) = (ρ1− 4R2)(ρ2− 4R2)(ρ3− 4R3)

Nếu S1 và S2 được cho bởi (1.12), thì

4 | 3Wn2+ ∆Un2 = 3Wn2− 3∆Un2+ 4∆Un2

do vậy

4 | Wn2− ∆Un2 hay 4 | Wn2.Suy ra 2 | Wn Do đó 2 | gcd(Wn, Un)

Chú ý 1.2.3 Khi cho trước S1, S2, R ∈ Z không phải lúc nào cũng tồn tại

P, Q ∈ Z sao cho (1.12) xảy ra Ví dụ khi S1 = −1, S2 = −4 và R = 1; takhông thể tìm các số nguyên P, Q sao cho P Q = 2 và P3 + Q3 = 3 Do đó,các dãy {Wn(S1, S2, R)}, {Un(S1, S2, R)} biểu diễn phép mở rộng không tầmthường của các dãy Roettger {wn} và {cn}

Bổ đề 1.2.4 ([2, tr 80, 81]) (i) Nếu 2 - R và 2αk gcd(Wn, Un), thì α ∈{0, 1}, và nếu 2 | Wn thì ˜Qn = W

Công thức nhân tổng quát của {Wn} và {Un} được trình bày trong [3]:

ba khả năng của mở rộng tách được K của h(x) ∈ Fp[x]:

1 nếu K = Fp, ta nói rằng p là một S-nguyên tố,

2 nếu K = Fp 2, ta nói rằng p là một Q-nguyên tố,

3 nếu K = Fp 3, ta nói rằng p là một I-nguyên tố

Ta có δ = (α − β)(β − γ)(γ − α), ∆ = (α − β)2(β − γ)2(γ − α)2 Nếu p làQ-nguyên tố, ta có thể giả sử α ∈ Fp, β, γ ∈ Fp 2\Fp Nên αp = α, βp = γ và

(iii) Nếu p là I-nguyên tố thì γ1p = γ2ε, γ2p = γ3ε, γ3p = γ1ε,

Chương 2

Dãy {D n }

Dựa trên các kết quả đã trình bày ở Chương 1, ở chương này chúng tôinghiên cứu dãy tương tự dãy {un}, đó là dãy {Dn}; trong đó mỗi số hạng Dnđược định nghĩa là ước chung lớn nhất của Un và Wn − 6Rn Nội dung củachương được tham khảo chủ yếu trong các tài liệu [1, 3]

Nhắc lại, đặt

Un = λ

n−1(1 − γ1n)(1 − γ2n)(1 − γ3n)(1 − γ1)(1 − γ2)(1 − γ3) ,

Vn = λn(1 + γ1n)(1 + γ2n)(1 + γ3n),

Wn = Vn − 2Rn,trong đó λ = R, γ1, γ2, γ3 ∈ Q; γ1, γ2, γ3 6= 1; γi 6= γj khi i 6= j, γ1γ2γ3 = 1.Trong [3], các tác giả chứng minh rằng nếu Un, Vn ∈ Z (n ≥ 0), {Un} là mộtdãy đệ quy tuyến tính và {Un} cũng là một dãy chia được, thì λ = R ∈ Z và

g(x) = x3− S1x2+ S2x − S3,trong đó S3 = RS12− 2RS2− 4R3, S1, S2 ∈ Z

Bổ đề 2.1.1 ([3]) Nếu gcd(R, S1, S2) = 1, thì gcd(Un, Wn, R) | 2 với mọi

n ≥ 0

Chứng minh Ta thấy rằng Un ≡ un(S1, S2), Wn ≡ vn(S1, S2) (mod R) Dogcd(R, S1, S2) = 1, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại S20sao cho S2 ≡ S20 (mod R) và gcd(S20, S1) = 1 Theo tính chất (2.18) của dãy sốLucas (xem [2]), ta có gcd(un(S1, S20), vn(S1, S20)) | 2, hay gcd(Un, Wn) | 2 Suy

ra gcd(Un, Wn, R) | 2 Ngoài ra, nếu p là một số nguyên tố và p | gcd(Un, Wn, R),thì p = 2

Định nghĩa 2.1.2 ([1]) Đặt dãy

Dn = gcd(Wn− 6Rn, Un) (2.1)

Ví dụ D0 = gcd(W0− 6, U0) = gcd(6 − 6, 0) = 0, D1 = gcd(W1− 6R, U1) =gcd(S1− 6R, 1) = 1, D2 = gcd(W2− 6R2, U2) = gcd(S2

1− 2S2− 12R2, S1+ 2R).Theo kết quả của Bổ đề 2.1.1, ta thu được các kết quả sau đây cho dãy{Dn}

2 Nếu gcd(Dn, R) = 1 thì do 2 | R nên 2 - Dn, kéo theo 4 - Dn

Nếu gcd(Dn, R) = 2 thì 2 | Dn, kéo theo 2 | gcd(Wn − 6Rn, Un) cho nên

2 | gcd(Wn, Un) do 2 | R Nếu 2kUn thì 4 - Un và 4 - Dn Nếu 2λ, λ ≥ 2kUn

thì theo công thức nhân đôi U2n = Un(Wn + 2Rn) ta có 2kWn nên 4 - Wn và

4 - Dn

Trong phần còn lại của luận văn, ta luôn giả thiết là S1, S2, R được chọnsao cho gcd(S1, S2, R) = 1 Đặt

Fn =







∆Un2 nếu 2 - ∆Un;

∆Un2/4 nếu 2 | ∆Un.Theo phần chứng minh của Định lý 1.2.2, 4 | Wn2− ∆U2

n, nên 4 | ∆Un2, vậy Fn

là một số nguyên Nếu M là ước của Fn và gcd(M, R) = 1, theo (1.21)-(1.22),

Wmn ≡ 2RmnLm(Wn/2Rn) ≡ 2RmnLm(3) ≡ 6Rmn (mod Dn)

Nếu λ = 1, thì gcd(Dn/2, R) = 1 và 12Dn| Fn; do đó

Wmn≡ 6Rmn (mod Dn/2)

Ngoài ra, vì 2 | Un, ta có 2 | Umnvà 2 | Wmn (Định lý 1.2.2) Suy ra Wmn≡ 6Rmn

(mod 2) và vì gcd(2, Dn/2) = 1 ta thu được

pµkWn− 6Rn nên µ ≥ 2, nên 3µ ≥ 2µ + 2 Vì pνkUn nên pν | Un ⇒ p2ν | U2

p2ν | Fn nên ta có

Wpn ≡ 2RpnLp(Wn/2Rn) (mod p2ν) (2.4)với

Lp(Wn/2Rn) ≡ 1 + (Wn/2Rn− 1)h1 + p2− 1

8

(Wn/2Rn+ 1)(Wn/2Rn− 3)

2− 1)(p2− 9)

24 (Wn/2R

n− 1)(Wn/2Rn − 3)2 (mod p3µ)Lại có

Wn/2Rn− 1 ≡ 2 (mod pµ) và p2µ | (Wn/2Rn − 3)2nên

Suy ra

Lp(Wn/2Rn) ≡ Wn/2Rn+ p2− 1

8

(6Wn/2Rn− 10)(Wn/2Rn− 3)+ (p

(6Wn/2Rn− 10)(Wn/2Rn− 3)+ (p

(Wn/2Rn − 3) + 4p

2− 14+ (p

2− 1)4

(p2− 9)

3 (Wn/2R

n − 3)

≡ p2(Wn/2Rn− 3)+ (Wn/2Rn− 3)2h3(p

2− 1)

(p2− 1)4

(p2− 9)3i

với k ∈ Z Vì pµkWn− 6Rn và 2µ + 2 ≥ µ + 2 ta có pµ+2kWpn− 6Rpn Ngoài ra,

ta biết rằng pµ+3 | Upn, cho nên pµ+2kDpn Theo định nghĩa, vp(Dpn) = µ + 2 =

vp(Dn) + 2 và vp(Wpn− 6Rpn) < vp(Upn) Suy ra (i)

Trường hợp 2 pµkWn− 6Rn và pµkUn Khi đó ta có p2µ | Fn và kéo theo

Wpn ≡ 2RpnLp(Wn/2Rn) (mod p2ν)và

Lp(Wn/2Rn) ≡ 1 + (Wn/2Rn− 1)h1 + (p + 1)/2

2

!(Wn/2Rn + 1)(Wn/2Rn − 3)i

≡ Wn/2Rn + (p

2− 1)

8 ((Wn/2R

n)2− 1)(Wn/2Rn− 3) (mod p2µ).Vì

Trường hợp 3 pνkUn và pµkWn − 6Rn sao cho ν < µ Trong trường hợp này

Giả sử µ > 1 Vì ν ≥ µ ≥ 2 ⇒ 2ν + 1 ≥ µ + 3 ta có

4(W3n − 6R3n) ≡ Wn2(Wn − 6Rn) (mod 3µ+3)

Do gcd(Dn, R) | 2 và 9 | Wn − 6Rn, ta thu được 3kWn Do đó với µ > 1 ta

có 3µ+2kD3n, hay v3(D3n) = v3(Dn) + 2, suy ra (i) Nếu µ = 1 thì ta chỉ biết

3µ+2 | D3n, tức là v3(D3n) ≥ v3(Dn) + 2, suy ra (ii)

Bây giờ, nếu µ > 1, 3µkUn và 3νkWn− 6Rn sao cho ν > µ, ta có 3µ+3kU3n

và

4(W3n− 6R3n) ≡ Wn2(Wn − 6Rn) (mod 32µ+1)