Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)

Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép cho bài toán xác định không điểm của toán tử J đơn điệu (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ HỒNG PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHÔNG ĐIỂM

CỦA TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ HỒNG PHƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHÔNG ĐIỂM

CỦA TOÁN TỬ J-ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số: 60 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS Trương Minh Tuyên

THÁI NGUYÊN - 2016

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trương Minh Tuyên, người đãtận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu để hoànthành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, các thầy, cô giáo trong khoaToán - Tin trường, Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp

đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Trường

Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, lãnhđạo trường Trung học phổ thông Gang Thép, cũng như toàn thể các đồng nghiệp,

đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập

và nghiên cứu

Mục lục

1.1.1 Không gian Banach trơn 3

1.1.2 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 6

1.1.3 Toán tử j-đơn điệu 8

1.2 Giới hạn Banach 10

1.3 Phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn 14

1.3.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết 14

1.3.2 Phương pháp đường dốc 15

1.4 Phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu và một số cải tiến 17

1.5 Một số bổ đề bổ trợ 19

Chương 2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép 21 2.1 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép xác định không điểm của toán tử j-đơn điệu 21

2.2 Ví dụ số minh họa 36

Tài liệu tham khảo 41

Một số ký hiệu và viết tắt

Mở đầu

Cho H là một không gian Hilbert, bài toán xác định không điểm của lớp toán

tử đơn điệu A với tập xác định D(A) ⊆ H có vai trò quan trọng trong lĩnh vựcgiải tích phi tuyến và lĩnh vực tối ưu hóa Chẳng hạn, nếu f : H −→ R ∪ {+∞}

là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới thì toán tử dưới vi phân ∂f :

là một toán tử đơn điệu cực đại [16] Ta biết rằng điểm x ∈ H làm cực tiểuphiếm hàm lồi f khi và chỉ khi θ ∈ ∂f (x) Như vậy, bài toán cực tiểu hóa phiếmhàm lồi f ở trên tương đương với bài toán xác định không điểm của toán tử đơnđiệu cực đại ∂f Bài toán này đã được nghiên cứu và mở rộng cho các bài toántìm không điểm của toán tử đơn điệu hay toán tử j-đơn điệu trong không gianBanach

A = I − T là một toán tử j-đơn điệu, ở đây I là toán tử đồng nhất trên E Do

đó, bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn T có thể đưa về bài toánxác định không điểm của toán tử j-đơn điệu A = I − T Ngược lại, nếu A là một

thì bài toán xác định không điểm của A tương đương với bài toán tìm điểm bất

và tìm các phương pháp tìm không điểm của một toán tử kiểu đơn điệu mangnhiều ý nghĩa quan trọng và thu hút sự quan tâm của đông đảo người làm toántrong và ngoài nước

Mục đích của luận văn này là trình bày lại một cách có hệ thống kết quả củaCeng L.C., Ansari Q H và Yao J C trong tài liệu [6] về phương pháp xấp xỉgắn kết lai ghép với phương pháp đường dốc nhất cho bài toán xác định không

điểm của một toán tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach.

Luận văn được chia làm hai chương chính:

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi đề cập đến khái niệm không gian Banach trơn,ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, toán tử j-đơn điệu; giới hạn Banach; phương phápxấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốc nhất Ngoài ra chương này còn trìnhbày về phương pháp điểm gần kề và một số cải tiến của nó cho bài toán xácđịnh không điểm của toán tử kiểu đơn điệu

Chương 2 Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép

Chương này, chúng tôi trình bày lại các kết quả của Ceng L.C., Ansari Q

H và Yao J C trong tài liệu [6] về phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép vớiphương pháp đường dốc nhất cho bài toán xác định không điểm của một toán

tử m-j-đơn điệu trong không gian Banach Ngoài ra, chúng tôi cũng xây dựngmột ví dụ số và chạy thử nghiệm trên phần mềm MATLAB nhằm minh họathêm cho các phương pháp

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này gồm 5 mục Mục 1.1 giới thiệu về không gian Banach trơn đều

và toán tử j-đơn điệu Mục 1.2 trình bày về giới hạn Banach và một số tínhchất quan trọng nhằm phục vụ trình bày các nội dung của chương 2 Mục 1.3giới thiệu sơ lược về phương pháp xấp xỉ gắn kết và phương pháp đường dốcnhất cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Mục 1.4 đề cậpđến phương pháp điểm gần kề cho bài toán xác định không điểm của toán tửđơn điệu và một số cải tiến của nó Mục 1.5 trình bày một số bổ đề bổ trợ cần

sử dụng trong chứng minh các định lý ở chương sau của luận văn

tử j-đơn điệu

Trước hết, trong mục này chúng tôi nhắc lại khái niệm không gian Banachphản xạ

Định nghĩa 1.1 Một không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ,

phần tử x thuộc E sao cho

hx, x∗i = hx∗, x∗∗i với mọi x∗ ∈ E

Mệnh đề 1.1 [1] Cho E là một không gian Banach Khi đó, các khẳng địnhsau là tương đương:

i) E là không gian phản xạ

ii) Mọi dãy bị chặn trong E, đều có một dãy con hội tụ yếu

Mệnh đề dưới đây cho ta mối liên hệ giữa tập đóng và tập đóng yếu trongkhông gian tuyến tính định chuẩn

Mệnh đề 1.2 Nếu C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian khônggian tuyến tính định chuẩn X, thì C là tập đóng yếu

tách ngặt x và C, tức là tồn tại ε > 0 sao cho

hy, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,với mọi y ∈ C Đặc biệt, ta có

hxn, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,

đẳng thức trên, cho n → ∞, ta nhận được

hx, x∗i ≤ hx, x∗i − ε,điều này là vô lý Do đó, điều giả sử là sai, hay C là tập đóng yếu

Mệnh đề được chứng minh

Chú ý 1.2 Nếu C là tập đóng yếu, thì hiển nhiên C là tập đóng

Mệnh đề dưới đây cho ta một điều kiện về sự tồn tại điểm cực tiểu của mộtphiếm hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới trong không gian Banach phảnxạ

Mệnh đề 1.3 Cho C là tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banachphản xạ E và f : C −→ (−∞, ∞] là một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục

sao cho

f (x0) = inf{f (x) : x ∈ C}

tôpô yếu, nên ta có

Định nghĩa 1.2 Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn, chuẩn trên E

d) Chuẩn trên E được gọi là khả vi Fréchet đều nếu giới hạn (1.1) tồn tại đềuvới mọi x, y ∈ SE

Định nghĩa 1.4 Không gian Banach E được gọi là trơn (trơn đều) nếu chuẩntrên E khả vi Gâteaux đều (Fréchet đều).

Ngoài ra, ta có thể định nghĩa không gian Banach trơn đều thông qua môđun trơn của nó

Định nghĩa 1.5 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác địnhbởi

Nhận xét 1.1 Mô đun trơn của không gian Banach E là hàm số xác định, liêntục và tăng trên khoảng [0; +∞) [1], [11]

là không gian trơn đều [10]

Định nghĩa 1.7 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn, ánh xạ đa

J (x) = {f ∈ E∗ : hx, f i = kxk2, kxk = kf k}

được gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

Chú ý 1.3 Trong không gian Hilbert, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc trùng với ánh

xạ đồng nhất I

Nhận xét 1.2 Trong không gian tuyến tính định chuẩn bất kì E, ta luôn có

J (x) 6= ∅ với mọi x ∈ E, điều này suy ra trực tiếp từ hệ quả của Định lí Hahn

- Banach Mệnh đề dưới đây đề cập đến một số tính chất đơn giản của ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc J của không gian tuyến tính định chuẩn E

Mệnh đề 1.5 [1] Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn và J là ánh xạđối ngẫu chuẩn tắc của nó Khi đó

i) J là một ánh xạ lẻ, tức là J (−x) = −J (x), ∀x ∈ E;

ii) J là thuần nhất dương, tức là J (λx) = λJ (x), ∀λ > 0, ∀x ∈ E;

iii) J bị chặn, tức là nếu D là một tập con bị chặn của E thì J (D) là một tập

v) J là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi và chỉ khi

E là không gian Banach trơn đều

nó được xác định như sau

trong đó ηn = |ξn|p−1sgn(ξk) 1

Định nghĩa 1.8 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach E được

xn * x, thì J (xn) hội tụ *yếu về J (x)

Chú ý 1.4 Trong trường hợp ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc là đơn trị thì ta kíhiệu nó bởi j.

Mệnh đề 1.6 [1] Cho E là không gian Banach trơn đều Khi đó, ánh xạ đốingẫu chuẩn tắc J trên E là đơn trị và liên tục đều theo chuẩn trên mỗi tập con

bị chặn của E

Tiếp theo, trong mục này chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất

cơ bản của toán tử đơn điệu, j-đơn điệu

tại j(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

Chú ý 1.5 Trong không gian Hilbert khái niệm toán tử đơn điệu và toán tửj-đơn điệu trùng nhau

m-j-đơn điệu nếu R(I + λA) = E với mọi λ > 0, ở đây R(I + λA) là miền ảnh của

I + λA và I là toán tử đồng nhất trên E

Chú ý 1.6 Nếu E là một không gian Hilbert thì khái niệm toán tử m-j-đơnđiệu trùng với khái niệm toán tử đơn điệu cực đại

Ví dụ 1.5 [16] Cho f : H −→ R là một hàm lồi chính thường nửa liên tụcdưới Khi đó, toán tử dưới vi phân

∂f (x) = {u ∈ H : f (y) − f (x) ≥ hy − x, ui, ∀y ∈ H}

là một toán tử đơn điệu cực đại

Định nghĩa 1.11 Cho A : D(A) ⊂ E −→ 2E là một toán tử j-đơn điệu

giãn và đơn trị Ngoài ra, ta cũng biết rằng mọi toán tử m-j-đơn điệu đều thỏamãn điều kiện miền

với λ ∈ (0, 1) và F được gọi là giả co, nếu với mọi x, y ∈ E, tồn tạij(x − y) ∈ J (x − y) sao cho

hF (x) − F (y), j(x − y)i ≤ kx − yk2.Định nghĩa 1.13 Cho E là một không gian Banach, ánh xạ T : D(T ) −→ Eđược gọi Lipschitz nếu tồn tại số L ≥ 0, sao cho

kT (x) − T (y)k ≤ Lkx − yk,với mọi x, y ∈ D(T )

Nếu L = 1, thì T được gọi là không giãn và nếu L ∈ [0, 1), thì T được gọi là ánh

xạ co với hệ số co là L

Mệnh đề 1.7 [6] Cho E là không gian Banach trơn và F : E −→ E là mộtánh xạ

(i) Nếu F là λ-giả co chặt, thì F là Lipschitz với hằng số (1 + 1/λ);

(ii) Nếu F là j-đơn điệu mạnh với hệ số δ và λ-giả co chặt với δ + λ > 1, thì

Chú ý 1.8 Trong trường hợp E là không gian lồi chặt và tập các điểm bấtđộng của T khác rỗng thì nó là một tập con lồi và đóng của E

Chú ý 1.9 Nếu T : C −→ E là một ánh xạ không giãn từ tập con C của khônggian Banach E vào E thì toán tử I − T là j-đơn điệu Trong trường hợp C trùngvới E thì I − T là một toán tử m-j-đơn điệu

Tiếp theo, chúng tôi đề cập đến khái niệm giới hạn Banach:

ký hiệu

f (xm+1, xm+2, , xm+n, ),với m = 0, 1, 2,

Mệnh đề 1.8 Cho C là một tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian

với mọi m, n ∈ N Từ đó, suy ra

LIMnkxn − yk2 ≤ LIMnkxn− ymk2+ Lkym− yk2.Tương tự, ta cũng có

LIMnkxn − yk2 ≤ LIMnkxn− ymk2+ Lkym− yk2

Do đó, ta nhận được

Suy ra ϕ liên tục trên C

Với x, y ∈ C và mọi λ ∈ [0, 1], dễ thấy

ktx + (1 − t)yk p ≤ tkxk p + (1 − t)kykp− t(1 − t)g r (kx − yk),

với mọi x, y thỏa mãn kxk ≤ r, kyk ≤ r và mọi t ∈ (0, 1).

là dãy bị chặn trong E và u ∈ E Khi đó,

z∈ELIMnkxn − zk2khi và chỉ khi

bởi φ(z) = LIMnkxn − zk2, do đó φ0(u) = 0

Chú ý rằng E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều và j(x) là

ϕ Do đó,

LIMnhz, j(xn − u)i = hz, φ0(u)i = 0, ∀z ∈ E

Hệ quả 1.1 Cho E là không gian Banach có chuẩn khả vi Gâteaux đều và C

đó, u ∈ C thỏa mãn

z∈CLIMnkxn− zk2

khi và chỉ khi

dốc cho bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn

Năm 2000, Moudafi [15] đã đề xuất phương pháp xấp xỉ gắn kết để tìm điểmbất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert Cho T : C → C làmột ánh xạ không giãn và f : C → C là một ánh xạ co trên tập con lồi, đóng

và khác rỗng C của không gian Hilbert H, Moudafi đã chứng minh được các kếtquả sau:

hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân

x ∈ F (T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T ),

1

εn

= 0, thì {zn}hội tụ mạnh về nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân

x ∈ F (T ) sao cho h(I − f )(x), x − xi ≤ 0, ∀x ∈ F (T )

Chú ý 1.11 Phương pháp xấp xỉ gắn kết (1.7) là sự mở rộng của phương pháplặp Halpern ở dạng

xn+1 = αnu + (1 − αn)T (xn), ∀n ≥ 0

được đề xuất trước đó vào năm 1967 bởi Halpern Có thể thấy rằng nếu f (x) = uvới mọi x ∈ C, thi phương pháp xấp xỉ gắn kết trở thành phương pháp lặpHalpern.

Xét bài toán tối ưu không ràng buộc

Ta sẽ xây dựng một dãy điểm x0, x1, x2, sao cho f (xk+1 < f (xk)) với mọi

xk+1 = xk + αkdk,trong đó αk > 0 và h5f (xk), dki < 0

thì phương pháp gradient như thế được gọi là phương pháp đường dốc nhất(Steepest descent method) Đây là một phương pháp thông dụng để tìm cựctiểu, nó rất đơn giản và có thể áp dụng cho nhiều lớp hàm khác nhau Theo

Vấn đề đặt ra là, trong phương pháp lặp (1.8) αk > 0 được xác định như thế

với 0 < ε < 1 là hằng số cho trước tùy ý và như nhau ở mỗi bước lặp;

4 Nếu (1.9) thỏa mãn thì α là giá trị cần tìm Nếu (1.9) không thỏa mãn, thì

ta giảm α, bằng cách nhân α với một số λ ∈ (0, 1), chẳng hạn thay α bởiα/2, cho đến khi bất đẳng thức (1.9) được thỏa mãn

Năm 2007, Alber [2] đã đề xuất phương pháp đường dốc cho bài toán tìmđiểm bất động của một ánh xạ không giãn T trên tập con lồi và đóng C củakhông gian Banach E, ở dạng sau:

n=0µ2n < ∞ và {xn} bị chặn thì:

iii) Nếu F (T ) = {x∗}, thì {xn} hội tụ yếu về x∗

Nhận xét 1.3 Nếu C ≡ E, thì (1.10) trở thành

xn+1 = xn − µn(xn− T xn), n ≥ 0

Trong trường hợp này, thì dn := xn − T xn và theo phương pháp này thì phần

kỳ p ∈ F ix(T ), khi đó ta có

kxn+1− pk = kxn − µn(xn− T xn) − pk

= (1 − µn)kxn− pk + µnkT xn − T pk

không điểm của toán tử đơn điệu và một số cải tiếnTrong mục này, trước hết chúng tôi trình bày khái quát về phương pháp điểmgần kề cho phương trình với toán tử đơn điệu và toán tử j-đơn điệu

Xét bài toán

Khi A là m-j-đơn điệu trong không gian Hilbert H, nghĩa là A là toán tửđơn điệu cực đại thì Rockafellar R T [17] đã xét phương pháp lặp

toán (1.11)

Kết quả của Rockafellar được mô tả trong định lí dưới đây:

bởi (1.12) hội tụ yếu về một nghiệm của phương trình A(x) 3 θ

Chú ý 1.12 Phương pháp điểm gần kề được Martinet B đề xuất lần đầu tiêntrong tài liệu [14] cho bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi, chính thường, nửa liêntục dưới ψ : H −→ R ∪ {+∞} ở dạng sau

2cn

Chú ý 1.13 Năm 1991, Guler [12] đã xây dựng một ví dụ để chỉ ra phương pháp lặp (1.12) không phải lúc nào cũng hội tụ mạnh trong trường hợp tổng

trên sự kết hợp giữa phương pháp điểm tựa và ví dụ của Hundal [13] về sự hội

tụ yếu của phương pháp chiếu luân phiên cho bài toán chấp nhận lồi, cũng chỉ

chuẩn

Năm 2008, Chen và Zhu [9] đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của phươngpháp xấp xỉ gắn kết cho bài toán xác định không điểm của toán tử j-đơn điệutrong không gian Banach trơn đều, kết quả này được mô tả trong định lý dướiđây:

Định lí 1.2 [9] Cho E là một không gian Banach trơn đều Cho A là một toán

Trong tài liệu [6], Ceng, Ansari và Yao đã thiết lập các định lý hội tụ mạnhdựa trên phương pháp lai đường dốc nhất cho bài toán tìm không điểm của toán

tử j-đơn điệu, các kết quả này được thể hiện trong các định lý dưới đây:

Định lí 1.3 [6] Cho E là một không gian Banach trơn đều và cho A là một

một toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh là δ và λ-giả co chặt với

δ + λ > 1 Cho {λn}, {µn} là các dãy số nằm trong (0, 1), {αn}, {βn} là các

Định lí 1.4 [6] Cho E là một không gian Banach trơn đều và cho A là một

một toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh là δ và λ-giả co chặt với

1.5 Một số bổ đề bổ trợ

với mọi λ, µ > 0 và mọi x ∈ E, ta có

với mọi r ≥ s > 0, ta có

s xk ≤ 2kx − JrAxk,với mọi x ∈ R(I + rA) ∩ R(I + sA)

Bổ đề 1.3 [7] Cho E là không gian Banach thực bất kỳ Khi đó, với mọi

x, y ∈ E, ta có

chất

an+1 ≤ (1 − λn)an + λnβn + σn, ∀n ≥ 0trong đó {λn}, {βn} và {σn} thỏa mãn các điều kiện

Chương 2

Phương pháp xấp xỉ gắn kết lai ghép

Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu kết quả của Ceng L.C và cộng sự[8] về bài toán bất đẳng thức biến phân trên tập không điểm của một toán tửm-j-đơn điệu trong không gian Banach E, dựa trên phương pháp xấp xỉ gắn kếtlai ghép với phương pháp đường dốc nhât

không điểm của toán tử j-đơn điệu

Cho E là một không gian Banach trơn, F : E −→ E là một toán tử j-đơnđiệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh là δ và λ-giả co chặt với δ + λ > 1 Ta xét bàitoán tìm không điểm của toán tử m-j-đơn điệu A trên E, đồng thời là nghiệm

xt,n = tf (xt,n) + (1 − t)[Jrnxt,n− θtF (Jrnxt,n)] (2.1)

Ta có định lý sau:

Định lí 2.1 Cho E là không gian Banach trơn đều, A là một toán tử m-j-đơn

co Giả sử F : E −→ E là một toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệumạnh là δ và λ-giả co chặt với δ + λ > 1 Với mỗi t ∈ (0, 1) và với mỗi số

về một không điểm p của A, đồng thời là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức

h(I − f )p, j(p − u)i ≤ 0, ∀u ∈ C

a ∈ (0, 1) sao cho 0 ≤ θt/t < 1 với mọi t ∈ (0, a]

Với p ∈ C, từ Mệnh đề 1.7, ta có

kxt,n − pk ≤ tkf (xt,n) − pk + (1 − t)k[Jrnxt,n − θtF (Jrnxt,n)] − pk

+ (1 − t)[k(I − θtF )Jrnxt,n− (I − θtF )Jrnpk+ k(I − θtF )Jr p − pk]

≤ tβkxt,n− pk + tkf (p) − pk+ (1 − t)



r

1 − δλ



kJrnxt,n − Jrnpk+ (1 − t)θtkF (p)k

Với mỗi n ≥ 0, để đơn giản, ta đặt ωt = xt,n với mọi t ∈ (0, a] Bây giờ, cho {tk}

trên K như sau

Vì mọi tập con lồi, đóng và khác rỗng của không gian Banach trơn đều E đều

+ (1 − tk)θtkkF (Jrnωtk)k.kωtk − pk

≤ βtkkωtk − pk2+ tkhf (p) − p, j(ωk − p)i+ (1 − tk)kωtk − pk2+ θtkkF (Jrnωtk)k.kωtk − pk

+ LIMk θtk

tk kF (Jrnωtk)k.kωtk − pk



≤ 0

Do đó, dãy {ωtk} chứa một dãy con, mà ta có thể ký hiệu nó bởi {ωtk} hội tụ

Vì các tập {ωt − u : t ∈ (0, a]} và {ωt − f (ωt) : t ∈ (0, a]} bị chặn với mỗi

u ∈ C và ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j là liên tục đều theo chuẩn trên mỗi tập

k(I − f )ωsk − (I − f )qk → 0và

|hωsk − f (ωsk),j(ωsk − u)i − h(I − f )q, j(q − u)i

= h(I − f )ωsk − (I − f )q, j(ωsk − u)i+ h(I − f )q, j(ωsk − u) − j(q − u)i

≤ k(I − f )ωsk − (I − f )qk.kωsk − uk+ |h(I − f )q, j(ωsk − u) − j(q − u)i| → 0, khi sk → 0.Suy ra

h(I − f )q, j(q − u)i = lim

Vì β ∈ (0, 1), nên q = p Hơn nữa, bởi chứng minh trên, ta nhận được p là

h(I − f )p, j(p − u)i ≤ 0, ∀u ∈ C

Định lý được chứng minh

Chú ý 2.1 Trong Định lý 2.1, khi t → 0, {xt,n} hội tụ mạnh về một khôngđiểm của A không phụ thuộc vào n.

Dưới đây, chúng tôi giới thiệu một phương pháp lặp hiện dựa trên sự kết hợpgiữa phương pháp xấp xỉ gắn kết với phương pháp đường dốc được đề xuất bởibởi Ceng L.C., Ansari Q.H, Schaible S và Yao J.C trong tài liệu [8]

Định lí 2.2 Cho E là không gian Banach trơn đều, A là một toán tử m-j-đơn

Giả sử F : E −→ E là một toán tử j-đơn điệu mạnh với hệ số đơn điệu mạnh

[0, 1], {αn}, {βn} là các dãy số nằm trong (0, 1] và {rn} ⊂ [ε, ∞) với ε > 0 thỏamãn các điều kiện sau:

hội tụ mạnh về một không điểm của A, đồng thời là nghiệm duy nhất của bài

có

kyn − uk = kαnxn + (1 − αn)Jrnxn− uk

= kαn(xn− u) + (1 − αn)(Jr xn− u)k

kF (u)k



kF (u)k

, ∀n ≥ 0

xạ co và F là ánh xạ Lipschitz, nên {Jrnxn, {f (xn)} và {F (Jrnyn)} cũng là cácdãy bị chặn Từ các điều kiện (i) và (ii), ta có

= (βn− βn−1)f (xn−1) + βn(f (xn) − f (xn−1))(βn− βn−1)(I − λn−1µn−1F )Jr yn−1

+ (1 − βn)[(I − λnµnF )Jrnyn− (I − λnµnF )Jrn−1yn−1+ (λn−1µn−1 − λnµn)F (Jrn−1yn−1)].

Do đó,

kxn+1− xnk = |βn− βn−1|.kf (xn−1k + βnkf (xn) − f (xn−1)k

+ |βn− βn−1|.k(I − λn−1µn−1F )Jrn−1yn−1k+ (1 − βn)[k(I − λnµnF )Jrnyn− (I − λnµnF )Jrn−1yn−1+ (λn−1µn−1− λnµn)F (Jrn−1yn−1)k]

≤ |βn − βn−1|.kf (xn−1k + βnβkxn − xn−1k+ |βn− βn−1|.k(I − λn−1µn−1F )Jrn−1yn−1k+ (1 − βn)



1 − λnµn 1 −

r

1 − δλ



× kJrnyn− Jrn−1yn−1k+ (λn−1µn−1− λnµn)F (Jrn−1yn−1)k



≤ |βn − βn−1|.kf (xn−1k + βnβkxn − xn−1k+ |βn− βn−1|.k(I − λn−1µn−1F )Jrn−1yn−1k+ (1 − βn)



1 − λnµn 1 −

r

1 − δλ

+ (1 − βn)kyn− yn−1k + rn − rn−1

ε kJrnyn − yn−1k+ (λn−1µn−1− λnµn)F (Jrn−1yn−1)k

≤ βnβkxn − xn−1k + 2M2|βn− βn−1|+ (1 − βn)kyn− yn−1k

+ |λn− λn−1| + |µn− µn−1|].

(2.15)

trong đó p được xác định như trong Định lý 2.1

Từ điều kiện (iii) và (2.6), ta có

kyn − xnk = (1 − αn)kJr xn − xnk

≤ (1 − a)(kJrnxn− Jrnynk + kJrnyn− xn+1k + kxn+1 − xnk),suy ra

≤ (1 + t2)kxt,n − xnk2+ kJr xn − xnk(2kxt,n − xnk + kJr xn− xnk)

+ 2thf (xt,n) − xt,n, j(xt,n− xn)i + 2θtkF (Jrnxt,n)k.kxt,n− xnk.Suy ra

khơng điểm tốn tử j- đơn điệu< /h3>

Cho E không gian Banach trơn, F : E −→ E toán tử j- đơn? ?iệu mạnh với hệ số đơn điệu. .. mạnh phươngpháp xấp xỉ gắn kết cho toán xác định khơng điểm tốn tử j- đơn điệutrong khơng gian Banach trơn đều, kết mô tả định lý dướiđây:

Định lí 1.2 [9] Cho E không gian Banach trơn Cho. ..

khơng điểm tốn tử đơn điệu số cải tiếnTrong mục này, trước hết chúng tơi trình bày khái qt phương pháp điểmgần kề cho phương trình với tốn tử đơn điệu tốn tử j- đơn điệu

Xét toán

Khi