Lý thuyết và Bài tập thể tích Hình Học Không Gian

tam giác đều + Đường cao của hình chóp là SG, G là tam trong tam cua đáy.. Chứng ta xét tiếp các bài tập tương tự Câu 2: Cho hình chóp §.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phan

A

: it | ie TONG QUAN CAC DIEM LY THUYET CAN LUU Y

Phan1: CÁC KHI ĐA ĐIỆN, TÍNH CHẤT VÀ CÁCH DỰNG

+) Không quy định đỉnh nào nằm trên

(tùy thuộc siả thiết để dựng cho phù hợp)

* Dac biét:

Tứ diện đều có tất cả các cạnh đều bằng

nhau (các mặt là các tam giác đều)

C

+) Điểm 6 gọi là đỉnh của hình chóp

+) Các cạnh bên S54, 5B, SC Duong

thắng chứa SA có thể gọi tắt là cạnh bên

+) Các mặt bén SAB, SAC, SBC Mat

phang (SAB) gọi là mặt phẳng bên (gọi

tắt là mat ben)

+) Mặt đáy là đa giác ABC Mặt phẳng (ABC) gọi là mặt phẳng đáy (gợi tắt là

mặt đáu)

tam giác đều

+) Đường cao của hình chóp là SG, G là tam (trong tam) cua đáy

+) Da giac day ABC la tam gidc déu

+) Các canh bén SA, SB, SC bang nhau

và hợp với day một góc bằng nhau

Cự thể:| (SA;(ABC))=SAG

+) Các mặt bên SAB, SBC, SAC la cac

tam giác cân tại S, bằng nhau và hợp với

+) Đường cao của hình chóp là SƠ, O là tam cua day

+) Da giac day ABCD la hinh vuong

+) Cac canh bén SA, SB, SC, SD bang

nhau va hợp với đáy một góc bằng nhau

Cự thé:| (SA;(ABCD)) = SAO

+) Cac mat bén SAB, SBC, SCD, SAD la cac tam giac can tai S, bang nhau va hop

là trung điểm BC

Phan 2: KY NANG GOC VA KHOANG CACH

Hình thang Hình ngũ giác đều cạnh a Hình lục giác đều cạnh a

TINH CHAT QUAN TRONG

hà 1! 1 I Đa eh Send fo Vi tHIj" 4/( '\\ ¬aa a Sandy i tHÍHIj Á

Xet tam giac SAD vuong tai A: tanDSA= SA

>SA= a =aV3 va S, =a

Chứng ta xét tiếp các bài tập tương tự

Câu 2: Cho hình chóp §.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, hai mặt phang (SAB) và (SAD)

cùng vuông sóc với đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 30” Tính thể tích V của khối chop S.ABCD

Loi giai

Ta có: lao + (ABCD) => SA 1( ABCD) (SAD) 1 (ABCD)

va tp C+ APs BCL (SAB) => (SC;(SAB)) = BSC BC LSA

Xét tam giác SBC vuông tại B: tan BSC = =

->sB=— PC - V3 —> SA =x|SB2— tan BSC AB? =av2

Gọi O là tâm hình vuông ABC”), ta có:

DO L AC = DO 1 (SAC)= (SD;(SAC))= DSO —

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mat bén SAB la tam giac can tai S

và nằm trong mặt vuông góc với đáy, SC tạo với mặt đáy một góc bằng 60” Tính thể tích V của khối chóp S.ABCT

A.v- I5 2 B V=32° C.v- V52 6 D.v- V5 3

Lời giải

Dựng SH L AB—H là trung điểm AB Do

(SAB).L(ABCD)—.SH 1 (ABCD) Vậy

Cau 6: Cho hình chop S.ABCD co day là hình vuông cạnh a, mat bén SAB la tam giac can tai S

và nằm trong mặt vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng (SAB) một góc 45” Tính thể tích V

của khối chóp S.ABCD

v34” NÊ rà

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi canh a, ABC =60°, SA vudng géc voi đáy,

SD tạo với mặt phẳng (SAC ) một góc bằng 45 Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Loi giai

Do ABCD la hinh thoi canh a va ABC = 60°

nén tam giac ABC đều Vậy

=> (SD;(SAC)) =DSO=45° Vay tam giác

Xét tam giác SAO vuông tại A:

SA =xjSO? - AO? =#Ý* 2

=> V5 ABCD — 3 anc — 12

=> Chon dap an D

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy 1a hinh thoi canh a, ABC =60°, SA vudng géc voi đáy,

$C tạo với mặt phẳng (SAB) một góc bằng 45” Tính thể tích V của khối chop S.ABCD.

Do ABCD 1a hinh thoi cạnh a va ABC =60°

nén tam giác ABC đều Vay

V30 3a

Sascp = 25 apc = 2: 4 — > Dung

CH | AB=>H la trung điểm AB

vuông cân tại H > SH= HC =

A:SA =VSH? — AH? 02

Vay Vs ascp = 3 anc — 12 `

= Chon dap an B

Câu 9: Cho hình chop S.ABCD co day ABCD la hinh chit nhat cO AB=a, BC=2a_ và

SA=SC, SB=SD, SC tao voi mat đáy một góc bằng 60° Tinh thé tich V của khối chóp S.ABCD

Lời giải

= SO 1 (ABCD) =>(SC;( ABCD)) = SCO

Cau 10: Cho hinh chop S.ABCD co day ABCD la hinh chit nhat cO AB=a, BC=2a va

SA=SC, SB=SD, mat phang(SBC) tao vdi mat day mét géc bang 30° Tinh thé tich V cia khéi

Goi O là tâm đáy, ta có: ‘So LBD

= SO 1 (ABCD) => (SC;(ABCD)) = SCO

Dựng OH L BC> BC 1 (SOH)— BC 1 SH

vậy ((SBC);(ABCD))=SHO =60

Xét tam giác SHO vuông tại

O:tanSHO= Š œ 50 -OH tan SHO - "3

Cau 11: Cho hình chóp S.ABCD co đáy là hình chữ nhật ABCD có CD=2BC=22, SA

vuông góc với đáy, SD tạo với mặt phẳng (SAC ) một góc bằng 45” Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

NHOM HAI MAT PHANG VUONG GOC

Cau 12: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a, tam giác BCD vuông cân tại D

và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC ) Tinh thé tích V của khối tt dién ABCD

Cau 13: Cho hình chóp S.ABCD co day là hình vuông cạnh a,mat bén SAB la tam giac déu

va nam trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

phẳng vuông góc với (ABCD), SAB=30°, SA =2a Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

(SAB) | (ABCD) => SH 1 (ABCD)

Ta có, do ASHA vuông tại 4H:

sin SAH =" <> SH =SA.sinSAH =a va

trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) Biết AD hợp với mặt phẳng (ABC ) một góc 60° Tính thể

tích V của khối tứ diện ABC.

phẳng vuông góc với (ABCD), SAB=60°, SA=2a Tính thể tích V của khối chóp S.ABCTD)

(SAB) | (ABCD) => SH 1(ABCD)

Ta có, do ASHA vuông tại 4H:

sin SAH = ¬ <> SH = SA.sinSAH = a3

A

Cau 17: Cho hình chóp S.ABCD co day la hinh chtr nhat ABCD, BC=2AB=2a, tam giác

SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD), SAB=60°, SA=2a Tính thể tích V của khối

(SAC) | (ABCD) => SH 1 (ABCD)

Ta có, do ASHA vuông tại 4H:

Cau 18: Cho hinh chop S.ABCD co day la hinh thoi canh a, CAD =30°, tam giac SAB déu va

nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD), SAB =60°, SA=2a Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

(SAB) | (ABCD) => SH 1 (ABCD)

Ta có, do ASAB là tam giác đêu nên

va CAD=30° nén BAD déu Suy ra

SH | (ABC) =>(SA;( ABC)) =SAH = 60°

Cau 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của S

trên mặt phẳng (ABC ) là trung điểm của BC và SB hợp với đáy một góc ó0” Tính thể tích V của

khối chóp S.ABC

Câu 22: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đêu cạnh z, hình chiếu vuông góc của S

trên mặt phẳng (ABC ) la trung diém cua BC va (SAB) hợp với đáy một góc 45” Tính thể tích V

của khối chóp S.ABC

Goi M la of trung diém

AB=> HK= 2CM= =—, do tam giác SHK

Câu 23: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh z, hình chiếu vuông góc của S

trên mặt phẳng (ABC ) là điểm H trên cạnh BC sao cho CH=2HB, SB hợp với đáy một góc ó0”

Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

Câu 24: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh z, hình chiếu vuông góc của S

trên mặt phẳng (ABC ) là điểm H trên cạnh BC sao cho HC = 2BH, SA hợp với đáy một góc ó0”

Tính thểtích V của khối chóp S.ABC

Cau 25: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh z, hình chiêu vuông góc của S

trên mặt phẳng (ABC ) là điểm H trên cạnh BC sao cho HC = 2BH, va tam giac SAH vuông cân Tính thểtích V của khối chóp S.ABC

DANG TOAN 1: Thể tích khối lăng tru

Nhớm giả thiết 1: CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

Câu 1: Cho hình lang trụ đứng ABC.A'B'C’ có day ABC là tam giác vuông cân tại

A, AB=a, BBE'=2a Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'EC

Câu 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C’ cé day ABC la tam giac déu canh a, mat bén ABB'A’

là hình vuông Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'EC

Thể tích V của khối lăng trụ đã cho gần bằng giá trị nào sau đây?

Do ABCDE.A'EBC TYE' là lăng trụ đều nên đường cao của D

lăng trụ là BB' =4 Tính diện tích ngũ giác đều A'#C'DE E C

Câu 8: Cho hinh lang tru lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F’ cd canh day bang a, canh bén bang

2a Tính thểtích V của khối lang tru ABCDEF.A'B'C'D'E'F’

A y 34 , B V =3V30° C V =6y30" D.V=ˆ ”

Lời giải

Do ABCDEF.AWCTYET' là lăng trụ đều nên đường F E

Cau 11: Cho hình lang tru đứng ABC.ABC' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

A, AB=a, AB' hợp với đáy một góc 60° Tinh thể tích V của khối lăng tru ABC.A’B’C’

Xét tam giác AB4' vuông tại A’:

A'A = A'B' tan AB'A' = a3

Vậy V= AA'S = Chon dap an D

Cau 12: Cho hình lăng trụ đứng A4BC.ABC' có đáy ABC la tam giác vuông cân tại

A, AB=a, AB’ hop voi mat phang (ACC'A’) một góc 60 Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.ABC

Ta 6: Scam = 2AB.AC = >" Do AA'LA'B’ và

A'B' | A'C' => A'B' 1 (ACC'A')

\ /_\ <ˆ\ a} i Suv

(7 À eZ Vey] HS WRYv ath teeter \WyBWW7 z1 Ÿ5 \ {»

Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

A, AB=a, (ABC') hợp với mặt đáy một góc 30° Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'EC

=> ((AB'C’);( A'B'C’)) = AMA’ = 30° `

đáy một góc 60° Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'BC'

Do A'A L(A'B'C’) =(AB;(A'EC'))= ABA' =600

Xét tam giác ABA' vuông tại A’:

A'A= A'B tan AB'A' =ax3

Cau 15: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'EC" có cạnh đáy bang a, AC’ hop véi mat

phẳng (ABEA') một góc 45° Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'BC

Lời giải

Cau 16: Cho hinh lang try tam gidc déu ABC.A'B'C’ cé canh day bằng ø, (ABC') hợp với

mặt đáy một góc 60” Tính thể tích V của khối lăng tru ABC.A'B’C’

Cau 17: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A'B'C’D' co day ABCD la hinh thoi cạnh

a, BAC =30°, AB’ =V/2a Tinh thé tích V của khối lăng trụ ABCD.A'BCD

A':A'A= J(E^}Ÿ -(A'B} =a )

Vay V=AA'S wor =——- ieee

= Chon dap an B

Cau 18: Cho hình lãng trụ đứng ABCDABCT có đảy ABCD la hình thoi cạnh

a, ADC =120°, AC’ hop với đáy một góc 45! Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A'BCD

Do A'A L(A'B'C'D') => (AC';(A'B'CD')) = ACA’ = 45°

Suy ra AA’AC’ vuong can tai A’

= A'A= A'C'=2A'O =¬|3a

Cau 19: Cho hình lăng trụ đứng ABCDABCT co day ABCD la hinh thoi canh

a, ADC=120°, (ADCP') hợp với đáy một góc 45° Tính thể tích V của khối lăng trụ

Cau 20: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.ABCTY có day ABCD la hinh thoi tam O cạnh

a, ADC =120° Biết OC' hop voi (DBBD') một góc 60 Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A'BC TT”

CƠIBD —=CŒ L (DBED') C'O’ | DD'

Gọi O' là tâm A'BCD' >|