a Viết phương trình đường cao BH và đường thẳng AC của tam giác ABC.. a Viết phương trình đường tròn C đường kính MN.. b Lập phương trình chính tắc của elip E biết rằng độ dài trục lớn
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: TOÁN – LỚP 10
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 (2,0 điểm) Giải các bất phương trình
a) x4−3x2+ ≥2 0
1
x
+ +
Câu 2 (1.0 điểm) Giải phương trình 2x+ 2x+ = +1 2 x+2
Câu 3 (1,0 điểm) Tìm m để bất phương trình mx2+mx+ >1 0 nghiệm đúng với mọi
x∈¡
Câu 4 (1,0 điểm) Cho số thực a thỏa mãn cos 4 1
3
a= Tính giá trị của biểu thức
6
Câu 5 (2.0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác , ABC có trực tâm (0; 1),
H − chân đường cao kẻ từ B là điểm K(− 1;1)
a) Viết phương trình đường cao BH và đường thẳng AC của tam giác ABC
b) Biết M( )4;1 là trung điểm của cạnh AB Tìm toạ độ 3 đỉnh , , A B C
Câu 6 ( 2.0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho 2 điểm , M(2; 2)− và N(−2; 2 ) a) Viết phương trình đường tròn (C) đường kính MN
b) Lập phương trình chính tắc của elip ( )E biết rằng độ dài trục lớn của elip bằng 8,
và hai tiêu điểm của elip là hai giao điểm của đường tròn ( )C và trục Ox
Câu 7 (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu x <1 thì ( )2015 ( )2015 2015
1+x + −1 x <2
HẾT
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Trang 2TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ II- NĂM HỌC 2014 -2015
Môn: Toán - Lớp 10 – Thời gian làm bài: 120 phút
1
(2,0
điểm)
a) (1 điểm).
Bpt
2
2
2 1
x x
≥
2 2
x x x
≥
⇔ ≤ −
− ≤ ≤
Vậy tập nghiệm của bất phương trình
( ; 2 [ 1;1] 2; )
0,5
b) (1 điểm)
Nếu x+ ≤ ⇔ ≤ −2 0 x 2 thì bpt luôn đúng
Nếu x+ > ⇔ > −2 0 x 2thì bpt 2 2
Nghiệm trong trường hợp này x∈ − −( 2; 1]
Kết hợp lại, tập nghiệm bpt là S= −∞ −( ; 1 ]
0,5
2
(1,0
điểm)
2
x≥ −
x
−
x
2
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phương trình là x= 1.
0,5
3
(1,0
điểm)
Với m= 0 thì bpt ⇔ >1 0 đúng với mọi x∈ ¡
Với m≠ 0 thì yêu cầu bài toán tương đương với 0
0
m>
∆ <
0,5
2
0
m
m
>
− <
Vậy 0≤ <m 4 thỏa mãn yêu cầu bài toán
0,5
4
sin cos 2sin cos
6
Trang 32
5
(2,0
điểm)
a) (1 điểm).
M(4;1)
K(-1;1)
H(0;-1) A
B
C
Phương trình đường cao BH qua H(0; 1− )và K(−1;1) là
−
Hay phương trình đường caoBH là 2x y+ + =1 0.
0,5
Đường thẳng AC qua K(−1;1) vuông góc với BH , nên phương trình
của đường thẳng AC là 1(x+ −1) (2 y− =1) 0, hay x−2y+ =3 0
Vậy phương trình đường caoBH là 2x y+ + =1 0 và phương trình
đường thẳng AC là x−2y+ =3 0
0,5
b) (1 điểm)
Điểm B BH∈ ⇒B b( ; 2− −b 1).
Điểm M( )4;1 là trung điểm của AB , suy ra toạ độ điểm A :
A x −x y −y ⇒ A −b + b
A thuộc đường thẳng AC , nên
8− −b 2 3 2+ b + =3 0 ⇒ − + = ⇒ = ⇒5b 5 0 b 1 B(1; 3 ; (7;5)− ) A
0,5
Đường thẳng BC qua B(1; 3− ) nhận vectơ uuurHA=( )7;6 làm vectơ pháp
tuyến
Vậy phương trình đường thẳng BC là 7(x− +1) (6 y+ =3) 0 hay
7x+6y+ =11 0
Điểm C là giao của hai đường thẳng BC và AC nên toạ độ C thoả,
mãn hệ
2;
C
Vậy toạ độ 3 điểm cần tìm làA(7;5),B(1; 3− )và 2;1
2
C
− .
0,5
Trang 4(2,0
điểm)
a) (1 điểm).
Đường tròn (C) nhận trung điểm của MN là tâm và bán kính
2
MN
R= 0,5
Ta có: trung điểm của MN là O( )0;0 , bán kính
( ) (2 )2
1
2
Vậy phương trình đường tròn (C) là x2+y2 =8 0,5
b) (1 điểm)
y
x
N(-2;2)
M(2;-2)
O
4 -4
(Thí sinh không nhất thiết phải vẽ hình)
Gọi phương trình chính tắc của elip (E) là x22 y22 1 (1)
với điều kiện a b> > 0
Theo bài ra ta có: 2a= ⇒ =8 a 4 (2)
0,5
Vì O là tâm của (C), O thuộc Ox, nên giao của (C) và trục Ox là 2
điểm tạo thành một đường kính của (C), theo giả thiết cũng là hai tiêu
điểm của elip (E)
Suy ra tiêu cự của elip (E) 2 c=2R⇒ = =c R 2 2
Khi đó b= a2−c2 =2 2 (3)
Từ (1), (2) và (3), phương trình chính tắc của elip (E) là
2 2
1
16 8
(Thí sinh có thể tìm hai giao điểm có toạ độ là (±2 2;0)⇒ =c 2 2)
0,5
Trang 5(1,0
điểm)
Vì x <1 nên có thể đặt x=cos ,t t∈(0;π)
và bất đẳng thức được viết thành: ( )2015 ( )2015 2015
1 cos+ t + −1 cost <2
2015 4030 4030 2015
0,5
( )
4030 4030
Bởi vì 0
2 2
< < nên 0 sin ; os 1
c
Vậy
Hay (*) đúng, suy ra bài toán được chứng minh
Cách khác (mới bổ sung)
0,5