de kiem tra hoc ki i mon toan nam hoc 2013 2014 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về...
Trang 1TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
ĐỀ THI HỌC KÌ I, NĂM HỌC 2013 - 2014 Môn thi: Toán 11; Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 (3,0 điểm) Giải các phương trình
a, 2 sinx(sin 2x+ sinx)= 1 + 2 cosx
b, tanx+ cotx= 2 + cot 2 2x
Câu 2 (1,0 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 viết ngẫu nhiên một số tự
nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau Tính xác suất để các chữ số 1 và 6 có mặt trong số viết được.
Câu 3 (1,0 điểm) Tìm hệ số của số hạng chứa x6 trong khai triển nhị thức Niutơn
của
n x
n
− 2
14
1 , biết rằng n là số nguyên dương thoả mãnA n3 − 8C n2 +C1n = 49
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có O là trọng tâm tam giác ABC Gọi I, J theo thứ tự là tâm các mặt bên ABB ' A' và ACC ' A'
a, Chứng minh IJ // (BCC ' B').
b, Xác định giao điểm K của OJ và mặt phẳng (A ' C B' ') Tính tỉ số
OK
OJ
.
Câu 5 (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng a.
Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và E là điểm chia đoạn thẳng AD theo tỉ số
2
1
−
Đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC tại F.
a, Chứng minh (GEF) // (SCD).
b, Tính diện tích thiết diện của hình chóp SABCD cắt bởi mặt phẳng (GEF).
Câu 6 (1,0 điểm)
a, (Dành cho học sinh chuyên Toán, Lý, Hoá, Tin) Cho tam giác ABC
không tù Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P= cos 2A+ 2 2 cosB+ 2 2 cosC.
b, (Dành cho học sinh chuyên Anh) Cho ∈0;2
π
x tìm giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của hàm số y= sinx− cosx.
HẾT
Trang 2-Ghi chú: Cán bộ coi thi không phải giải thích gì thêm!
ĐÁP ÁN
Câu 1 (3 điểm).
a, (1,5 điểm) 2 sinx(2 sinxcosx+ sinx)= 1 + 2 cosx
⇔ 2 sin 2 x(2 cosx+ 1) (− 2 cosx+ 1)= 0
2 4
2 3 2
0 2 cos
2
1 cos
0 1 sin 2 1 cos
+
=
+
±
=
⇔
=
−
=
⇔
=
− +
k x
k x
x
x x
x
π π
π π
Pt đã cho tương đương với
2 sin
1 1 2 sin
2 2
sin
1 1 cos
sin
2
+
x x
x x
x
4
2 2
2x=π +k π ⇔x=π +kπ
⇔
4 , k∈ Ζ
Câu 2 (1 điểm) Đặt E ={0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7}
sao cho các chữ số 1 và 6 có mặt trong số viết được
Không gian mẫu chính bằng số các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác
nhau được lấy từ tập E.
Vì chữ số đầu tiên khác 0 nên có 7 cách chọn
Các chữ số còn lại có 4
7
7
7 A
=
Ω = 5880
Đầu tiên từ các chữ số tập E ta viết số các số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho trong số đó luôn có mặt các chữ số 1, 6 kể cả chữ số 0 đứng ở
vị trí đầu tiên
Chọn 2 vị trí trong 5 vị trí để đặt các chữ số 1, 6 có 2
5
Ba chữ số còn lại có 3
6
6
2
5 A =
Sau đó từ các chữ số tập E ta viết số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 0 đứng ở vị trí đầu tiên và trong số đó luôn có mặt các chữ số
1 và 6
Có 1 cách đặt chữ số 0
Có 2
4
Hai chữ số còn lại có 2
5
Như vậy có tất cả 1 2 240
5
2
4 A =
Trang 3P I
S
D
A
B
C
M
G Q
H
Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là ΩA = 2400 − 240 = 2160
49
18 5880
2160 =
=
A P
Từ giả thiết ta có n(n− 1)(n− 2)− 4n(n− 1)+n= 49 ⇔n3 − 7n2 + 7n− 49 = 0
( − 7) ( 2 + 7)= 0 ⇔ = 7
−
=
−
=
−
=
0
7 0
2 7
2 7
7 2
2
1 2
1 2
1 1 14
1
k
k k
k k
n
x C
x C
x x
n
Hệ số cần tìm là
8
35 8
3
7 = −
Câu 4 (2 điểm).
BC ⇒IJ // (BCC ' B')
B’M’, MM’ // BB’ // AA’, J là trung điểm MM’
OJ cắt B’M’ tại K ⇒ OJ∩(A'B'C')=K
2
1
∆
=
∆
OK
OJ JK
JO g
c g K JM
và tính tỉ số
OK
OJ
theo định lý Menelaus - không cần phải chứng minh định lý.
Câu 5 (2 điểm)
EF // AB ⇒ EF // CD (1)
IG GS
GM IC
IM ED
EA
IC
2
1 2
1
// SC (2)
Từ (1) và (2) ⇒ (GEF) // (SCD).
b (1 điểm), Sử dụng tính chất giao tuyến
của ba mặt phẳng và (GEF) // (SCD) ⇒
(GEF) cắt (SAB), (SBC), (SAD) theo các giao
CD = a,
3
2 3
AB
3 3
SC
PF = = ,
⇒
=
=
3 3
SD
cân QPEF
6 2
a PQ EF
⇒
6
3 2
EH QE
⇒
B
A
C
A' B'
C' G
M
M' O
Trang 4Vậy diện tích thiết diện cần tìm là ( ) .
36
3 5 2
a EF
QP QH
Câu 6 (1 điểm)
a, (Dành cho học sinh chuyên Toán, Lý, Hoá, Tin) Ta có
1 2
cos 2 sin 2 4 cos 2 2
cos 2 cos 2 4 1 cos
+
−
P
Vì tam giác ABC không tù nên 0 ≤ cosA< 1 ⇒ 2 cos 2 A≤ 2 cosA
2
cos 2 sin 2 4 2 sin 4 1 2
cos 2 sin 2 4 cos
P
2 2
cos 2
2 2
sin
4
−
−
2 sin
2 2 − + ≤
45 90
0 2 sin
2
cos 2
2 2 sin
0 cos
0
0
=
=
=
⇔
=
−
−
=
=
C B A C
B
C B A
A
45
90 0
0
=
=
=
C B A
b, (Dành cho học sinh chuyên Anh) Ta có
Vì cosx≥ 0 , sinx≤ 1 nên = sin − cos ≤ sin ≤1,∀ ∈0;2
π
x x
x x
y
Dấu bằng xảy ra khi
2
π
=
x
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1
Lại có sinx ≥ 0 , cosx ≤ 1 nên = sin − cos ≥− cos ≥−1,∀ ∈0;2
π
x x
x x
y
Dấu bằng xảy ra khi x= 0
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là − 1