tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề phương trình mũ, logarit

tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán 12 chuyên đề phương trình mũ, logarit tham khảo

Trang 1

L/H mua file word: 016338.222.55 – đề thi thử quốc gia 2018, đề kiểm tra 15p, đề kiểm tra 1 tiết,

tài liệu ôn chuyên đề 10-11-12, sách tham khảo

CHUYÊN ĐỀ 5 - PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

1 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Phương pháp chung:

- Đưa về cùng một cơ số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích,…

- Lôgarit hóa, mũ hóa

- Sử dụng bất đẳng thức, tính đơn điệu của hàm số, định lý Lagrange,…

Phương trình mũ và lôgarit

- Dạng: a x b a 0,a1

Nếu b0, phương trình vô nghiệm

Nếu b0, phương trình có nghiệm duy nhất xloga b

Nếu a1: loga f x loga g x  0 f x g x 

Nếu 0 a 1: loga f x loga g x  f x g x 0

Trang 2

Hệ phương trình mũ và lôgarit

Việc giải hệ phương trình mũ và lôgarit về cơ bản cũng giống như giải các hệ phương trình đại số như rút thế, cộng đại số, đặt ẩn phụ, biến đổi tích, đánh giá, tính chất đơn điệu của hàm số, … phối hợp với các biến đổi về biểu thức mũ và lôgarit, mũ hóa, lôgarit hóa

3.2x 1

Trang 3

a) Phương trình: 2cos 72  x 2cos36 x 3

Vì: 2cos 72 2cos36 2sin 36 cos36 cos 72 1

t e

   suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 1;0 và  0;1

Vì u v, cùng dấu nên u v, cùng thuộc một khoảng 1;0 hoặc  0;1 do đó PT:

Trang 4

Vậy f x 0 có tối đa 2 nghiệm mà f  0  f  1 0 nên tập nghiệm là S  0;1

Bài toán 5.5: Giải các phương trình sau:

a) 5x2x 2x 1 4 5x x 4x 1 52x

4x 2x 2 2x 1 sin 2x    y 1 2 0

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện x0 Phương trình tương đương với

  log 2 log 2  log 2  log 2  

Trang 5

Trang 6

- Nếu cos 2x0, lập luận tương tự trường hợp trên: loại

- Nếu cos 2x0 thì PT được thỏa mãn và phương trình đã cho có nghiệm ,

Trang 7

Gọi a là nghiệm của phương trình trên thì có 3a2a 6a 5a

Xét hàm số f t   t 1a t a, khi đó f t  liên tục trên  2;5 và

Vì c thuộc  2;5 nên a0 hoặc a1

Thử lại đúng, vậy phương trình có 2 nghiệm là x0 và x1

Bài toán 5.8: Giải các phương trình:

3

Trang 8

3 2

3 log 4

20

3

x x

a) log1x 2x logx2 2 x0 b) log 3 2 1 log 2 3 1

0

x x

Trang 9

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x1

Bài toán 5.11: Giải các phương trình

Trang 10

      nghịch biến trên ¡ nên y1 là

nghiệm duy nhất, do đó PT cho có nghiệm x212

log x x  1 log x x  1 log x x 1

b) log2log log3 4x log4log log3 2x 

Trang 11

và 5x  1 1 nên phương trình trên vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x0,x1

Do đó f là hàm số đồng biến và f  11 0 nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x11

Trang 12

f x      do đó x0 là điểm cực tiểu của hàm số

Suy ra f x  f x 0 0 nên PT 4x1 2x1x vô nghiệm

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x0

Trang 13

nên VT > VP (loại), xét x2 thì VT < VP (loại)

Vậy PT có nghiệm duy nhất x2

Trang 14

- Nếu x1 thì bất đẳng thức ở trên đổi chiều: không thỏa mãn

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm x1

g  nên g x   0 x 0, do đó g x  cùng dấu với x

Suy ra bất phương trình đã cho tương đương với

1

x

x x

Vậy tập nghiệm của BPT là 0;1

Bài toán 5.18: Giải các bất phương trình

2  ) b) Đặt t2x2 2x 1,t0 Bất phương trình 2 4

2 0

t t

Trang 15

Hướng dẫn giải

a) Đặt t2 ,x t0 thì BPT: 8 2   t t2 5 2t

2 2

log 2

0

31

log 20

31

2 hay

x x

Trang 16

Mặt khác VP 21 tanx 2 nên dấu = đồng thời xảy ra  t tanx  0 x k,k¢

Bài toán 5.21: Giải các bất phương trình:

x x

Trang 17

;12

   b) ĐK: x0 Xét x4 thì log2x2 còn 6 x 2 (loại)

Xét 0 x 4 thì log2x  2 6 x nên BPT nghiệm đúng

Trang 18

Do đó x1  f x 0 Tương tự khi 0 x 1 thì f' x 0 nên f x  nghịch biến:

12

Trang 19

b) ĐK: x y, 0, ,x y1 Hệ tương đương:

2 2

Trang 20

  hay log5xlog 155  x 1 hay x15

Vậy hệ PT đã cho có nghiệm là     x y;  1;1 , 15;15

Bài toán 5.26: Giải các hệ phương trình:

log 1 3sin log 3cos

log 1 3cos log 3sin

 nên f đồng biến trên 0;1, do đó PT   u v t

Ta có PT: log 1 32  t2log 33 t , giải ra nghiệm duy nhất:

Trang 21

Trang 22

Nếu a là nghiệm thì a cũng là nghiệm nên chỉ cần xét a0

Xét hàm số f x  x t xt,x1 với số thực t dương tùy ý

f x tx x , do x1 nên 1x2t 0 suy ra hàm số này đồng biến trên 1;

Do đó, ta được bất đẳng thức sau: 2a2a 3a 3a 5a 5a và dấu đẳng thức chỉ xảy ra khi a0 Suy ra 2 2 a 2a 3 3a3a 5 5a5a

Đẳng thức phải xảy ra nên a0 hay 2x  y 0 2x y

Thay vào phương trình (2) ta có:

2x x 3x   3 2 0 x 3x 3x 1 0

Trang 23

Trang 24

Do đó nếu  x y, là nghiệm của hệ thì x y nên có phương trình 2  

x  x x  Vì vế trái là hàm đồng biến và x0 thỏa mãn Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là x y 0

Trang 25

- Nếu xy1 thì 1

y x

Trang 26

Vế trái là hàm số nghịch biến và t1 thỏa mãn nên phương trình có nghiệm duy nhất là t1, suy ra

b) Điều kiện 0 x y, 3,y1,logy3x0,log3y x0

 2 :sin  log log

Trang 27

Nếu x0 thì y0,z0 Đặt  

1

t t

1

y x

y

x z

z

z x

Trang 28

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là 0;0;0 , 1;1;1  

Bài toán 5.33: Tìm các nghiệm dương của hệ phương trình:

22

Trang 29

Đây chính là nghiệm của hệ phương trình đã cho

Bài toán 5.35: Cho x là nghiệm của PT: 3 2 2  2 1 3

Trang 30

Trang 31

Xét hàm số tương ứng với PT (1) là f x  x cos ,x D¡

Ta có f ' x  1 sinx 0, x nên f là hàm đồng biến

Mà f 0 0,f 1 0 và f là hàm liên tục nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất  0;1 Chứng minh tương tự ta có 3 nghiệm   , ,  0;1

Trang 32

y x e

 , t 1, ta chứng minh g t 0 có hai nghiệm trong khoảng 1;

Bài toán 5.39: Tìm điều kiện để phương trình:

a) log32x log23x 1 2m 1 0 có nghiệm thuộc đoạn 1;3 3

 

Trang 33

b) log 3x3log3 ax có nghiệm duy nhất

f t  t t  t f t   t nên f đồng biến trên  1; 2

Điều kiện có nghiệm: f  1 2m 2 f  2

Điều kiện có nghiệm duy nhất: a0 hay a12

Bài toán 5.40: Tìm điều kiện để bất phương trình:

Trang 34

   nên đồng biến trên 0; và f 2 0

Do đó, bất phương trình tương đương:

2 2

Trang 35

Do đó y1 và x0: nghiệm duy nhất Vậy m0

Bài toán 5.42: Tìm m để hệ sau có nghiệm:

Trang 36

a) Lôgarit hóa Kết quả x1 hoặc x 1 log 32

b) Lôgarit hóa Kết quả  5 

5

2 log 3 44log 3 7

Trang 37

Bài tập 5.4: Giải các phương trình:

a) 3 cosx 2 cosx  cosx b) cot 2x tan 2x 2 tan 2x1

b) Kết quả tan 2x   2 1 , từ đó suy ra nghiệm x

a) Đưa về cơ số 2 Kết quả x4

b) Đưa về cơ số 2 Kết quả x3

a) log log4 2xlog log2 4x2 b) log 16 log 64x2  2x 3

¢

Trang 38

Bài tập 5.8: Giải các bất phương trình:

Bài tập 5.11: Tìm điều kiện m để phương trình:

a) 9sin2x 9cos2x m có nghiệm

Trang 39

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	888,14 KB