DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)

DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)DỜI HÌNH PHÉP BIẾN HÌNH (Lý thuyết + Bài tập vận dụng)

PHÉP BIẾN HÌNH

A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Định nghĩa

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất '

M của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng

Ta kí hiệu phép biến hình là F và viết F M M' hay M'F M , khi đó M' được gọi

là ảnh của điểm M qua phép biến hình F

Nếu H là một hình nào đó thì hình H'M M'| 'F M M H ,   được gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình F, ta viết H'F H 

Vậy H'F H     M H M'F M H'

Phép biến hình biến mỗi điểm M của mặt thành chính nó được gọi là phép đồng nhất

PHÉP TỊNH TIẾN

A CHUẨN KIẾN THỨC A.TÓM TẮT GIÁO KHOA

1 Định nghĩa

Trong mặt phẳng cho vectơ vr Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho MMuuuuur'vr được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v

r

Phép tịnh tiến theo vectơ vr được kí hiệu là T vr

Nhận xét: T M0r M

2 Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M x y ; và vr  a b;

 Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

 Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng

đã cho

 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó

 Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

 Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP TỊNH TIẾN

ABCD Do AD BCuuur uuur nên T BCuuur A D, gọi E là điểm

đối xứng với B qua C , khi đó CE BCuuuruuur

B

Suy ra T BCuuur C E Vậy ảnh của tam giác ABC là tam giác DCE

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vr   2; 3 Hãy tìm ảnh của các điểm

1; 1 ,  4; 3

A  B qua phép tịnh tiến theo vectơ v

r

Tương tự ta có ảnh của B là điểm B' 2; 6 

Ví dụ 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho vr 1; 3 và đường thẳng d có phương trình 2x3y 5 0 Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến

Cách 1 Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Lấy điểm M x y ; tùy ý thuộc d, ta có 2x3y 5 0 * 

Thay vào (*) ta được phương trình 2x' 1  3 y' 3    5 0 2 ' 3 ' 6 0x  y 

Vậy ảnh của d là đường thẳng ' : 2d x3y 6 0.Đăng ký mua file word

trọn bộ chuyên đề khối 10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Vậy ảnh của d là đường thẳng ' : 2d x3y 6 0

Cách 3 Để viết phương trình d' ta lấy hai điểm phân biệt M N thuộc , d, tìm tọa độ các ảnh M N tương ứng của chúng qua ', ' T vr Khi đó d' đi qua hai điểm M' và N'

Cụ thể: Lấy M1;1 ,  N 2; 3 thuộc d, khi đó tọa độ các ảnh tương ứng là

Bài toán 02: XÁC ĐỊNH PHÉP TỊNH TIẾN KHI BIẾT ẢNH VÀ TẠO ẢNH

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,cho đường thẳng : 3 d x y  9 0 Tìm phép tịnh

tiến theo vec tơ vr có giá song song với Oy biến d thành d' đi qua điểm A 1;1

Đặt vr  a b; , lấy điểm M x y ; tùy ý thuộc d, ta có d: 2x3y 3 0 * 

Từ giả thiết suy ra  2a 3b   3 5 2a3b 8

Vec tơ pháp tuyến của đường thẳng d là nr 2; 3 suy ra VTCP ur  3; 2

Lưu ý: Ta thường dùng kết quả: Nếu T N vr M và N H thì M H' trong đó

 H' T vr   H và kết hợp với M thuộc hình  K

(trong giả thiết) suy ra M   H'  K

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho đường tròn tâm O, bán kính R và hai điểm phân biệt ,C D nằm ngoài

 O Hãy dựng dây cung AB của đường tròn  O sao cho ABCD là hình bình hành

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được dây cung ABthỏa mãn yêu cầu

bài toán

Do ABCD là hình bình hành nên AB DCuuur uuur T CDuuur A B

Nhưng A O  B  O' T DCuuuur   O Vậy B vừa thuộc  O và

 O' nên B chính là giao điểm của  O và  O'

Cách dựng:

- Dựng đường tròn  O' là ảnh của đường tròn  O qua T DCuuuur

- Dựng giao điểm B của  O và  O'

- Dựng đường thẳng qua B và song song với CD cắt  O tại A

Dây cung AB là dây cung thỏa yêu cầu bài toán

Chứng minh: Từ cách dựng ta có T DCuuuur A  B AB DC ABCD

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

- Nếu CD2R thì bài toán vô nghiệm

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Dựng đường thẳng d song song với BC, cắt hai cạnh ,

AB AC lần lượt tại M N sao cho , AM CN

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được đường thẳng d thỏa

mãn bài toán Từ M dựng đường thẳng song song với

AC cắt BC tại P, khi đó MNCP là hình bình hành

nên CNPM Lại có AM CN suy ra MPMA, từ

đó ta có AP là phân giác trong của góc A

Cách dựng:

- Dựng phân giác trong AP của góc A

- Dựng đường thẳng đi qua P song song với AC

Biện luận: Bài toán có một nghiệm hình

Ví dụ 3 Cho hai đường tròn  O1 và  O2 cắt nhau tại ,A B Dựng đường thẳng d đi qua A cắt các đường tròn tại các điểm thứ hai M N sao cho , MN2l cho trước

N

Giả sử đã dựng được đường thẳng d đi qua A và cắt

các đường tròn    O1 , O2 tương ứng tại các điểm

Ví dụ 1 Cho hai điểm phân biệt ,B C cố định trên đường tròn  O tâm O Điểm A di

động trên  O Chứng minh khi A di động trên  O thì trực tâm của tam giác ABC di

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định, ·BAC  không đổi và BCuuur vr không đổi Tìm tập hợp các điểm B C ,

không đổi Mặt khác BCuuur có phương không đổi nên OB OCuuur uuur, cũng có phương không đổi

Đặt OB v OCuuur uur uuur1, vuur2 không đổi , thì    

 

  ảnh của ,2 sin

BC A

 

  qua T vuur 1, và tập hợp điểm C là đường tròn 2;

2 sin

BC A

  ảnh của ,2 sin

BC A

1 Định nghĩa:

Cho đường thẳng d Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M không thuộc d thành điểm

M sao cho d là đường trung trực của đoạn MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d, hay còn gọi là phép đối xứng trục

d

Phép đối xứng trục có trục là đường thẳng d được

kí hiệu là Ð d Như vậy Ð M d M'IMuuur IMuuuur'

với I là hình chiếu vuông góc của M trên d

Nếu Ð d   H   H thì d được gọi là trục đối xứng

của hình  H

2 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục:

Trong mặt phẳng Oxy , với mỗi điểm M x y ; , gọi M x y' '; 'Ð M d 

 Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

 Biến một đường thẳng thành đường thẳng

 Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho

 Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

 Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA ĐỐI XỨNG TRỤC

Phương pháp:

Để xác định ảnh  H' của hình  H qua phép đối xứng trục ta có thể dùng một trong các cách sau:

d I

M

M'

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

A.M' 5; 7 B M' 5; 7  C M'5; 7 D M' 5; 7  

Gọi I  d d1 thì tọa độ điểm I là nghiệm của hệ 2 4 0 2  

Lấy M 3; 0 d1 Đường thẳng d2 đi qua M vuông góc với d có phương trình

Đường thẳng d3 đi qua J và vuông góc với d có phương trình x y  2 0

Gọi J0 d3d thì tọa độ của điểm J0 là nghiệm của hệ

Gọi J'Ð J d  thì J0 là trung điểm của JJ nên ' J' 3;1 

Gọi  C' Ð d   C thì 'J là tâm của  C và bán kính của '  C là '' R  R 2 Vậy

Các ví dụ

Ví dụ 1 Dựng hình vuông ABCD biết hai đỉnh A và C nằm trên đường thẳng d và 1

hai đỉnh B D lần lượt thuộc hai đường thẳng , d d2, 3

Lời giải:

Phân tích: Giả sử đã dựng được hình

vuông ABCD, thỏa các điều kiện của bài

- Dựng đường thẳng qua Dvuông góc với d1 tại O và cắt d2tại B

- Dựng đường tròn tâm O đường kính BD cắt d tại ,1 A C (Kí hiệu các điểm , A C

theo thứ tự để tạo thành tứ giác ABCD)

Chứng minh: Từ cách dựng suy ra ABCD là hình vuông

Nếu d2'Pd3 thì ví dụ đã cho vô nghiệm hình

Trường hợp 2 d2Pd3, khi đó

Nếu d1 song song và cách đều d2 và d3thì có vô số nghiệm hình (h2)

Nếu d hợp với 1 d d một góc 2, 3 45 thì có một nghiệm hình ( 3)

Nếu d1 song song và không cách đều d d2, 3 hoặc d1 không hợp d d2, 3 một góc 45 thì ví

dụ đã cho vô nghiệm hình

Ví dụ 2 Cho hai đường tròn    C , C' có bán kính khác nhau và đường thẳng d Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh ,A C lần lượt nằm trên    C , C' và hai đỉnh còn lại nằm trên d

Phân tích:

Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa

mãn đề bài Ta thấy hai đỉnh ,B D d nên hình

vuông hoàn toàn xác định khi biết C Ta có

,

A C đối xứng qua d nên C thuộc đường tròn

 C , ảnh của đường tròn 1  C qua Ð d Mặt

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

-

- Từ điểm C thuộc    C1  C' dựng điểm Ađối xứng với C qua d Gọi IACd

- Lấy trên d hai điểm BD sao cho IB ID IA 

Khi đó ABCD là hình vuông cần dựng

(C)

d

D

I C

A

B

Số nghiệm hình bằng số giao điểm của  C1 và  C'

Bài toán 03: DÙNG PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP HỢP ĐIỂM Phương pháp:

Sử dụng tính chất : Nếu N Ð M d  với M di động trên hình  H thì N di động trên hình  H' - ảnh của hình  H qua phép đối xứng trục d

Các ví dụ

Ví dụ 1 Trên đường tròn O R,  cho hai điểm cố định A B Đường tròn , O R'; ' tiếp xúc ngoài với  O tại A Một điểm M di động trên  O MA cắt  O' tại điểm thứ hai '

A Qua A' kẻ đường thẳng song song với AB cắt MB tại B'

Tìm quỹ tích điểm B'

Lời giải:

Gọi CA B' ' O' Vẽ tiếp tuyến chung

của  O và  O' tại điểm A Ta có

thang cân Gọi d là trục đối xứng của hình

thang này thì Ð C d B' mà C di động trên

đường tròn  O nên '' B di động trên

đường tròn  O'' ảnh của  O' qua Ð d

d

O''

O x

x'

A

B O'

M

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp I, P là một điểm nằm trong tam giác Gọi A B C', ', ' là các điểm đối xứng với P lần lượt đối xứng qua IA IB IC , ,Chứng minh các đường thẳng AA BB CC đồng quy ', ', '

Lời giải:

Giả sử điểm P nằm trong tam giác IAB Gọi P P P 1, 2, 3

lần lượt đối xứng với P qua các cạnh BC CA AB, , Ta

sẽ chứng minh AA BB CC đồng quy tại tâm đường ', ', '

tròn ngoại tiếp tam giác P P P 1 2 3

Hiển nhiên ta có AP2 AP3 vậy để chứng minh AA' là

trung trực của P P2 3 ta cần chứng minh · ·

Tương tự BB CC lần lượt là trung trực của ', ' P P1 3 và

1 2

P P nên chúng đồng quy tại tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác P P P1 2 3

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

9 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng : d x2y 5 0 Tìm ảnh của d qua phép đối xứng trục có trục là

B

C P

 .Gọi 'I là ảnh của I qua phép đối xứng trục d thì M là

trung điểm của ' ' 18 11;

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

a) Cho đường thẳng d và hai điểm ,A B nằm về một phía của d Xác định điểm M trên

phía đối với d

Gọi A' đối xứng với A qua d thì A' 5;1  Phương

Đẳng thức xảy ra khi B và C là các giao điểm

của B C' ' với Ox và đường phân giác góc phần

tư thứ nhất, từ đó không khó khăn gì ta tìm được

1 Định nghĩa

Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành chính nó và biến mỗi điểm Mkhác I

thành điểm M' sao cho I là trung điểm của MM' được gọi là phép đối xứng tâm I Phép đối xứng tâm I được kí hiệu là Ð I

Vậy Ð M I M'uuurIM IMuuuur' 0r

Nếu Ð I   H  H thì I được gọi là tâm đối xứng của hình  H

2 Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm

1

C

B

Trong mặt phẳng Oxy cho I a b ; , M x y ; , gọi M x y' '; ' là ảnh của M qua phép đối

 Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

 Biến một đường thẳng thành đường thẳng

 Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho

 Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

 Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

B LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC DẠNG BÀI TẬP

Bài toán 01: XÁC ĐỊNH ẢNH CỦA MỘT HÌNH QUA PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM Phương pháp:

Sử dụng biểu thức tọa độ và các tính chất của phép đối xứng tâm

Thay vào  * ta được 2x' 2 2y'   3 0 x' 2 ' 9 0y 

Vậy ảnh của d là đường thẳng ' :d x2y 3 0

Cách 2 Gọi d' là ảnh của d qua phép đối xứng tâm I, thì d' song song hoặc trùng với

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Tọa độ giao điểm của , 'd d với Ox lần lượt là A6; 0 và B10; 0

Do phép đối xứng tâm biến d thành d' và biến trục Ox thành chính nó nên biến giao điểm A của d với Ox thành giao điểm A' của d' với Ox do đó tâm đối xứng là trung điểm của AA' Vậy tâm đỗi xứng là I 2; 0

Bài toán 03: TÌM TÂM ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH

a b

 

  



Vậy I 1;1 là tâm đối xứng của  C

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu một tứ giác có tâm đối xứng thì nó phải là hình bình

hành

Lời giải:

Giả sử tứ giác ABCD có tâm đối xứng là I Vì

qua phép biến hình đỉnh của một đa giác cũng

I A

B

được biến thành đỉnh của đa giác nên đỉnh A có thể được biến thành A B C hay , , D

- Nếu đỉnh A được biến thành chính nó thì IA IAuuruur   0r I A vô lí

- Nếu A biến thành B (hoặc D ) thì I là trung điểm của AB ( hoăc I là trung điểm của AD ) cũng vô lí

Vậy A được biến thành C, lí luận tương tự thì B chỉ được biến thành D, vì vậy I là trung điểm của hai đường chéo AC và BD nên tứ giác ABCD phải là hình bình hành

Bài toán 04: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN DỰNG HÌNH

A

B

C

- Dựng điểm C Ð B I 

Tam giác ABC là tam giác phải dựng

Chứng minh: Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

khối 10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Dựa vào cách dựng ta có Ilà trung điểm của BCvà 3

Biện luận: Số nghiệm hình bằng số giao điểm của d1 và d2'

Ví dụ 2 Cho hai đường tròn  O và  O' cắt nhau tại hai điểm ,A B vá số a0 Dựng đường thẳng d đi qua A cắt hai đường tròn thành hai dây cung mà hiệu độ dài bằng

Gọi N Ð M A   , O1 Ð A   O , H K lần lượt là trung điểm của , AN và AM, khi đó

Mặt khác I thuộc đường tròn đường kính OO1

nên I là giao điểm của đường tròn đường kính

1

OO với đường tròn ;

2

a O

M'

I B

A

O 1

O' O

  và đường tròn đường kính OO1

Bài toán 05: SỬ DỤNG PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM

Các ví dụ

Ví dụ 1 Cho tam giác ABC và đường tròn  O Trên AB lấy điểm E sao cho

2

BE AE , F là trung điểm của AC và I là đỉnh thứ tư của hình bình hành AEIF Với

mỗi điểm P trên đường tròn  O , ta dựng điểm Q sao cho PAuuur2PBuuur3PCuuur6IQuur Tìm tập hợp điểm Q khi P thay đổi trên  O

A

Q O' E

P

Ví dụ 2 Cho đường tròn  O và dây cung AB cố định, M là một điểm di động trên

 O , M không trùng với A B Hai đường tròn ,    O1 , O2 cùng đi qua M và tiếp xúc với AB tại A và B Gọi N là giao điểm thứ hai của  O1 và  O2 Tìm tập hợp điểm

N khi M di động

Lời giải: Đăng ký mua file word trọn bộ chuyên đề

khối 10,11,12:

HƯỚNG DẪN ĐĂNG KÝ

Soạn tin nhắn “Tôi muốn mua tài liệu”

Gửi đến số điện thoại: 0969.912.851

Gọi I MNAB, ta có IA2 IM IN 1 

2

IB IM IN

Từ  1 và  2 suy ra IA IB nên I là trung điểm của AB

Gọi P là giao điểm thứ hai của MN với đường tròn  O

O 2

M

O

B A

O 1

O'

Vậy tập hợp điểm N là đường tròn  O' ảnh của đường tròn  O qua phép đối xứng tâm I

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

21 Tìm ảnh của đường thẳng d: 3x4y 5 0 qua phép đối xứng tâm I1; 2

1 Định nghĩa:

Cho điểm O và góc lượng giác  Phép biến hình biến O thành

chính nó và biến mỗi điểm M khác O thành điểm M' sao cho

'

OM OM và góc lượng giác OM OM; '  được gọi là phép

quay tâm O,  được gọi là góc quay

Phép quay tâm O góc quay  được kí hiệu là QO;

2 Biểu thức tọa độ của phép quay:

Trong mặt phẳng Oxy , giả sử M x y ; và M x y' '; 'QO, M thì

 Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì

 Biến một đường thẳng thành đường thẳng

 Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn đã cho

 Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho

 Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính

Lưu ý:

α O

M M'

d' d

α

α

I

O