chu de CAN BAC HAI CAN BAC BA VA HAM SO BAC NHAT Y = AX + B

CHỦ ĐỀ I: CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC BADạng 1: So sánhPhương pháp: Áp dụng định lí so sánh hai CBHSH và các tính chất của bất đẳng thức+ Định lí so sánh hai CBHSH: Với a ≥ 0 và b ≥ 0, ta có: a < b  + Tính chất của bất đẳng thức:Tính chất 1: a > b  a + c > b + c (cộng cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số)Tính chất 2: a > b  ac > bc (với c > 0, nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương)a > b  ac < bc (với c < 0, nhân cả hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm)Tính chất: Với mọi số a, b thuộc R, ta có: +) +) Với a ≥ b hoặc với k > 0Áp dụng bất đẳng thức Côsi: Với hai số a, b không âm, ta có: . Dấu “=” xảy ra  a = b(trung bình cộng lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân)Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki:(ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2). Xảy ra dấu “=” khi Bất đẳng thức . Xảy ra dấu “=” khi xy ≥ 0Tính chất: Với A > 0 và B > 0, ta có: A > B  A2 > B2Với mọi A, B ta có: Sử dụng một số công thức biến đổi căn thức bậc hai1) với B ≥ 0 = với B ≥ 0 và A ≥ 0......

Đại số: ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN 9

b) Đưa thừa số vào trong dấu căn ở hai số x và y rồi áp dụng định lí so sánh hai CBHSH hai lần

Lưu ý: Với những biểu thức vừa chứa căn thức bậc hai, vừa chứa phân thức, vừa có

phép chia để tìm đkxđ cho biểu thức đó ta phải đưa ra được hệ điều kiện để đồng

thời căn thức bậc hai, phân thức và phép chia trong biểu thức đó có nghĩa và giải

hệ điều kiện đó

Một số dạng biểu thức thường gặp 1) A x  có nghĩa  A(x) ≥ 0

HD: Tìm điều kiện để A có nghĩa

Bước 1: Cho biểu thức dưới dấu căn lớn hơn hoặc bằng 0 (A  0)

Bước 2: Giải bất phương trình bậc nhất



 ; c) 4x 3 ; d) 1

1 2x ; e) 12

xHD:

Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Phương pháp: * Sử dụng các công thức biến đổi căn thức

1) A2 A = A với A ≥ 0

A với A < 0

B Rút gọn biểu thức đại số (đơn giản)

Bài 8: Rút gọn các biểu thức sau:

3 2

C Rút gọn biểu thức đại số tổng hợp và các bài toán liên quan

a) HD: Để rút gọn một biểu thức ta thường làm theo các bước

Bước 1: Phân tích tất cả các mẫu thức của các phân thức có trong biểu thức thành nhân tử

Khi rút gọn phân thức thì tử và mẫu của phân thức phải ở dạng tích

Bổ sung: +) Ôn tập các kiến thức về cộng, trừ, nhân, chia phân thức và phân tích đa thức thành nhân tử đã học ở lớp 8

+) Bài toán rút gọn có hai biến các bước làm và phương pháp như một biến

+) Bài toán rút gọn có chứa dấu ngoặc thực hiện trong ngoặc trước ngoài ngoặc sau, có nhiều ngoặc thì thực hiện đồng thời trong các ngoặc

b) Các bài tập kết hợp với bài toán rút gọn

Bài toán 1: Tính giá trị của biểu thức tại giá trị của biến cho trước

Bài toán 2: Giải phương trình ( tìm giá trị của biến để biểu thức nhận một giá trị nào đó)

Bài toán 3: Giải bất phương trình (tìm giá trị của biểu thức để biểu thức lớn (nhỏ)

… hơn một giá trị nào đó)

Bài toán 4: Chứng minh biểu thức luôn lớn (nhỏ) … hơn một giá trị nào đó.

Bài toán 5: Tìm giá trị nguyên

Bài toán 6: Tìm giá trị Min, Max của biểu thức

CÁCH LÀM VÀ TRÌNH BÀY CHO TỪNG LOẠI BÀI VÀ LỖI SAI

THƯỜNG MẮC PHẢI

Bài toán 1: Khi thay giá trị của biến vào biểu thức rút gọn ta phải xét giá trị đó có thoả mãn ĐKXĐ không

Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Đối chiếu giá trị cho trước của biến với ĐKXĐ

Bước 3: +) Nếu giá trị cho trước của biến thoả mãn điều kiện ta thay giá trị cho trước của biến đó vào biểu thức rút rồi thực hiện phép tính và kết luận

+) Nếu giá trị cho trước của biến không thoả mãn điều kiện cho trước của biến thì kết luận tại giá trị đó của biến thì giá trị của biểu thức đã cho không xác định

Bài toán 2: Tìm được giá trị của biến phải đối chiếu với ĐKXĐ, bước khử mẫu dùng dấu suy ra “”

Bài toán 3: Hướng dẫn cách trình bày qua bài tập cụ thể

Ví dụ bài toán: Bài 1: (2điểm)

Bước 4: Kết luận đối chiếu với điều kiện

Vậy x > 1

PHÂN BIỆT BÀI TOÁN TÌM VỚI BÀI TOÁN CHỨNG MINH

Bài toán 4: Chứng minh biểu thức luôn lớn (nhỏ) … hơn một giá trị nào đó.

Cách trình bày một bài toán chứng minh là dùng lí lẽ lập luận để chỉ ra nó luôn đúng còn bài toán tìm là cho rồi giải để tìm ra giá trị của biến thoả mãn đề bài.

x x

+) Nếu chứng minh lớn (nhỏ) … 0 ta không cần xét hiệu

+) Có trường hợp ta không cần xét hiệu

Lưu ý: Nhớ một số tính chất

a 2 ≥ 0 với mọi a

Bài toán 5: Tìm giá trị nguyên

Dạng 1: Tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên

a x +b A=

Bước 3: Lập luận: +) Với x nguyên mà x vô tỉ ( x không là số chính phương)

=> A vô tỉ (loại)

+) Với x nguyên mà x nguyên ( x là số chính phương)

A nguyên  k

m x + n nguyên  k m x + n  m x + nƯ(k) = ±1; ±k 

Lưu ý: Xét giá trị biểu thức m x + nvới điều kiện x ≥ 0 … để loại bớt các giá trị ước

Xét xem k là số nguyên tố hay hợp số

Bước 4: Lập bảng giá trị tìm x (nếu có nhiều ước số của K)

Bước 5: +) Đối chiếu các giá trị tìm được của x với ĐKXĐ và x  Z

+) Trả lời bài toán

Đề bài yêu cầu tìm giá trị nguyên của biểu thức khi đó, phải làm thêm bước tính giá trị của biểu thức A.

TH2: Nếu a không chia hết cho m

a x +b

A=

m x +n

Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Tìm BCNN(a;m) : a = k và tìm biểu thức phụ kA

Bước 3: Tìm x nguyên để biểu thức kA nguyên làm tương tự như dạng bài trên

Bước 4: Thử lại: Tính giá trị của A ứng với những giá trị tìm được của x và xét xem biểu thức A nhận giá trị nguyên hay không nguyên và chọn giá trị của biến x

Bước 5: Kết luận

Dạng 2: Tìm x để biểu thức nhận giá trị nguyên

a x +b A=

m x +n hoặc 1 1

2 2

1 2

a x+b x +c A=

a x+b x +c Bước 1: Tìm ĐKXĐ

Bước 2: Tìm giá trị nguyên của biểu thức A trước bằng cách:

+) Chứng minh k A K 

+) A  Z

Suy ra: Các giá trị của biểu thức A

Bước 3: Cho biểu thức A nhận lần lượt các giá trị đó và giải các phương trình nhận được suy ra giá trị của biến

Bước 4: Kết luận (đối chiếu với ĐKXĐ)

…

Bài toán 6: Tìm giá trị Min, Max của biểu thức

Dạng 1: A= a x +b

m x +n Bước 1: Làm như bước 1 của bài toán tìm giá trị nguyên

Dạng 2: A= m x +n

ax+b x +c ( a ≠ 0) Bước 1: Biến đổi A

Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai:  ≥ 0  k ≤ A ≤ K

Từ đó suy ra: Min; Max

a'x +b'x+c' cách làm tương tự như trên

Dạng 3: Dạng đặc biệt của dạng trên:

 2

ax+b x+c A=

m x +n m x +n

Từ đó suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu a < 0 hoặc a > 0)

Dạng 4: Tìm Min, Max bằng cách áp dụng bất đẳng thức Côsi

m x +n ( m x > 0; m x +n>0 với mọi x thoả mãn

Từ đó suy ra Min (Max)

Một số dạng bài tìm Min; Max … khác cần ôn tập

Bài 9: Cho biểu thức: A 2 x 9 x 3 2 x 1

x 5 x 6 x 2 3 x

    với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9a) Rút gọn biểu thức A; b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 961;

c) Tìm x để A > 1; d) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

x với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9

b) Ta thấy x = 961 thoả mãn điều kiện x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9

 A = 8

7 (Đối chiếu điều kiện thoả mãn thay, không thoả mãn kết luận tại giá trị

của biến đã cho giá trị của biểu thức không xác định)

x với x ≥ 0; x ≠ 1b) +) Tính x

c) 0 < x < 1

Nhận xét: Một phân thức có tử (mẫu) không âm để phân thức đó nhận giá trị dương

khi và chỉ khi tử (mẫu) khác 0 và mẫu dương (tử dương)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P; d) Với a > 1; hãy so sánh P và P

c) Tính giá trị của M khi x = 3 + 2 2

d) Chứng minh rằng M > – 1 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 1

Bài 16: Cho biểu thức:

c) Tính giá trị của P khi x = 3 + 2 2

e) Chứng minh rằng P >  1 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 1

B i 17 ài 17 : Cho biểu thức:

9 2 7



c) Tìm x để B = 16; d) Tìm x để B > 0

Bài 18: Cho biểu thức: x x 3 2 x 3 x 3

b) Tính giá trị của M khi x thoả mãn: x – 3 x + 2 = 0

Bài 20: Cho biểu thức: Q 1 a a3 : 1

Bài 21: Cho biểu thức A = x 9 x 3 x 1

x 2 x 3 1 x x 3

    với x ≥ 0 và x ≠ 1a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm m để có x thoả mãn A x 3 m 

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M và giá trị tương ứng của x

Bài 24: Cho biểu thức: 2 x 4  x 8

b) Tìm x để giá trị của B là số nguyên

Bài 25: Cho biểu thức: P 10 x 2 x 3 x 1

x 3 x 4 x 4 1 x

    với x ≥ 0 và x ≠ 1a) Rút gọn biểu thức P; b) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 26: Cho biểu thức: P 15 x 11 3 x 2 2 x 3

    với x ≥ 0 và x ≠ 1a) Rút gọn biểu thức P;

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A và giá trị tương ứng của x

Bài 28: Cho biểu thức: A 4 x x 2 x: 2

Bài 29: Cho biểu thức: P a 2 5 1

Bài 31: Cho biểu thức: B 2 1 a : 2 2 1

Bài 32: Cho biểu thức: A x 1 2 x 2 5 x

a) Rút gọn biểu thức A; b) Tìm giá trị của a để A A

Bài 37: Cho biểu thức

b) Tìm các giá trị nguyên của a để A nhận giá trị nguyên dương

Bài 39: Cho biểu thức

b) Tính giá trị của biểu thức P khi a = 28 6 3 ;

b) Tính giá trị của P khi x = 2 3

2

 ; c) Tìm x để  x 1 P x 3   

Bài 42: Cho biểu thức:

b) Chứng minh rằng P > 0 với mọi x ≥ 0 và x ≠ 1

Dạng 4 : Chứng minh giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Phương pháp:

+) Rút gọn biểu thức giá trị của biểu thức nhận được là một số cụ thể

+) Kết luận giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến

Bài 44: Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị

a) Tìm điều kiện của a để Q có nghĩa

b) Với điều kiện của a ở trên Chứng minh rằng giá trị của Q không phụ thuộcvào giá trị của a

+) Sử dụng một số công thức biến đổi căn thức

Bài 49: Phân tích thành nhân tử

a) 1 3 5 15; b) 10 14 15 21;c) 35 14 15 6; d) 3 18 3 8

CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC CẦN NHỚ

Với x ≥ 0 và y ≥ 0, ta có:

1) x 2 xy y   x y2

2) x 2 xy y   x y23) x – y =  x y   x y

7) x x 1  x 1 x    x 1 

CHỦ ĐỀ II: HÀM SỐ BẬC NHẤT

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (d) (a ≠ 0)

Phương pháp giải:

Bước 1: Xác định hai điểm phân biệt A, B thuộc (d)

Cho x = 0  y = a.0 + b = b, ta được A(0; b)

Từ đó suy ra giá trị của tham số

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để đồ thị hàm số đi qua điểm A(x 0 ; y 0 ) cho trước.

Phương pháp giải: Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua điểm A(x0; y0)  x = x0; y = y0

là nghiệm của phương trình y = ax + b.

Phương pháp giải: Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua gốc toạ độ  b = 0

Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x0  ax0 + b = 0

Đồ thị hàm số y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ y0  a.0 + b = y0

b = y0 Từ đó suy ra giá trị của tham số

Dạng 6: Tìm điều kiện của tham số để (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’; cắt nhau, song song với nhau, trùng nhau, cắt nhau tại một điểm trên trục tung, cắt nhau tại một điểm trên trục hoành, vuông góc với nhau.

4 (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục tung  a a '

5 (d) và (d’) cắt nhau tại một điểm trên trục hoành:

+) Giao của (d) với Ox: A b;0

A ;0 d 'a

Bước 1: Tìm toạ độ điểm A;

Bước 2: Thay toạ độ điểm A vào phương trình y = ax + b, từ đó tìm giá trị của

tham số

Dạng 8: Tìm toạ độ giao điểm của (d): y = ax + b cắt (d’): y = a’x + b’

Phương pháp giải:

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm và giải phương trình này

Suy ra hoành độ giao điểm

Bước 2: Thay hoành độ giao điểm tìm được vào phương trình của (d) hoặc

(d’) để tìm tung độ giao điểm

Bước 3: Kết luận

Cách khác: Lập hệ phương trình (học sau)

Dạng 9: Tìm điều kiện của tham số để ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm của hai trong ba đường thẳng giả sử là A(x0; y0)

Bước 2: Thay toạ độ giao điểm vào phương trình còn lại

Từ đó suy ra giá trị của tham số

2 Lập phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A(x0; y0) và có hệ số góc k(hoặc song song với đường thẳng (d’): y = kx + m hoặc vuông góc với đường thẳng(d’): y = a’x + b’).

a) Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = ax + b

(d) có hệ số góc là k => a = k Ta có phương trình: y = kx + b

(d) đi qua điểm A(x0; y0)  y0 = kx0 + b

 b = y0 – kx0Vậy phương trình cần tìm là: y = kx+ y 0 – kx0

b) Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = ax + b

 b = y0 – kx0Vậy phương trình cần tìm là: y = kx+ y 0 – kx0

c) Gọi phương trình của đường thẳng (d) cần tìm có dạng: y = ax + b

   d  d'  a.a '1 => Hệ số a suy ra phương trình đường thẳng (d)

(d) đi qua điểm A(x0; y0) => Hệ số b

Kết luận: Phương trình cần tìm

Dạng 11: Tìm điểm cố định (chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định)(d):

y = ax + b

Phương pháp giải:

Giả sử A(x0; y0) là điểm cố định mà (d) luôn đi qua với mọi giá trị của tham số

Ta có y0 = ax0 + b với mọi giá trị của tham số

Từ đó suy ra x0 và y0 = ?

Kết luận:

Dạng 12: Toán về đồ thị hàm số có liên quan đến nội dung hình học: Tính khoảng cách, tính diện tích, tính chu vi, tìm điều kiện của tham số thoả mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x1; y1) và B(x2; y2)

 2 12  2 12

AB x  x  y  yCông thức tính toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

Dạng 13: Tìm điều kiện của tham để toạ độ giao điểm của hai đường thẳng (d):

y = ax + b cắt (d’): y = a’x + b’ thoả mãn điều kiện cho trước (nằm trong các góc phần tư, thuộc các trục toạ độ, đối xứng với M(x 0 ; y 0 ) qua các trục toạ độ

hoặc qua gốc toạ độ; cách đều hai trục toạ độ, cách gốc toạ độ một khoảng a , thuộc đồ thị hàm số cho trước, thoả mãn hệ thức cho trước …)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng

Bước 2: Sử dụng điều kiện nằm trong các góc phần tư, trên các trục toạ độ,

đối xứng qua các trục toạ độ, gốc toạ độ … Từ đó suy ra giá trị của tham số

Bài 1: Cho hàm số bậc nhất: y 3 2 x 2   d

a) Hàm số trên là hàm số đồng biến hay nghịch biến trên R ? Vì sao ?

b) Tính giá trị của y khi x 3  2;

c) Tính giá trị của x khi y 8 2 2  ;

d) Xác định hàm số bậc nhất y = ax + b (d’) để đồ thị của nó song song với (d)

và đi qua điểm A 1;3 2 

Bài 3: Cho hàm số y m 1x 2n 3   (1) ( với m, n là các tham số)

a) Với giá trị nào của m thì hàm số (1) là hàm số bậc nhất

b) Với điều kiện của m ở câu a, tìm giá trị của m và n để đồ thị hàm số (1)trùng với đường thẳng y = 2x – 1

c) Cho n = 0, hãy tìm m để đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A(2; 0)

Bài 4: Cho hàm số y = (m – 1)x + m + 1 (1) (với m là tham số)

1 Xác định m để đồ thị hàm số (1):

a) Đi qua gốc toạ độ;

b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 1;

c) Căt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2d) Song song với đường thẳng (d’): y = 2 x + 2

2 Chứng minh rằng đồ thị hàm số (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọigiá trị của m Tìm điểm cố định đó

Bài 5: Cho hàm số y = ax + (3a – 1) (d) với a là tham số

Xác định a để (d):

a) Đi qua điểm M(1; 2)

b) Cắt đường thẳng (d’): y =  2 1 x 2  

c) Khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn nhất;

Bài 6: Cho đường thẳng (d): y 1 m x m 2     (với m là tham số)

Tìm m để:

a) (d) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng 3;

b) (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng – 2;

c) (d); (d1): y = 3x – 2 và (d2): y = 2x + 1 đồng quy

c) (d) cắt (d’’): y = – x + 4 tại một điểm trên trục hoành;

d) (d) cắt (d’’): y = – x + 4 tại một điểm trên trục tung

Bài 8: Cho đường thẳng: y k 1 x k   d (với k là tham số)

1.Tìm k để đường thẳng (d):

a) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 2

b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Song song với đường thẳng (d’): y 3 1 x 3  

d) Cắt đường thẳng (d1): y = 2x – 1 tại điểm A có hoành độ bằng 3

2 Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trịcủa k

Bài 9: Cho đường thẳng (d): y = x + 3a + 5 (với a là tham số)

Tìm a để đường thẳng (d):

a) Đi qua điểm A 2;10 

b) Cắt đường thẳng   : y = 2 – 2x tại điểm B(x; y) thoả mãn: x2 + y2 = 40

Bài 10: Cho đường thẳng (d): ym 2 x n   (với m, n là các tham số m ≠ 2)

Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau:

a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(– 1; 2) và B(3; – 4)

b) Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2 + 2 và cắt trụctung tại điểm có tung độ bằng 1 – 2

Bài 11: Cho hai đường thẳng (d): y = – x + 2m và (d’): y = 2x – (m + 6) với m là

tham số

1 Tìm m để (d) và (d’):

a) Cắt nhau tại một điểm trên trục tung;

b) Cắt nhau tại một điểm trên trục hoành;

c) Cắt nhau tại một điểm thuộc đường thẳng y = 2x + 1;

2 Tìm m để (d) cắt đường thẳng   :y x 2  tại điểm M(x; y) thoả mãn:

x2 + y2 = 6

3 Chứng minh rằng (d) và (d’) luôn cắt nhau tại một điểm thuộc một đường thẳng

cố định với mọi m

Bài 12: a) Cho hai điểm A(1; – 2) và B(– 4; 3) Lập phương trình đường thẳng đi

qua hai điểm A; B

b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm C(– 1; – 4) và song song vớiđường thẳng AB