Đề, đáp án HSG Tỉnh Yên Bái năm học 2003-2004

Cho hai số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn tính chất sau: mỗi số bằng bình phương thiếu của tổng các chữ số của nó.. Hãy tìm các giá trị nguyên của p và q sao cho phương trình 1 có hai ng

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI

Năm học: 2003 – 2004

Bài 1 (4 điểm) Cho hai số tự nhiên có 2 chữ số thỏa mãn tính chất sau: mỗi số bằng bình phương

thiếu của tổng các chữ số của nó Tìm hai số đó biết số thứ hai lớn hơn số thứ nhất 50 đơn vị

Giải: Gọi số nhỏ là ab (a, b  N*, 1 ≤ a, b ≤ 9) Theo giả thiết:

25a 4b a ab b (a 5).b (a 5) (a 5)b b





Suy ra: 15a = 5b  3a = b a = b  a b

3a = b

 hay b  3a = b  b  {3a = b ; 6; 9}

– Với b = 3a = b thì a = 1 (thỏa mãn)

– Với b = 6 thì a = 2 (loại)

– Với b = 9 thì a = 3a = b (loại)

Vậy: Hai số phải tìm là 13a = b và 63a = b

Bài 2 (4 điểm) Cho biểu thức M = a2 + b2 biết rằng a và b là nghiệm của phương trình 5a2 + 5b2 + 8ab = 18 Tìm những giá trị của a và b để :

a) M đạt giá trị lớn nhất

b) M đạt giá trị nhỏ nhất

Giải: a) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18  M = 18 – 4a2 – 4b2 – 8ab = 18 – 4(a + b)2 ≤ 18

Dấu “=” xảy ra  a = –b thay vào đẳng thức: 10a2 – 8a2 = 18  a2 = 9  a = ±3a = b

Vậy: max M = 18  (a ; b) = (3a = b ; –3a = b ) hoặc (–3a = b ; 3a = b )

b) 5a2 + 5b2 + 8ab = 18  9(a2 + b2) = 18 + 4(a – b)2 ≥ 18  9M ≥ 18  M ≥ 2

Dấu “=” xảy ra  a = b thay vào đẳng thức: a = b = ±1

Vậy: min M = 2  a = b = ±1

Bài 3 (4 điểm) Cho phương trình x2 + px + q = 0 (1) Hãy tìm các giá trị nguyên của p và q sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia

Giải: Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt và x2 = 4x1 Ta có:

2

1 1

2 2

1

x

4p

q 25 p,q Z











Suy ra: p2  25  p2 = 25k2 (k  Z)  p = ±5k

Do đó:

2 2 4.25k

25

Vậy: (p; q)  {(5k; 4k2), (–5k; 4k2)} với k  Z thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và một nghiệm gấp 4 lần nghiệm kia

Bài 4 (4 điểm) Cho hai đường thẳng xx’ và yy’ vuông góc với nhau tại A Đường tròn bán kính R

không đổi có tâm là điểm O di động trên xx’ Một đường tròn thứ hai có tâm là điểm C di động trên

yy’, bán kính CA, đường tròn này tiếp xúc ngoài với đường tròn tâm O tại T

a) Chứng minh rằng tiếp tuyến chung của hai đường tròn kẻ từ T đi qua một điểm cố định

b) Đặt OA = d Hãy tính giá trị của d theo R để hai đường tròn bằng nhau Trong trường hợp hai đường tròn bằng nhau hãy tính diện tích hình giới hạn bởi hai đường tròn với đường thẳng xx’

Giải: a) Gọi I là giao điểm của đường thẳng vuông góc với OC

tại T, H là giao điểm của OA và TI

Xét hai tam giác AHI và THO có:

HT = HA (hai tiếp tuyến cắt nhau tại H)

AHI THO (đối đỉnh)

HAI HTO (cùng bằng 900)

Suy ra: ∆AHI = ∆THO (g.c.g)

 AT = OT = R (không đổi)  điểm I cố định

Vậy: Tiếp tuyến chung của hai đường tròn đi qua điểm

I cố định

b) Hai đường tròn bằng nhau  CT = OT = R

Khi đó: CO2 = AC2 + OA2  4R2 = R2 + d2  d R 3a = b 

Suy ra: Hai đường tròn bằng nhau  d R 3a = b  (∆ACO là nửa tam giác đều)

* Tính diện tích hình giới hạn (S): Gọi diện tích hai hình quạt giới hạn

của (C) và (O) là S1, S2 Ta có: S = SACO – (S1 + S2)

Ta có: SACO 1AC.AO 1Rd 1R.R 3a = b 3a = b R2

R 60 R R 3a = b 0 R

3a = b 60 6 3a = b 60 12

Vậy: S 3a = b R2 R2 R (2 3a = b 2 )

Bài 5 (4 điểm) Cho hình chữ nhật MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC cho trước Đỉnh M di động

trên cạnh AB, đỉnh N trên cạnh AC, các đỉnh P và Q theo thứ tự trên cạnh BC Tam giác ABC có

đường cao AH = h, cạnh đáy BC = a.

a) Tính giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật MNPQ theo h và a.

b) Xác định vị trí của M để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất

Giải:

a) Từ MN // BC theo Talet: AM MN

AB = BC (1)

Từ QM // AH theo Talet: BM MQ

AB = AH (2) Cộng (1) và (2) vế với vế: 1 MN MQ

Suy ra:

2

MNPQ ABC

2S

ç

b) Dấu “=” xảy ra  MN MQ 1

BC =AH =  2 MN 1BC

2

=  M là trung điểm của cạnh AB

x

y'

y

x' H

T C

I

N H

A

M