Đề, đáp án HSG Tỉnh Yên Bái năm học 2005-2006

Gọi S là tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức đã cho... Diện tích ∆ABC bằng S.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – HƯỚNG DẪN GIẢI

Năm học: 2005 – 2006

Bài 1 (2 điểm) Cho biểu thức A(x) = (x2 – 4x + 3)2005.(x2 + 4x + 3)2006 Gọi S là tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức đã cho Hãy tính S

Giải: Tổng các hệ số của đa thức sau khi bỏ dấu ngoặc là:

S = A(1) = (1 – 4 + 3)2005(1 + 4 + 3)2006 = 0

Bài 2 (3 điểm) Chứng minh rằng không thể tìm được hai số lẻ mà tổng các bình phương của chúng

bằng bình phương của một số nguyên

Giải: Giả sử hai số lẻ có dạng 2m + 1 và 2n + 1 (m, n  Z) Ta có:

(2m + 1)2 + (2n + 1)2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1 = 4k + 2 (k  Z)

Ta cần chứng minh không có số chính phương nào có dạng 4k + 2 Thật vậy: Xét số nguyên a bất kì, ta có: a = 4q, 4q + 1, 4q + 2, 4q + 3 Khi đó:

(4q)2 = 16q2 có dạng 4k

(4q + 1)2 = 16q2 + 16q + 1 có dạng 4k + 1

(4q + 2)2 = 16q2 + 16q + 4 có dạng 4k

(4q + 3)2 = 16q2 + 24q + 9 có dạng 4k + 1

Do đó: không có số chính phương nào có dạng 4k + 2 hoặc 4k + 3

Vậy: không thể tìm được hai số lẻ mà tổng các bình phương của chúng bằng bình phương của một số nguyên

Bài 3 (5 điểm) Cho a > 0

a a

b) Tính giá trị của a

a

a

Mặt khác ta có:

a

a

b) Từ a) ta có:

1

a 1

a









2



Bài 4 (5 điểm) Cho 4 số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ba bất đẳng thức sau không thể đồng thời

xảy ra:

(a + b)(c + d) < ab + cd (2)

(a + b)cd < (c + d)ab (3)

Cách 1: Đặt A = c + d – a – b > 0, B = ab – ac – ad – bc – bd + cd > 0, C = abc + abd – acd – bcd > 0 Xét phương trình P(x) = (x – a)(x – b)(x – c)(x – d) = 0  x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + abcd = 0

Phương trình P(x) = 0 có các hệ số dương, do đó không thể có nghiệm dương

Theo cách đặt thì phương trình P(x) = 0 lại có 2 nghiệm dương a và b (vô lí)  đpcm

C

ách 2: Giả sử 3 bất đẳng thức trên là đúng

Từ (1) và (2)  (a + b)2 < ab + cd (*)

Từ (2) và (3)  (a + b)2cd < (ab + cd)ab (**)

Từ (*)  a2 + b2 + 2ab < ab + cd  ab + cd > a2 + b2 + 2ab ≥ 2ab + 2ab = 4ab

4ab < ab + cd  cd > 3ab (4)

Từ (**)  4abcd < (ab + cd)ab  4cd < ab + cd  ab < 3cd (5) Từ (4) và (5)  đpcm

Bài 5 (5 điểm) Cho ∆ABC cho các cạnh BC = a, AC = b, AB = c Diện tích ∆ABC bằng S Phân giác

của góc A cắt BC ở D và cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ở E

b) Chứng minh:

c b

a AB

BD





c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC theo a, b, c, S

Giải: a) ΔADB ADB ΔADB CDE (g.g)  AD BD

ΔADB ABD ΔADB ACE (g.g)  AB AE

Từ (1) và (2) suy ra: AD2 = AB.AC – BD.CD

Hay: AB(BC – BD) = AC.BD  AB.BC = AB.BD + AC.BD

 AB.BC = BD(AB + AC)

ΔADB AHD ΔADB AEF (vì có: D F )   AH AD

AD.AE

2R

abc 4S

F

E

C B

A