Đề thi và đáp án môn Toán chuyên đề thi 08072016 DA dethi.TCD.2015 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ...
Trang 1ĐỀ 1:THI HỌC KỲ KHÓA 15
Môn: TOÁN CHUYÊN ĐỀ
(Tg 60 phút SV không sử dụng tài liệu)
Phần 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC
1
(1đ) Giải phương trình: e i
6
5 ( 2
ln + π + π
2
(1đ) Cho hàm
2
x x
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. a/v=−x+y+2xy.
3
2
xy z
f = + − Tính f ' z( ) tại:
; 3 1
; 3
; 2
z = + = + = + nếu có f'(z3)=3−2 3i
4
(2đ) Tính:I x i y dz
i
) 2 (
2 1
0
∫
+
−
= dọc theo: (d):y=2x I =32+i = 23+2i
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z z
z
2
) 3 )(
1 ( C1: z−1=1;C2: z−3 =1 / 1 2. / 2 32
i I b
i I
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e− 2tcos23t} theo hai bước sau
2
1 2
1 6 cos 2
1 2
1 3
+ +
=
+
=
z
z z
t L
t
L (1đ)
b/ Bước 2: Tìm { } ( ) ( )
36 2
2
2
1 2 2
1 3
2
+ +
+ +
+
=
−
z
z z
t e
(0.5đ)
7/ (1.5đ).Tìm L− 1{e− 2z F(z)} với ( 3) 25
2 )
+ +
=
z z
5
2 25
5 5
2 25
2 )
3
2 1
z
L z
L z
F
+
=
+
=
−
(0.5đ)
b/ Bước 2: Tìm { } { } sin5
5
2 ) 3 ( )
L− = −t − − = − t (0.5đ)
c/ Bước 3: Tìm { } ( )sin5( 2) ( 2)
5
2 )
2
L z t (0.5đ)
Giáo viên ra đề…… … Tống Minh Hải Trưởng bộ môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện
GV2:………
GV1:………
Trang 2CÂU ĐỀ ĐÁP ÁN
1
3
2 ( 2
ln + π + π
2
2
x x
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. v=x+y+2xy.
3
(1đ) Tính đạo hàm của f(z) 3x y (2xy y )i
2 2
=
tại:z1 =1+3i, z2 =1+i,z3 =1+2i nếu có f'(z3)=6+4i
4
(2đ) Tính:I x iy dz
i
) (
1
0
∫+ −
= dọc theo: (P):y=x2 I =1+3i
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z z
z I
) 3 ( ) 1 (
2
2
2
C1: z−1=1;C2: z−3=1 / 1 72 . / 2 112
i I
b
i I
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e2tsin23t} theo hai bước sau
2
1 2
1 6 cos 2
1 2
1 3
+
−
=
−
=
z
z z
t L
t
b/ Bước 2: Tìm { } ( ) ( )
36 2
2
2
1 2 2
1 3
2
+
−
−
−
−
=
z
z z
t e
L t
(0.5đ)
7/ (1.5đ), Tìm L− 1{e− 4z F(z)} với ( 2) 9
5 )
+
−
=
z z
3
5 9
3 3
5 9
5 )
2
2 1
z
L z
L z
F
+
=
+
=
−
(0.5đ)
b/ Bước 2: Tìm { } { } sin3
3
5 ) 2 ( )
c/ Bước 3: Tìm { } ( )sin3( 4) ( 4)
3
5 )
4
(0.5đ)
Giáo viên ra đề…… … Tống Minh Hải Trưởng bộ môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện
Trang 3
ĐỀ 3: THI HỌC KỲ KHÓA 15
Môn: TOÁN CHUYÊN ĐỀ
(Tg 60 phút SV không sử dụng tài liệu)
Phần 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC
1
(1đ) Giải phương trình: e i
6 ( 4
ln + −π + π
2
(1đ) Cho hàm
2
y x
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. v=−x+y+4xy.
3
2
xy z
f = + − Tính f ' z( ) tại:
3 2 );
2 2
; 2
z = + = + = + nếu có f'(z2)=2−4i
4
(2đ) Tính: ∫+i xdz
1
0
dọc theo (P):y=x2 I =3+64i =21+32i
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z
z z
e
) 3 )(
1 ( C1: z−1=1;C2: z−3=1
2 /
2 /I1 e i b I2 e3 i
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e2tsin33t} theo hai bước sau
81
1 9
1 4
9 81
9 4
1 9
3 4
3 4
9 sin 3 sin 3 3
+
− +
= +
− +
=
=
z z
z z
t t
L t
81 2
1 9
2
1
4
9 3
2
+
−
− +
−
=
z z
t e
L t
(0.5đ)
7/ (1.5đ), Tìm L− 1{e− 4z F(z)} với ( 2) 25
6 3 )
+
−
−
=
z
z z
25
3 25
3 )
2
2 1
z
z L
z
z L
z F
+
=
+
=
−
(0.5đ)
b/ Bước 2: Tìm L− 1{F(z)}=e2t.L− 1{F(z+2)}=3e2tcos5t (0.5đ)
c/ Bước 3: Tìm L− 1{e− 4z F(z)}=3e2 ( )t− 4 cos5(t−4).u(t−4) (0.5đ)
Giáo viên ra đề…… … Tống Minh Hải Trưởng bộ môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện
GV2:………
GV1:………
Trang 4CÂU ĐỀ 4 ĐÁP ÁN
1
3
2 ( 4
ln + π + π
2
(1đ) Cho hàm
2
y x
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. v=−x+y−4xy
3
(1đ) Tính đạo hàm của f(z) x x y (2xy y 12y)i
3 2
3
=
tại:z1 =1+2i, z2 =2+i,z3 =1+ 3i nếu có f'(z3)=5+2 3i
4
(2đ) Tính: ∫+i ydz
1
0
dọc theo (P):y=x2 I = 2+63i =31+21i
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z
z z
e I
) 3 ( ) 1
/ 2
3 /
3 2 1
i e I b i e I
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e2tcos33t} theo hai bước sau
81
4
1 9
4
3 4
9 cos 3 cos 3 3
+
+ +
=
=
z
z z
z t
t L
t
+
−
+ +
−
−
= +
−
− +
+
−
−
=
81 2
1 9
2
3
4
2 81
2
2
4
1 9 2
2
4
3 3
2
z z
z z
z z
z t
e
L t
(0.5đ)
7/ (1.5đ), Tìm L− 1{e− 2z F(z)} với ( 3) 25
6 2 )
+ +
+
=
z
z z
25
2 25
2 )
3
2 1
z
z L
z
z L
z F
+
=
+
=
−
(0.5đ)
b/ Bước 2: Tìm L− 1{F(z)}=e− 3t L− 1{F(z−3)}=2e− 3tcos5t (0.5đ)
c/ Bước 3: Tìm L− 1{e− 2z F(z)}=2e− 3 ( )t− 2 cos5(t−2).u(t−2) (0.5đ)
Giáo viên ra đề…… … Tống Minh Hải Trưởng bộ môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện
Trang 5ĐỀ 5:THI HỌC KỲ KHÓA 15
Môn: TOÁN CHUYÊN ĐỀ
(Tg 60 phút SV không sử dụng tài liệu)
Phần 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC
(CÂU
1
(1đ) Giải phương trình: e i
3 ( 2
ln + −π + π
2
(1đ) Cho hàm
2 2
2x x y y
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. v=−x+2y−2xy.
3
(1đ) Tính đạo hàm của f(z) x 2x y (2xy 3y )i
2 2
3
=
tại:z1=1+2i, z2 =1+i,z3 =1+3i nếu có. f'(z2)=8+2i
4
(2đ) Tính ∫+i z dz
1
0
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z z
z I
) 3 ( ) 1
2
C1: z−1=1;C2: z−3=1 / 1 52 . / 2 92
i I b
i I
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e3tcostcos3t} theo hai bước sau
4
1 16
1 2 4 16
2
1 2
2 cos 4 cos 3
cos
+
+ +
=
+
+ +
=
=
z z
z z
z z
z t
t L
t t
+
−
+ +
−
−
=
+
−
− + +
−
−
=
4 3
1 16
3
1
2
3 4
3
3 16
3
3
2
1 3 cos
3
z z
z z
z z
z t
t e
L t
(0.5đ)
7/ (1.5đ), Tìm L− 1{e− 3z F(z)} với ( 5) 4
10 2 )
+
−
−
z
z z
4
2 4
2 )
5
2 1
z
z L z
z L
z F
+
=
+
=
−
(0.5đ)
b/ Bước 2: Tìm L− 1{F(z)}=e5t L− 1{F(z+5)}=2e5tcos2t (0.5đ)
c/ Bước 3: Tìm L− 1{e− 3z F(z)}=2e5 ( )t− 3 cos2(t−3).u(t−3) (0.5đ)
GV2:………
GV1:………
Trang 6CÂU ĐỀ ĐÁP ÁN
1
(1đ) Giải phương trình: e i
2 ( ) 1 3 ln( − + −π + π
2
(1đ) Cho hàm
2 2
2x x y y
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. v=x+2y+2xy.
3
(1đ) Tính đạo hàm của f(z) xy (4y x y)i
2
=
tại:z1=1+ 2i, z2 =1+i,z3 =1− 3i nếu có f'(1− 3i)=3+2 3i
4
(2đ) Tính +∫i y−x dz
2 1
0
) ( dọc theo(d):y=2x I = + i = +i
2
1 2
2 1
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z z
z
) 3 )(
1 ( C1: z−1=1;C2: z−3=1 / 1 2. / 2 32
i I b
i I
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e3tsintsin3t} theo hai bước sau
+
− +
=
+
− +
=
=
4
1 16
1 2 4 16
2
1 2
2 cos 4 cos 3
sin
z z
z z
z z
z t
t L
t t
+
−
− +
−
−
=
+
−
−
− +
−
−
=
4 3
1 16
3
1 2
3 4
3
3 16
3
3 2
1 3 sin
3
z z
z z
z z
z t
t e
L t
(0.5đ)
7/ (1.5đ), Tìm L− 1{e− 3z F(z)} với ( 4) 25
8 2 )
+ +
+
=
z
z z
25
2 25
2 )
4
2 1
z
z L
z
z L
z F
+
=
+
=
−
(0.5đ)
b/ Bước 2: Tìm L− 1{F(z)}=e− 4t L− 1{F(z−4)} =2e− 4tcos5t (0.5đ)
c/ Bước 3: Tìm L− 1{e− 3z F(z)}=2e− 4 ( )t− 3 cos5(t−3).u(t−3) (0.5đ)
Giáo viên ra đề…… … Tống Minh Hải Trưởng bộ môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện
Trang 7ĐỀ 7: THI HỌC KỲ KHÓA 15
Môn: TOÁN CHUYÊN ĐỀ
(Tg 60 phút SV không sử dụng tài liệu)
Phần 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC
CÂU ĐỀ 7(sinh viên nháp vào phần để trống) ĐÁP ÁN
1
6 ( 2
ln + −π + π
2
2
x x
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. v=2x+y+2xy.
3
(1đ) Tính đạo hàm của f(z) xy (3y x y)i
2
=
tại:z1=1+ 2i, z2 =1+i,z3 =1− 3i nếu có f'(1+ 2i)=2−2 2i
4
(2đ) Tính ∫1 ( − +1)
i
dz y
x dọc theo(d):x+ y=1 I =1−i
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z
z z
e
) 3
4 / 9
2 /
3 2 1
i e I b
i I
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e3tsin3tcost} theo hai bước sau
4
1 16
2 4
2 16
4 2
1 2
2 sin 4 sin cos
3
+
+ +
=
+
+ +
=
=
z z
z z
t t
L t t
4 3
1 16
3
2 cos
3
3
+
−
+ +
−
=
z z
t t e
L t
(0.5đ)
7/ (1.5đ), Tìm L− 1{e− 3z F(z)} với ( 1) 16
2 2 )
+ +
+
=
z
z z
z
z L
z
z L
z F
16
2 16
2 )
1
2 1
+
=
+
=
b/ Bước 2: Tìm L− 1{F(z)}=e−t L− 1{F(z−1)}=2e−tcos4t (0.5đ)
c/ Bước 3: Tìm L− 1{e− 3z F(z)}=2e− ( )t− 3 cos4(t−3).u(t−3) (0.5đ)
GV2:………
GV1:………
Trang 8CÂU ĐỀ ĐÁP ÁN
1
(1đ) Giải phương trình: e i
3
2 ( 2
ln + π + π
2
2
x x
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. v=2x+y−2xy
3
(1đ) f(z) (2xy x ) (4y x )i
2 2
+
=
tại:z1 =1+2i,z2 =3+i,z3 =1+3i nếu có f'(3+i)=8−6i
4
(2đ)
Tính tích phân:
dz y x I
i
∫+ +
=1
0
) ( dọc theo (P):y=x2 I = 5+67i = 65+67i
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z z
z
) 3 )(
1 (
2
C1: z−1=1;C2: z−3 =1 / 1 2. / 2 52
i I
b
i I
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e2tcostcos4t} theo hai bước sau
9 25
2
1 2
3 cos 5 cos 4
cos
+
+ +
=
=
z
z z
z t
t L
t t
9 2
2 25
2
2 2
1 4 cos
2
+
−
− + +
−
−
=
z
z z
z t
t e
L t
(0.5đ)
7/ (1.5đ), Tìm L− 1{e− 3z F(z)} với ( 2) 16
4 2 )
+
−
−
=
z
z z
z
z L
z
z L
z F
16
2 16
2 )
2
2 1
+
=
+
=
−
(0.5đ)
b/ Bước 2: Tìm L− 1{F(z)}=e2t L− 1{F(z+2)} =2e2tcos4t (0.5đ)
c/ Bước 3: Tìm L− 1{e− 3z F(z)}=2e2 ( )t− 3 cos4(t−3).u(t−3) (0.5đ)
Giáo viên ra đề…… … Tống Minh Hải Trưởng bộ môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện
Trang 9ĐỀ 9:THI HỌC KỲ KHÓA 15
Môn: TOÁN CHUYÊN ĐỀ
(Tg 60 phút SV không sử dụng tài liệu)
Phần 1: HÀM BIẾN SỐ PHỨC
1
(1đ) Giải phương trình: e z =(3i+ 3)i z k2 )i
6
5 ( 3 2
2
2
x
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. v=2x+2xy.
3
(1đ) Tính đạo hàm của f(z) 3x y (2xy y )i
2 2
=
tại:z1 =1+3i, z2 =2+4i,z3 =2+i nếu có. f'(2+4i)=12+8i
4
(2đ) Tính:I x iy dz
i
) (
1
0
2
∫+ −
= dọc theo (P):y=x2
6 6
5 i
I = +
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z z
z I
) 3 ( ) 1 (
2
2
2
C1: z−1=1;C2: z−3 =1 / 1 32 . / 2 72
i I
b
i I
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e− 2tsintsin4t} theo hai bước sau
9
1 25
1 2 9 25
2
1 2
3 cos 5 cos 4
sin
+
− +
=
+
− +
=
=
z z
z z
z z
z t
t L
t t
9 2
1 25
2
1 2
2 9
2
2 25
2
2 2
1 4 sin
2
+ +
− + +
+
=
+ +
+
− + +
+
=
−
z z
z z
z z
z t
t e
(0.5đ)
7/ (1.5đ), Tìm L− 1{e− 2z F(z)} với ( 3) 16
6 2 )
+
−
−
=
z
z z
16
2 16
2 )
3
2 1
z
z L
z
z L
z F
+
=
+
=
b/ Bước 2: Tìm L− 1{F(z)}=e3t L− 1{F(z+3)}=2e3tcos4t (0.5đ)
c/ Bước 3: Tìm L− 1{e− 2z F(z)}=2e3 ( )t− 2 cos4(t−2).u(t−2) (0.5đ)
GV2:………
GV1:………
Trang 10CÂU ĐỀ ĐÁP ÁN
1
(1đ) Giải phương trình: e z =(3+i 3)i z k2 )i
3
2 ( 3 2
2
2
x
Tìm hàm v sao cho f(z)=u+iv giải tích. v=−2x+2xy
3
(1đ) Tính đạo hàm của f(z) 3x y (2xy y )i
2 2
=
tại:z1 =1+3i, z2 =3+6i,z3=2+i nếu có. f'(3+6i)=18+12i
4
(2đ) Tính: ∫+i x−iy dz
1
0
2) 2
( dọc theo (d):y=x I =(1−31i)(1+i)=34+ 32i
5
(2đ)
Tính tích phân:
=
k
C
z z
z I
) 3 ( ) 1 (
2
2
2
C1: z−1=1;C2: z+3=1 / 1 98 . / 2 78
i I b
i I
Phần 2: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
6 / (1.5đ) Tìm L{e− 2tsintcos4t} theo hai bước sau
9
3 25
5 2
1 2
3 sin 5 sin 4
cos
+
− +
=
=
z z
t t
L t t
+ +
− + +
=
−
9 2
3 25
2
5 2
1 4 cos
2
z z
t t e
(0.5đ)
7/ (1.5đ), Tìm L− 1{e− 2z F(z)} với ( 3) 16
15 5 )
+ +
+
=
z
z z
z
z L
z
z L
z F
16
5 16
5 )
3
2 1
+
=
+
=
−
(0.5đ)
b/ Bước 2: Tìm L− 1{F(z)}=e− 3t L− 1{F(z−3)}=5e− 3tcos4t (0.5đ)
c/ Bước 3: Tìm L− 1{e− 2z F(z)}=5e− 3 ( )t− 2 cos4(t−2).u(t−2) (0.5đ)
Giáo viên ra đề…… … Tống Minh Hải Trưởng bộ môn VHNN ………… Ngô Văn Thiện
Trang 111/Công thức lương giác
x x
x x
x x
x x
x
2
2 cos 1 sin
; 2
2 cos
1
; 2
) sin(
) sin(
cos sin
; 2
) cos(
) cos(
sin sin
; 2
) cos(
) cos(
cos
cosa b= a+b + a−b a b= a+b − a−b a b= a+b + a−b
2/Điều kiện Cauchy-Riemann:
) 2 (
) 1 (
R C z x
v i x
u z f và x
v y
u
y
v x
u
R
∂
∂ +
∂
∂
=
∂
∂
−
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
−
iv
u
z
f( )= + gọi là hàm giải tích nếu u và v thỏa mãn điều kiện ( C − R ) ∀ ( x , y ) hay ∀ z
3/ Hàm φ( y x, ) gọi là hàm điều hòa nếu thỏa mãn phương trình Laplace:
( ), ,
0
2
2
2
2
y x y
∂
∂
+
∂
4/Công thức tích phân Cauchy:
( ( ) ) 2 '( ) );
( 2
)
(
2 0 0
z if z
z
dz z f z if z
z
dz
z
f
C C
π
−
=
∫
5/Công thức hàm ảnh, hàm gốc:
Nếu L{f(t)}=F(z) thì
{ ( )} { ( )} ( )
/ L kf t kL f t kF z
{ ( ) ( )} { ( )} { }( )
/ L f t g t L f t L g t
/ L e f t F z a L1 F z a e f t e L1 F z
/ L f t a u t a e F z L1 e F z f t a u t a
{ ( )} { ( )} { ( )}
/ L1 F z e L1 F z a e L 1 F z a
Bảng hàm gốc – hàm ảnh thông dụng )
(t
z
1
a z
a
+
z
n
a z
z
+
a
z−
1
a z
a
−
z
−
Với:
2 cosh
; 2 sinh
t t t
t e
e
Chú ý: a / L { kf ( t ) } { } { ≠ L k L f ( t ) } và L { f ( t ) g ( t ) } { = L f ( t ) } { } L g ( t )