Bài tập tham khảo cho sv hệ KSTN-môn GT2 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...
Trang 1Đề cương bài tập lớp KSTN
Môn Giải tích 2
I Ứng dụng phép tính vi phân trong hình học
1 Tìm độ cong và bán kính cong tại một điểm bất kì của đường cong:
3 3
cos sin
c)
( sin ) (1 cos )
d) r a (1 cos )
2 Lập phương trình đường túc bế của các đường:
c)
3 3
cos sin
( sin ) (1 cos )
3 Tìm hình bao của họ đường cong:
a) y ( x c )3 b) y3 ( x c )2
c)
2
2
a
k
4 Viết phương trình tiếp tuyến và pháp diện của các đường cong:
a)
2
cos sin cos sin
tại
4
b)
c)
0
6 4
5 Chứng minh rằng tiếp tuyến của đường cong x a cos , t y a sin , t z bt tại điểm bất kì luôn tạo với trục Oz một góc không đổi
6 Tìm độ cong của các đường:
a)
cos sin
tại M (0, 0, 0) b)
2
1
7 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của các mặt sau:
a) 3xyz z3 a3 tại M (0, , a a ) b) z x2 y2 tại M (1, 2, 5)
Trang 2c) 2x z/ 2y z/ 8 tại M (2,2,1)
d)
a b c tại điểm có tiếp diện chắn trên các trục tọa độ những đoạn thẳng bằng nhau
8 Chứng minh rằng tiếp diện bất kì của mặt phẳng xyz a3 tạo với các mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích không đổi
9 Chứng minh rằng tiếp diện bất kì của mặt phẳng x y z a chắn trên các trục tọa độ những đoạn thẳng có tổng độ dài không đổi
II Tích phân phụ thuộc tham số
10 Cho f x y ( , ) là một hàm gián đoạn trên [0,1] Liệu hàm
1
0
( ) ( , )
F y f x y dx có thể liên tục được không ? Xét ví dụ với hàm f x y ( , ) sgn( x y )
11 Khảo sát tính liên tục của hàm số
1
0
( ) ( ) yf x
trong đó f x ( ) liên tục trên [0,1]
12 Tính giới hạn
a)
1
0
lim
1
dx x
1
lim
1 (1 )
dx x n
13 Tính F y '( ) biết
cos
1 sin
( )
y
y
2 2
( )
y
x y y
F y e dx
14 Tính F y ''( ) biết
0
( ) ( ) ( )
y
F y x y f x dx trong đó f x ( ) là một hàm khả vi trên
15 Chứng minh
1 0
sin 1
2
x n
n
x
16 Tính các tích phân sau:
a)
/2
0
ln( sin a x b cos x dx )
0
ln(1 2 cos a x a dx )
17 Xét tính hội tụ đều của tích phân suy rộng sau:
0
( ) xt
1
( ) y x
, y [ , ] a b
Trang 3c) 0
1
( ) , 1
a
dx
x
d)
1
( ) , 1
a
dx
x
18 Tính tích phân sau:
a)
1
1 0
ln
0 ( )n
dx
c)
0
dx x
0
dx x
e)
2
0
dx x
0
sin
mxdx x
g)
0
cos
mxdx x
0
ln(1 ) 1
a x dx
, | | 1 a
i)
2 0
ln(1 )
1
a x dx x
, | | 1 a k)
0
ln( a x dx )
l)
2 2 1
arctan
1
axdx
2 0
arctan ax arctan bxdx
x
0
x
y
19 Dùng hàm Gamma, Beta, tính :
a)
1
2 0
x x dx
0
a
x a x dx
, a 0
c)
4 2
0 (1 )
xdx x
3
0 1
dx x
e)
/2
0
sin x cos xdx
1
0
, 1 1
dx
n
g)
2 2 0
1
0
, 2 1
n n
x
dx n x
20 Chứng minh:
Trang 4a)
.
4
.
8 2
III Tích phân bội
21 Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân sau:
a)
2
2
( , )
x
x
2
1 1 1
( , )
y
y
c)
2
( , )
x
x x
2 sin
( , )
x
dx f x y dy
e)
2
ln
( , )
dx f x y dy
22 Tính tích phân sau: 2
2
1 1
0
y x
dx xe dy
23 Tính các tích phân kép sau:
D
x x y dxdy
D ( , ) x y 2 : 0 x y , / 2
D
x y x dxdy
D phần hình phẳng giới hạn bởi y x2 và x y2
D
x y dxdy
D ( , ) x y 2 : x y , 1
D
y x dxdy
D ( , ) x y 2 : x 1, 0 y 1
e)
| | | | 1
24 Dùng phép đổi biến thích hợp tính các tích phân bội hai sau:
a)
2 2 1
xy dxdy
2 2
1
c)
2 2 2 2
4
sin
D
x y dxdy
:
4
xy D
Trang 5e) 2 2 2
D
a x y dxdy
0
D y
D
a x y dxdy
:
0
D x
g)
1
D
dxdy
D : x22 y22 1
25 Tính các tích phân bội ba sau:
a)
3
V
dxdydz
x y z
1
x y z V
b)
V
z dxdydz
x y
2 :
3
V
V
x y dxdydz
V x : 2 y2 z2 R2
V
x y z dxdydz
V x : 2 y2 z2 x
e) 2 2 2
V
x y z dxdydz
V : x22 y22 z22 1
f)
V
dxdydz
a b c
V
g)
V
dxdydz
V
26 Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong sau:
a)
( x y ) 2 ( a x y )
x y
c)
27 TÍnh thể tích phần không gian giới hạn bởi các mặt sau:
Trang 6a) z 1 x y z , 0, x y 1, x 0, y 0.
b) z x2 y y2, x y2, 1, z 0.
c) z2 xy x , 2 y2 a2
d) z x2 y x2, 2 y2 x x , 2 y2 2 , x z 0.
e) z x2 y z2, x y
f)
z
g)
2
h)
2
z c
28 Tính diện tích:
a) Phần mặt cong az xy nằm bên trong hình trụ x2 y2 a2
b) Phần mặt cầu x2 y2 z2 a2 nằm bên trong hình trụ
c) Phần mặt cong z x2 y2 nằm bên trong hình trụ x2 y2 2 x
d) Phần mặt cong x2 y2 2 az nằm bên trong hình trụ 2 22 2
2
e) Phần mặt cong x2 y2 a2 nằm bên trong hình trụ x z 0, x z 0 ( x 0, y 0)
29 Áp dụng tích phân bội ba, tính thể tích phần không gian giới hạn bởi các mặt sau:
a) x2 y2 z2 2 , az x2 y2 z2 b) 2 2 23
3
c)
2
h
e) x2 y2 z2 a2, x2 y2 z2 b2, x2 y2 z2 (z 0, 0 a b)
IV Tích phân đường
30 Tính các tích phân đường loại 1 sau:
C
x y ds
trong đó C là chu tuyến của tam giác với các đỉnh O (0, 0), (0,1), (1, 0) A B
Trang 7b) ( 4/3 4/3)
C
c) | |
C
y ds
trong đó C : ( x2 y2 2) a x2( 2 y2)
C
x y ds
C
x y z ds
cos
f)
C
x ds
, C x : 2 y2 z2 a2, x y z 0
g)
C
zds
, C x : 2 y2 z y2, 2 ax lấy từ O (0, 0, 0) đến A a a a ( , , 2)
31 Tính các tích phân đường loại 2 sau:
C
x xy dx y xy dy
C
x y dx x y dy
C
x y dx x y dy
C
a b theo chiều ngược chiều kim đồng hồ
d)
| | | |
ABCDA
trong đó A (1, 0), (0,1), ( 1, 0), (0, 1) B C D
e) arctan
OmAnO
y
trong đó OmA y : x2, OnA y : x, chiều lấy tích phân theo chiều dương
f)
(2,3)
( 1,2)
(1,1)
(1, 1)
( x y dx )( dy )
h)
(6,8)
(1,0)
(1,0)
2 (0, 1) ( )
32 Tìm ( , ) biết
a) dz ( x2 2 xy y dx2) ( x2 2 xy y dy2)
Trang 8b)
dz
c) dz e e xx( (y y 2) y dx ) e e xx( (y y ) 1) dy
33 Áp dụng công thức Green, tính các tích phân sau:
C
xy dy x y dx C x y a
b)
C
2 2 2
(x y )(cos 2 sin 2 )
d) ( sinx ) ( cosx )
AmO
x y ax, chạy từ A a ( , 0) đến O (0, 0)
e)
C
trong đó C là đường cong đơn khép kín, không đi qua gốc tọa độ và ngược chiều kim đồng hồ
34 Áp dụng tích phân đường loại 1, tính độ dài các đường cong:
a) x 3 , t y 3 , t z2 2 t3 lấy từ O (0, 0, 0) đến A (3, 3,2)
b) x et cos , t y et sin , t z et với t 0
c) x2 y2 cz , y tan z
lấy từ O (0, 0, 0) đến A x y z ( , , )0 0 0
35 Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường cong:
a) x a cos , t y b sin (0 t t 2 )
b) ( x y )2 ax và trục Ox
c) x3 y3 x2 y2 và các trục tọa độ
d) ( ) x n ( ) y n 1
a b và các trục tọa độ
36 Tính các tích phân mặt loại 1 sau:
a)
S
zdS
trong đó S là phần mặt cong x2 y2 2 az được cắt ra bởi z x2 y2
S
x y z dS
trong đó S là mặt cong x2 y2 z2 a2, z 0
Trang 9c) ( 2 2)
S
x y dS
trong đó S là bề mặt của vật thể x2 y2 z 1
d)
2
S
dS
trong đó S là bề mặt của hình tứ diện x y z 1, x 0, y 0, z 0
S
xyz dS
trong đó S là phần mặt phẳng z x2 y2 bị cắt bởi mặt z 1
S
xy yz zx dS
trong đó S là phần của mặt nón z x2 y2 bị cắt bởi mặt
37 Tính các tích phân mặt loại 2 sau:
a)
S
xdydz ydzdx zdxdy
S
y z dydz z x dzdx x y dxdy
z x y , 0 z h
c)
S
S
x dydz y dzdx z dxdy
( x a ) ( y b ) ( z c ) R
38 Áp dụng công thức Ostragradsky, tính các tích phân mặt sau:
S
x dydz y dzdx z dxdy
trong đó S là mặt ngoài của hình lập phương 0 x y z , , a
S
x dydz y dzdx z dxdy
S
x y z dydz y z x dzdx z x y dxdy
1
x y z y z x z x y
39 Áp dụng công thức Stoke, tính các tích phân:
C
y z dx z x dy x y dz
trong đó C x : a sin ;2t y 2 sin cos ; a t t z a cos ; 02t t
Trang 10b) ( ) ( ) ( )
C
y z dx z x dy x y dz
ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ chiều dương của trục Ox
C
y z dx z x dy x y dz
0 x y z , , a cắt bởi mặt 3
2
x y z a, chiều của C ngược chiều kim đồng hồ nếu nhìn từ chiều dương của trục Ox
C
y z dx x z dy x y dz
x a t y a t z a t Chiều của C lấy theo chiều tăng của t