Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)

Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)Tính tạo hàm của hàm số tại điểm mút và ứng dụng vào dự báo đường huyết (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGUYỄN HẢI ĐĂNG

TÍNH TẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI ĐIỂM MÚT VÀ ỨNG DỤNG

VÀO DỰ BÁO ĐƯỜNG HUYẾT

CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG

THÁI NGUYÊN, NĂM 2014

MỤC LỤC

LỜI MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG I: KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN ĐẶT KHÔNG CHỈNH 4

1.1 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh 4

1.2 Ví dụ về bài toán không chỉnh 5

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HIỆU CHỈNH 10

2.1.Bài toán tính gần đúng đạo hàm 10

2.2.Phương pháp chọn bước lưới thích nghi 10

2.3 Phương pháp sai phân hiệu chỉnh để tính gần đúng đạo hàm một phía tại điểm mút khi dữ liệu có nhiễu 13

CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HIỆU CHỈNH ĐỂ DỰ BÁO ĐƯỜNG HUYẾT 25

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn,chỉ bảo tận tình và giúp đỡ nghiêm túc của GS.TSKH Phạm Kỳ Anh (Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội) Tôi xin chân thành bày

tỏ lòng cảm ơn sâu sắc đến Thầy.Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp thắc mắc của tôi Thầy đã giúp đỡ tôi bổ sung nhiều về kiến thức, khả năng nghiên cứu,chọn lọc và tổng hợp các tài liệu để hoàn thành luận văn.Tôi xin kính chúc thầy và gia đình mạnh khỏe, hạnh phúc

Qua đây, tôi xin gửi tới các Thầy, Cô tham gia giảng dạy khóa Cao học Toán 2012

- 2014 tại trường Đại Học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học lời cảm ơn sâu sắc nhất - Các Thầy, Cô đã mang đến cho tôi nhiều kiến thức bố ích không chỉ về chuyên môn mà còn cả trong cuộc sống

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các bạn đồng môn đã giúp đỡ tôi trong thời gian học tập tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và trong quá trình hoàn thiện luận văn này

Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình tôi.Những người đã động viên, chăm sóc và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi để tôi có được thành quả ngày hôm nay

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2014

Người thực hiện

Nguyễn Hải Đăng

LỜI MỞ ĐẦU

Có rất nhiều vấn đề trong khoa học cũng như trong cuộc sống thực tế dẫn tới các bài toán đặt không chỉnh, như xử lý ảnh, xử lý tiếng nói, thăm dò tài nguyên bằng phương pháp đo trọng lực, chụp ảnh cắt lớp bằng máy tính, vv

Bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm sổ tại điểm mút là một bài toán đặt không chỉnh Giải quyết bài toán này và ứng dụng của nó trong dự báo đường huyết có ý nghĩa quan trọng trong việc điều trị bệnh tiểu đường

Điều này thúc đẩy tôi tìm hiểu và nghiên cứu về ứng dụng của bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút và áp dụng vào dự báo đường huyết

Trong luận văn này, tôi xin trình bày những kết quả lý thuyết của bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút và ứng dụng trong dự báo đường huyết của nó theo bài báo V Naumova, s.v Pereverzyev, and s Sivananthan, Adaptive parameter choice for one-sided íĩnite difference schemes and its application in diabetes technology, Journal of Complexity, 28(2012) 524-538 Nội dung luận văn được chia làm 3 chương:

Chương 1 giới thiệu một số khái niệm cơ bản và ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Chương 2 trình bày bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm số tại điểm mút, bao gồm phương pháp tiếp cận giải quyết bài toán, phương pháp chọn bước lưới thích nghi, phương pháp sai phân hiệu chỉnh để giải bài toán

Chương 3 trình bày về áp dụng của bài toán tính gần đúng đạo hàm hàm

số tại điếm mút vào dự báo đường huyết

Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong các Thầy, Cô và các bạn đóng góp ý kiến để luận văn này được hoàn thiện

CHƯƠNG I: KHÁI NIỆM VỀ BÀI TOÁN ĐẶT

KHÔNG CHỈNH

1.1 Khái niệm về bài toán chỉnh và không chỉnh

Năm 1932 J.H’adamard đưa ra khái niệm bài toán đặt chỉnh khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của phương trình đạo hàm riêng dạng elliptic hoặc parabolic

A (x) = f , (1.1)

trong đó A là toán tử đưa không gian metric X vào không gian metric Y, được gọi là bài toán chỉnh the H’Adamard nếu có:

2 Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất

3 Nghiệm x phụ thuộc liên tục vào các dữ kiện f và A

Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thoả mãn, bài toán (1.1) được gọi là bài toán không chỉnh (còn gọi là bài toán đặt không chính quy hoặc bài toán thiết lập không đúng đắn)

Cần lưu ý rằng một bài toán có thể đặt không chỉnh trên một cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên một cặp không gian metric khác

Để đơn giản, sau đây ta luôn giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi fδ với sai số ρY(fδ, )f ≤δ Như vậy, với

của bài toán đặt không chỉnh nói trên Nếu ta kí hiệu:

làm nghiệm xấp xỉ cho (1.4) Để thực hiện được điều này ta cần có thêm thông

tin về nghiệm chính xác x0 Việc sử dụng thông tin định tính về nghiệm (tính trơn hoặc tính đơn điệu của nghiệm,vv ) cho ta một hướng khác trong việc xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đặt không chỉnh (1.1)

1.2 Ví dụ về bài toán không chỉnh

1 Bài toán tính gần đúng đạo hàm

càng nhỏ có cho ta xấp xỉ càng tốt hay không? Để trả lời cho câu hỏi đó ta xét ví

nói lên rằng D tiến gần tới '( )k f x ở một thời khắc nào đó sau lại rời xa nó Cũng ở

nhân tích phân ( , )K t s cùng với ∂K/∂tđược giả thiết là các hàm liên tục Ta tìm

gọi là độ lệch) giữa hai hàm ϕ và 1 ϕ là 2

là khoảng cách giữa hai hàm f t1( ) và f t2( ) trong L2[c d, ] được biểu thị bởi đại lượng

2

1/ 2 2 [c,d]( ,1 2) 1( ) 2( )

d L

1/ 2 2 [c,d]( , )0 1 ( , )sin(ws) ds

d b L

Dễ dàng nhận thấy hai số N và w có thể chọn sao cho ρL2[c, d]( , )f f0 1 rất

=

độ đo đều, thì bài toán tính tổng chuỗi Fourier là không ổn định khi hệ số của

1 1

không nhiều trong L2[0, ]π

4 Bài toán Cauchy cho phương trình Laplace hai chiều

Nếu lấy f x( )= f x2( )=ϕ( )x =ϕ2( )x ≡0, thì nghiệm của bài toán (1.2) -

xét trong độ đo đều ta có

khi đó, khoảng cách giữa các nghiệm

CHƯƠNG II: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HIỆU CHỈNH

2.1.Bài toán tính gần đúng đạo hàm

Chúng ta nghiên cứu bài toán tính gần đúng đạo hàm y’(B) của hàm y(t) tại điểm biên của khoảng [b, B] với giả thiết là tại các mốc cho trước

Để tính y′(τ ) tại một điểm trong τ ∈ (b, B) ta có thể sử dụng công thức sai phân hữu hạn như một phương pháp chỉnh hóa

,

n n j

thực tế, bởi lẽ các mốc (1) cho trước và không thể chọn tùy ý Ví dụ, trong bài toán dự báo đường huyết, các mốc trên là thời điểm lấy mẫu máu của bệnh nhân Hơn nữa, công thức (3) không thể dùng để tính giá trị đạo hàm tại điểm biên - là mục tiêu chính của bản luận văn này

2.2.Phương pháp chọn bước lưới thích nghi

Với mục tiêu như vậy, chúng ta nghiên cứu một phương pháp khác cho phép tìm gần đúng đạo hàm bằng công thức sai phân hữu hạn một phía Giả sử

> h2 > · · · > hν, trong đó

trong không gian các hàm liên tục C [0, 1] Do tính không bị chặn này, bài toán tính gần đúng đạo hàm là đặt không chỉnh và không thể xử lý được trong khuôn khổ lý thuyết IBC Trái ngược với những bài toán đặt chỉnh với thông tin nhiễu, trong trường hợp đang xét sự tăng không kiểm soát của bậc n trong (5) không chỉ dẫn tới những chi phí tính toán không cần thiết mà còn làm khuếch đại của sai số lan truyền nhiễu (xem Ví dụ 1dưới đây) Do đó, mục tiêu là dùng giá trị n làm tham số chỉnh hóa để tìm trong số các thuật toán (5) một thuật toán mà sai

số lan truyền nhiễu được cân bằng với sai số xấp xỉ Sy tại y từ thông tin không nhiễu tương ứng Sai số xấp xỉ thường giảm khi lượng thông tin (n + 1) tăng Tuy nhiên, không phải lúc nào bài toán được xem xét cũng rơi vào trường hợp này (xem Nhận xét 1 và minh họa của Giả thiết 3 với Hình 1 và 2) Điều này

phần nào giải thích sự khác biệt giữa những kết quả trình bày trong luận văn với một số kết quả đã có trong các tài liệu về tính gần đúng đạo hàm

s

nh

Trong bản khóa luận này, chúng ta sẽ trình bày một cách tiếp cận mới

chọn tham số tối ưu n dựa trên nguyên lý cân bằng

tại điểm mút khi dữ liệu có nhiễu

Bây giờ chúng ta trở lại với việc phân tích bài toán tính gần đúng đạo hàm tại điểm biên B Cho y : [b, B] → R là một hàm khả vi liên tục r- lần, với r ≥ 2

Sai số giữa y′(B) và đại lượng tính theo (5) có thể ước lượng như sau

Trong đó số hạng đầu ở vế phải là sai số xấp xỉ, còn số hạng thứ hai là sai

số lan truyền nhiễu Đối với số hạng thứ hai chúng ta có đánh giá

thiết (2) ước lượng (7) không thể cải thiện hơn được

Để ý rằng công thức nào có dạng (5) xác định một phiếm hàm tuyến tính

N

n h n

S

=

các phiếm hàm như vậy để xấp xỉ phiếm hàm không bị chặn Sy = y’ (B) Do đó,

s s

bị chặn đều Trong nhiều tài liệu, công thức dạng (5) được xét với giả thiết

∥Sn,hs ∥ tăng khi n tăng

Do đó, với mỗi hs cố định, chúng ta cần một số giả thiết sau về hàm ψ (n)

Giả thiết 1 Hàm ψ (n) là một hàm tăng theo n

Ví dụ sau minh họa cho giả thiết này

Ví dụ 1 Theo (9) chúng ta xét công thức đạo hàm một phía dạng

(5) với hệ số cho trong Bảng 1 Chú ý rằng nếu y(t) là một đa thức đại

Sau đây ta sẽ sử dụng những công thức này để tiến hành thử nghiệm số,

bởi vì trong các ứng dụng thực tiễn hiếm khi sử dụng các công thức có bậc cao

hơn Nguyên nhân có thể thấy được trong kiểm tra bằng số với hàm (21) dưới

đây Từ Bảng 4 cho thấy với một số độ dài bước (ví dụ h = 0.056, h = 0.039)

việc dùng công thức bậc cao hơn thậm chí cho các hàm giải tích có thể dẫn đến

sự giảm bậc của độ chính xác Hệ quả tương tự có thể thấy ở các hàm có độ trơn

hữu hạn (xem ví dụ Bảng 5)

Bảng 1

Các hệ số của công thức một phía dạng (5)

n

0 n

a

1 n

a

2 n

a

3 n

a

4 n

a

5 n

a

6 n

15

−

154

65

−

16

M j

Sau đó, đối với bước lưới cố định hs, tập hợp tương ứng các giá trị xấp xỉ

tốt của đạo hàm y′(B) từ tập hợp { 1 , } 1

Nếu Giả thiết 3(ii) không thỏa mãn thì mức nhiễu là thấp và không đáng

kể Ví dụ, nếu (9) không được thỏa mãn với n = nmin, thì có thể bỏ qua sai số

truyền nhiễu và n = nmin là lựa chọn tốt nhất cho dữ liệu nhiễu, cũng như dữ liệu không nhiễu

Ví dụ tiếp theo minh họa cho những giả thiết này

Ví dụ 1 (tiếp theo) Xét bài toán tính đạo hàm bậc nhất của hàm

y ∈ C r [0, 1] tại điểm biên t =1 Tương tự như [18] để loại trừ ảnh hưởng của điểm biên t = 0, ta giả sử rằng y ∈ C r = {y : y ∈ C r [0, 1], y(i)(0) = 0, i

= 0, 1, , r − 1}

Khi đó theo định lý Taylor y có khai triển sau:

1 1

( ) 0

r r

−

=

−

trong đó (a)+ = max{a, 0}

Từ sơ đồ sai phân hữu hạn (5) ta thu được ước lượng

1 ( ) ,

0 0

||y(r )||C = 10r −3 , r = 3, 4, 5, 6, được trình bày ở Hình 1 và 2 Để tiện theo

Từ những hình vẽ này, có thể kết luận rằng với mức nhiễu được xem xét, Giả thiết 3 được thỏa mãn cho bất kỳ hàm y ∈ C r nào mà ∥y(r )∥C ≤10r−3, r

= 3, 4, 5, 6 Chú ý rằng để minh họa dáng điệu của các hàm một cách rõ ràng hơn, chúng ta giữ nguyên tỷ lệ của mọi đồ thị

Nhận xét 1 Chú ý rằng Giả thiết 3 tổng quát hơn giả thiết hàm chấp nhận được là không tăng

Từ (7) và Giả thiết 3, hiệu số giữa y’ (B) và (5) được ước lượng như sau

là ước lượng sai số tốt nhất có thể để xấp xỉ y’ (B) bằng họ công thức

Sn,hs dưới Giả thiết 1-3 và (2)

đạt được cận sai số tốt nhất có thể nhân với 6ρ, trong đó

bước lưới cố định hs, mà không cần bất kỳ thông tin tiên nghiệm nào về độ trơn

trong đó C là một tham số điều chỉnh Cụ thể, chúng ta cho C = 4 trong chứng minh lý thuyết và điều chỉnh giá trị của C trong các thử nghiệm số

chúng ta phát biểu kết quả chính của mục này

hoặc n* <n**, trong trường hợp này

Bây giờ ta sẽ kết luận rằng n∗ ≥ n+ Thực vậy, với mọi nj > n∗, nj ∈ N,

phân hữu hạn một phía (5) Nguyên lý cân bằng (15), (16) được dùng làm tiêu

và ξj là đại lượng ngẫu nhiên phân bố đều trên đoạn [−1, 1] Cho thí nghiệm bằng số của chúng ta, chúng ta xem xét 8 lưới cách đều nhau với các kích thước bước

Bảng 5

Cấp độ chính xác của công thức phép lấy vi phân bằng số cho hàm số có

độ phẳng hữu hạn (20) và kích thước bước (23)

Trước tiên, đối với kích thước bước hs chúng ta tìm bậc tối ưu n

+∈N bằng nguyên tắc cân bằng (15), (16) Như chúng ta đã đề cập trong ứng dụng thông số điều chỉnh trong (15) có thể được thay đổi Có thể thay đổi bằng cách: chúng ta tái tạo dữ liệu sử dụng vài hàm số, như là (21) chẳng hạn, và tìm một giá trị C mà dẫn đến hoạt động nguyên tắc (16) tốt trên dữ liệu được tái tạo Giá trị C này được dùng trong các ứng dụng số học Qua quá trình thay đổi như vậy, chúng ta đã tìm được C = 0.0021

Kết quả của những ứng dụng của quy tắc lựa chọn (16) cho các hàm số (20)-(22) và kích thước bước (23) được trình bày ở Bảng 3

Ta có thể mong đợi sơ đồ sai phân hữu hạn bậc cao hơn cho phép độ chính xác cao hơn, mà tốt nhất là với mức nhiễu được cho là δ Dùng Bảng 3, chúng ta có thể kết luận rằng đối với kích thước bước cố định thì lại khác Ví dụ, trong trường hợp hàm (20), thuộc C r [0, 1], r =6, cấp độ chính xác được đảm bảo tốt nhất trong giới hạn mức nhiễu được biết đến là δr − 1 Cho r =6 và

Sn,hs cho n = n+ = 5, hs = 0.039 Đồng thời, những tính toán trực tiếp

*) Kết hợp nguyên tắc cân bằng và tiêu chí bán tối ưu

thì hãy tự nhiên mà tận dụng nó Vì mục đích đó, một người có thể dùng cách tiếp cận tự khám phá được biết đến là tiêu chí bán tối ưu

+=n

3), tiêu chí bán tối ưu có thể được thực hiện như sau Đối với mọi hs có sẵn, cần

s s

n h h

sai phân tuyệt đối

trong Bảng 6 Có thể thấy từ Bảng 3 và 6, trong cả ba trường hợp, việc kết hợp tiêu chí bán tối ưu và nguyên tắc cân bằng thực sự cho lựa chọn giá trị hs tốt nhất

CHƯƠNG III: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HIỆU

CHỈNH ĐỂ DỰ BÁO ĐƯỜNG HUYẾT

Ở phần này, chúng ta nói đền khả năng sử dụng cách tiếp cận nói trên trong kiểm soát bệnh tiểu đường, cụ thể là dự đoán mức đường trong máu

Kiểm soát bệnh tiểu đường tập trung chủ yếu là giữ nồng độ đường trong máu gần mức bình thường nhất có thể mà không gây nguy hiểm, gọi là sự giảm

và tăng đường huyết, khi mức đường trong máu lần lượt thấp hơn 70 (ml/dL) hoặc cao hơn 180 (mg/dL) Có thể đạt được điều này bằng cách cân bằng lượng insulin nhờ tiêm, các bữa ăn theo chế độ kiêng và tập luyện thể thao Luôn nhớ rằng loại insulin tác dụng nhanh trong vòng 10-15 (phút), và loại dùng trong bữa ăn phản ứng với mức đường trong khoảng 5-10 (phút), do đó việc biết hàm lượng đường trong máu (BG) trong tương lai ít nhất trước 15 phút là vô cùng quan trọng

Các tiến triển gần đây trong kiểm soát bệnh tiểu đường liên quan đến một

hệ thống Giám sát mức đường liên tục (CGM) Những thiết bị này liên tục giám sát mức đường liên tục trong ngày, cụ thể thì đo lượng BG mỗi 5-10 (phút)

Do đó, khái niệm chung trong kiểm soát bệnh tiểu đường đó là phán đoán

BG trong tương lai sử dụng các dữ liệu CGM Tầm quan trọng của việc phán đoán này đã được trình bày trong nhiều tài liệu y học

Về toán học, bài toán có thể được đưa công thức như sau Giả sử rằng vào thời điểm t =t N = B, chúng ta được mức đường huyết y N,y N−1, y N 2

− , , y N− +n1của một bệnh nhân tại các thời điểm tN >tN −1> tN −2 > > tN −n+1 trong khoảng lấy mẫu

đoán PH = tN+m − tN mà tN < tN+1 < tN+ 2 < < tN

Có nhiều phương pháp dự đoán, và nhiều thiết bị báo mức đường máu đã được đề xuất.Trong mục này chúng ta dùng phương pháp dự báo dựa trên phép lấy đạo hàm bằng số