dap an mon toan ky su tai nang bkhn 2007

dap an mon toan ky su tai nang bkhn 2007 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...

ðÁP ÁN

Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài năng và Kỹ sư chất lượng cao

Năm 2007

Môn thi: Toán

Bài 1:

1− +x x − x 1−x =m (*)

1./ ðiều kiện: 0≤ ≤ x 1

ðặt t= 1− +x x

2

1

1

t

t

2



 ≥



t = − +x x ≤ + − +x x = ⇒ ≤t

Vậy 1≤ ≤t 2

Thay vào (*) ta có:

2

2

t

t − − =m

(1) Khi m = 1

( )

2

1

2

t

−

Theo trên, t ≥ , dấu bằng xảy ra khi 1 0.

1

x x

=



⇔  =

 Vậy nghiệm của phương trình là x=0,x= 1

, t 1, 2 2

t

Phương trình (1) có nghiệm khi m nằm trong dải giá trị của f t( )

f t = t − =t t t−

Do 1≤ ≤t 2⇒ f '( )t > ∀ ∈ 0 t 1, 2 

( )1 ( ) ( )2 1 ( ) 2 2 1

2

Vậy với 1, 2 2 1

2

m∈ − 

  thì phương trình ñã cho có nghiệm

Bài 2:

4 2 1( )2 4 2 1( )2 1

−

1./ Ta thấy

2 4

2 1 0

4

2

n

n n

n

−

 

 

 

Mà

2

4

2

n

π

→∞

 

 

  = (do 1

4

π < )

lim n 0

n U

→∞

Tương tự, lim n 0

n V

2./ Với 0,

4

x  π

∈   thì 0≤s inx, os2c x≤ 1

2 1

0 x n− x, 0 s inx n sin , 0x cos2x n− cos2 x

Vậy:

2 4

0

32

n

n n

xdx

π

π

−

−

∫

Bài 3:

( )

f f x = x+ +

1./ Ta có f x( )1 = f x( )2 ⇒ f (f x( )1 )= f (f x( )2 )

( ) ( )

2./ Theo câu 1./, f x( ) ñơn ánh, kết hợp với f x( )liên tục trên ℝ ⇒ f x( ) ñơn ñiệu

trên ℝ

Nếu f x( ) ñơn ñiệu giảm trên ℝ

Từ giả thiết ta cóf (f x( ) )> + > ⇒x 1 x f(f f x( ( ) ) )> f x( )

Và f (f f x( ( ) ) )< f x( )(Do f x( ) ñơn ñiệu giảm trên ℝ.)

Mâu thuẫn suy ra f x( ) ñơn ñiệu tăng trên ℝ

x f f x

x f x

( )

( )

( )

( )

( )

5

1

+

( )

( )

( )

1

x

f x

f x

→+∞

+

=

Bài 4:

Gọi H K lần lượt là hình chiếu của C, D xuống ,

(P) I là giao ñiểm của CD HK Ta có: ,

CA AB BD

Vậy ta cần xác ñịnh A, B ñể

CH +HA + DK +KB ñạt giá trị nhỏ nhất

Theo BðT Mincopxki ta có:

CH +HA + DK +KB ≥ CH+DK + HA KB+



D

A

B H

K P

I

Dấu bằng xảy ra khivà chỉ khi:

, , ,

A H K B thẳng hàng (theo thứ tự ñó nếu a>HK, theo thứ tự H K A B, , , khi

a<HK, A≡H B, ≡K KHI a=HK) và:

IA

KB = DK = IK = IB ⇒ a =CH DK ⇒ =CH DK

Tóm lại: CA+AB+BD ñạt giá trị nhỏ nhất khi A,H nằm về 1 phía so với I và

a CH IA

= +

Bài 5:

1cos k x1 2cos k x2 n cos k x n 0, x

Quy nạp theo n

Với n = , khẳng ñịnh của bài toán hiển nhiên ñúng 1

Giả sử khẳng ñịnh ñã ñúng ñến n −1

Với n ðặt f x( ) là vế trái của (1)

Ta có:

f x k λc k x k λc k x k λ c k x x

( ) 2 ( )

" 0,

n

1

1 1

n

i

−

=

Theo giả thiết quy nạp ta có( 2 2)

0, 1, 1

i n i

k −k λ = ∀ =i n−

Do k i i, =1,n−1 là các số thực dương khác nhau ⇒λi =0, ∀ =i 1,n−1

0

n

λ

Theo nguyên lý quy nạp ta có dpcm

CHÚC CÁC BẠN ÔN TẬP TỐT