Với α ≤ 1, ta sẽ chứng minh không tồn tại giới hạn trên.. x α −1 1− α Dễ dàng chứng minh ñược giới hạn này không tồn tại bằng phản chứng... ðiều vô lý dẫn ñến không tồn tại giới hạn trên
Trang 1ðÁP ÁN
Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài năng và Kỹ sư chất lượng cao
Năm 2005
Môn thi: Toán
Bài 1:
1
1
n
u
+ = + (1)
1./ Giả sử tồn tại lim n
n u l
l
→ +∞ ⇒ = + Phương trình này
vô nghiệm ⇒ không tồn tại giới hạn lim n
n u
→∞
2./ Do u0 = > ⇒1 0 u n > ∀ ⇒0, n { }u n là dãy tăng
Giả sử ∃M u: n <M,∀ ⇒n { }u n bị chặn trên
{ }u n
⇒ hội tụ Mâu thuẫn với câu 1./
Vậy giả sử sai lim n
n u
→∞
Bài 2:
Do f x( ) liên tục trên [ ]0,b ⇒ ∃F x( ) là nguyên hàm của f x( ) trên ñoạn ñó
Theo ñịnh lý Lagrange ∃ ∈c ( )0,a d, ∈( )(a b c, <d):
( ) ( ) ( )
Vậy BðT ở ñề bài tương ñương với: (b a f c a− ) ( ) ≥a f d ( )(b a− )
Do f x( ) là hàm số ñơn ñiệu giảm⇒ f c( )≥ f d( ) Mà (b a a− ) ≥0 nên BðT ñã
cho ñúng
Trang 2Bài 3:
Xét hàm số g x( )= f x( )−sinx với 0,
2
∈
Nếu ∃x0:g x( )0 = ⇒0 dpcm
0
2
π
π
Nếu ∃x1:g x( )1 <0
Kết hợp với (1) và do g x( ) liên tục trên 0, 0: ( )0 0 ( )0 sin 0( )
π
Bài 4:
( ) sin1 khi x 0 ( )
0 khi x = 0
x
α
α
Ta có 0 x asin1 x
x
α
0
x xα
→ = do α > 0
0
→ = = nên f x( ) liên tục trên ℝ
Rõ ràng với ∀ ,α f x( ) có ñạo hàm tạo ∀ ≠ Ta phải tìm x 0 α ñể tồn tại f ' 0 ,( ) tức
là tồn tại giới hạn ( ) ( )
f x f
x
α −1
Tương tự như trên, giới hạn trên tồn tại nếu α > 1
Với α ≤ 1, ta sẽ chứng minh không tồn tại giới hạn trên
x
α −1 1− α
Dễ dàng chứng minh ñược giới hạn này không tồn tại bằng phản chứng
t t −α t M
Trang 3Cho t=kπ ⇒M = nhưng ñiều này là không thể vì với 0 2 , 0
t
π
1 1
2
α
π
−
không thể nhỏ hơn ε(εñủ nhỏ) ðiều vô lý dẫn ñến không tồn tại giới hạn trên
Kết luận: α > 1
Bài 5:
f x( +y)= f x( )+ f y( )+2xy, ∀x y, ∈ ℝ (1)
1
g x = f x −x ⇒ ⇔ f x+y − x+y = f x −x + f y −y
⇔g x( +y)=g x( )+g y( ) (2)
Do f x( ) có ñạo hàm liên tục trên ℝ nên g x( ) có ñạo hàm liên tục trên ℝ
Cho x= = ⇒y 0 g( )0 =2g( )0 ⇒g( )0 =0
Ta có: ( )2 g x( y) g x( ) g y( ) g( )0
Cho y→ ⇒0 g x'( )=g' 0 ,( ) ∀ ∈ ℝx
ℝ
Thay vào (1) ⇒ = d 0
Vậy ( ) 2
f x =x +cx