dap an mon toan ky su tai nang bkhn 2004

dap an mon toan ky su tai nang bkhn 2004 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...

Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008

ðÁP ÁN

Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài năng và Kỹ sư chất lượng cao

Năm 2004

Môn thi: Toán

Bài 1:

x

x

→±∞

→±∞

=

Nhận xét, ñể tồn tại giới hạn trên, cả tử và mẫu phải có cũng bậc và hệ số cao nhất

của tử và mẫu phải bằng nhau, ñiều này tương ñương với:

2 109

46

109

14 109

a

c

 = −



=



Bài 2:

( ) 2

' 3 2 9

f x = x − mx−

Ta thấy phương trìnhf '( )x =0 luôn có 2 nghiệm trái dấu x x do 1, 2 ac < và 0

( ) ( )

2

2

2

9

m

2

Vậy 2 ñiểm cực trị của hàm số ñồ thị hàm số y= f x( ) nằm ở 2 phía của trục

hoành

Lại do f x( ) là ña thức bậc 3 nên phương trình f x =( ) 0 luôn luôn có 3 nghiệm

phân biệt

Bài 3:

Từ: f x( )1 − f x( )2 < x1−x2

Cho x1→x2⇒ f x( )1 → f x( )2 ⇒ f x( )liên tục trên [ ]0,1

Trước hết ta chứng minh tồn tại x0∈[ ]0,1 : f x( )0 =x0 (1)

Theo giả thiết: f ( )0 ≥0,f ( )1 ≤1

22

Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008

Nếu 1 trong 2 BðT trên xảy ra dấu bằng⇒( )1 ñúng

Nếu ( )

( )

f

f

>



 <

 Xét hàm số g x( )= f x( )−x x, ∈[ ]0,1 ⇒g x( )liên tục trên [ ]0,1

Mà g( )0 >0,g( )1 < ⇒ ∃ ∈0 x0 [ ]0,1 :g x( )0 = ⇒0 f x( )0 =x0

Vậy (1) luôn ñúng

Giả sử tồn tại a b, ∈[ ]0,1 : f a( )=a f b, ( )=b a, ≠b

Theo giả thiết: a b− = f a( )− f b( ) < −a b Vô lý ⇒ Gải sử sai

Vậy tồn tại duy nhất số x thỏa mãn 0 f x( )0 =x0

Bài 4:

1./ ( ) ( )

f x dx ≤ f x dx

Chia [ ]a b, thành các ñoạn nhỏ mà trên mỗi ñoạn ñó f x( ) không ñổi dấu

Giả sử a=x0< x1<x2 < < x n =b là các ñiểm chia

2./ Ta thấy, với ∀ ∈x ( )a b, , ∃ ∈t (a x k, ), ∈( )x b, :

| ( ) | | ( ) ( ) | | '( ) | ( ) ( ).

| ( ) | | ( ) ( ) | | '( ) | ( ) ( )

f x dx ≤ f x dx

2

2

2

M

a

23