Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN... Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN.. Dấu bằng xảy ra khi x=a.
Trang 1Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008
ðÁP ÁN
Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài năng và Kỹ sư chất lượng cao
Năm 2002
Môn thi: Toán
Bài 1:
2 1
x
+ (1)
1
x
x
Xét 3 trường hợp:
*)TH1: x >0
x
x
+ Vậy trong trường hợp này, BPT vô nghiệm
*)TH2: x <0
x
x
−
*)TH3:x =0⇒ BPT ñúng
Vậy nghiệm của BPT là 1và 0
2
2./
ðiều kiên cần:
Giả sử m là số thỏa mãn
2
2
1
1 0, 0 0 3 1
x
x
x
x
+
+
Cho x → 0+ ⇒ + ≤ ⇒ m 1 0 m ≤ − 1.
ðiều kiện ñủ:
Với m = − 1. Thay vào ta thấy BPT ñúng với mọi x ∈ ℝ
Kết luận m = − 1.
18
Trang 2Vũ Hữu Tiệp K52- ĐTVT-KSTN-ĐHBKHN Hà Nội, tháng 8/2008
Bài 2:
Từ giả thiết ta có: x n > − ∀ 1, n
Do
= < ⇒ < − ⇒ < <
⇒ − < < − ⇒ < < < ⇒ ⇒ − < < − ∀ >
ðặt ( ) 2 1
2
x
Xét phương trình ( ) , 7, 1
, có nghiệm α = −1 3.
Theo ñịnh lý Lagrange, tồn tại βn nằm giữa α và x thỏa mãn: n
( ) ( ) ( ) 1
2
' 7
8
n n
+
−
< − < − = <
Bài 3:
Ta có f x( )liên tục trên [ ]0,1 và f ( )0 = f ( )1 =0, theo ñịnh lý Roll, ∃ ∈x0 [ ]0,1
sao cho f '( )x0 = ⇒0 phương trình a0+a x1 +a x2 2+ + a2002x2002 = có nghiệm trên 0
ñoạn [ ]0,1
Bài 4:
Xét hàm số: h x( )= f a( )−g x( )= f a( )− f x( ) (− a−x f) ( )' x
Theo ñịnh lý Lagrange, ∃ nằm giữa a và x thỏa mãn x0
f a( )− f x( )= f '( )(x0 a−x)
Do ñó: h x( ) (= a−x) (f '( )x0 − f'( )x )
Vì f"( )x ≥0, ∀ ∈ ⇒x ℝ f '( )x ñồng biến ⇒(a−x) và 'f ( )a − f'( )x cùng dấu
( ) 0, ( ) ( ),
Dấu bằng xảy ra khi x=a
Vậy maxg x( )= f a( )
19