dap an mon toan ky su tai nang bkhn 2000

dap an mon toan ky su tai nang bkhn 2000 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả...

ðÁP ÁN

Kỳ thi chọn hệ Kỹ sư tài năng và Kỹ sư chất lượng cao

Năm 2000

Môn thi: Toán

Bài 1:

Xét g x( )= −x ln 1( +x) có '( ) 1 1 0, (0, )

1

x

+ ( )

g x

⇒ ñồng biến trên (0, +∞)

Từ cách xác ñịnh dãy ⇒x n >0, ∀ ≥ n 1

Vậy { }x n là dãy giảm và bị chặn dưới bởi 0⇒{ }x n hội tụ

Giả sử lim n

n x l

→∞ = khi ñó l là nghiệm của phương trình g x( )= ⇒ =0 l 0

Vậy lim n 0

n x

Bài 2:

Từ gải thiết ta có: ( )1 ( )2 2

−

−

Cố ñịnh x , cho 2 x1→x2

1 2

2

x x

x x

f x f x

x x

→

−

− ðiều ñó nghĩa là:

Vậy f x( ) là hàm hằng

Bài 3:

0

x kx

0

x kx

0

x

F x ≤F = ∀ ≥ ⇒x ∫ f t dt≤ ∀ ≥x

Gỉa sử tồn tại x0≥0 : f x( )0 >0, do f x( ) liên tục nên 0 ( )

0

0

x

f t dt >

∫

ðiều mâu thuẫn chứng tỏ f x( )= ∀ ≥0, x 0

Bài 4:

Không giảm tổng quát, giả sử x < (trường hợp x y y = BðT hiển nhiên ñúng)

Ta có: f tx( + −(1 t y) )≤tf x( ) (+ −1 t f y) ( )

⇔ −(1 t) ( ) (f y − f tx( + −(1 t y) ) )≥t f tx( ( + −(1 t y) )− f x( ) ) (1)

Áp dụng ñịnh lý Lagrange, ∃ ∈a (x tx,( + −(1 t y) ) )

và b∈( (tx+ −(1 t y) ),y) (a<b)

thỏa mãn: f y( )− f ( (tx+ −(1 t y) ) )= f '( )b (y−(tx+ −(1 t y) ) )

= f '( ) (b t y −x)

và f ( (tx+ −(1 t y) ) )− f x( )= f '( )a ( (tx+ −(1 t y) )−x)

= f '( ) (a 1−t) ( y−x)

Vậy (1) ⇔ f '( ) (b t 1−t)(y−x)≥ f '( ) (a t 1−t)(y−x) (2)

Do f "( )x > ∀ ∈ ⇒0 x ℝ f '( )x ñồng biến trên ℝ

Và t(1−t)(y−x)> ∀ <0 x y t, ∈( )0,1

Vậy (2) ñúng, từ ñó BðT cần chứng minh ñúng

Bài 5:

1 2

1 k x 2 k x k x n 0,

n

a e + a e + + a e = ∀ ∈ℝ x (1)

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n

Với n =1, hiển nhiên ae kx = ∀ ∈ ⇔ =0, x ℝ a 0

Giả sử khẳng ñịnh ñúng ñến n −1

ðặt f x( ) là vế trái của phương trình ðạo hàm 2 vế của (1) ta có:

1 2

1 1 k x 2 2 k x k x n 0,

n n

k a e +k a e + +k a e = ∀ ∈ ℝ x

Vậy k f x n ( )− f '( )x =0, ∀ ∈ ℝx

1

0,

i

n

k x

n i i i

−

=

Theo giả thiết quy nạp ⇒(k n−k a1) 1=(k n−k a2) 2 = = (k n−k n−1)a n−1=0

Do các k khác nhau ñôi một nên i a1=a2 = = a n−1 = 0

Từ ñó hiển nhiên a = n 0

Theo nguyên lý quy nạp, bài toán ñược chứng minh