SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 05 trang I Hướng dẫn chung: 1 Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí si
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KÌ THI CHỌN HSG LỚP 9 NĂM HỌC 2014 – 2015
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
(05 trang)
I) Hướng dẫn chung:
1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định
2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch
hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo
3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả
4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó
II) Đáp án và thang điểm:
Câu 1
(1,5 đ)
A
a) (1,0 điểm) Rút gọn biểu thức A
Điều kiện:
0
3 0
1 0
1
x
x x x x
Từ đó: x 0; x 1; x 4 0,25
Biến đổi:
2 6 7
2 3 7 7 9
2
0,25
A
b) (0,5 điểm) Tìm x để A 6
2
x
x
7 x 21 x 9(thỏa mãn điều kiện) Vậy để A 6 thì x 9 0,25
Trang 2Trang 2 / 5
Câu 2
(1,5 đ)
x my
(với m là tham số)
a) (0,5 điểm) Giải hệ phương trình trên khi m 10
2 10 5 2 10 5
50 52
x-10y=10 x=15
0,25
x
Kết luận: với m 10 thì hệ có nghiệm duy nhất:
15 52 23 52
x y
0,25
b) (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình đã cho có nghiệm x y; thỏa mãn hệ
4
x y
m
Dùng phương pháp thế, ta có:
2 2
x my
2 2
2 2
2
2
mx
y
mx
0,25
2
2
2
2 10 2
4 2
5 4 4
4
m
, m R m
m
Nên hệ luôn có nghiệm duy nhất: 2
2
2 10 4
5 4 4
m x m
, m R m
y m
0,25
2
2014
4
x y
m
2014 7 8050 2015 14 8056
0,25
6
m m
Kết luận: để hệ phương trình đã cho có nghiệm x; y thỏa mãn hệ thức:
0,25
Trang 32 2
2015 14 8056 2014
4
x y
m
1 6
m m
Câu 3
(3,0 đ)
a) (1,5 điểm) Cho ba số thực dương a b c , , thỏa mãn a b c 1 Tìm giá trị
P
Chứng minh:
( a2 b2 c2)( x2 y2 z2) ( ax by cz )2, a b c x y z , , , , , R (1)
Thật vậy:
(1) ( a y 2 abxy b x ) ( a z 2 acxz c z ) ( b y 2 bcyz c z ) 0
( ay bx ) ( az cx ) ( by cz ) 0
Dấu " "
ay bx
az cx
by cz
0,25
a
Dấu 1
" "
3
a b c
0,25
3 2 1
1 1
c a
a
b c a b c a b c
1
a b c
0,25
2
1
a b c
Do ab bc ca ( )2
3
a b c
0,25
1
3
m
b) (1,5 điểm ) Tìm tất cả các cặp số nguyên ( ; ) x y thỏa mãn:
2
x x x y y
( x x ) ( x 1) 4 y 4 y 1
( x 1)( x2 1) (2 y 1)2 (1) 0,25
Giả sử ( x 1, x2 1) d d lẻ và x2 1 ; d x2 1 d 2 d d 1 0,25
Vì ( x 1)( x2 1) là số chính phương, ( x 1, x2 1) 1 nên ( x 1)và( x 2 1) cũng là
Trang 4Trang 4 / 5
Do x 0 x2 x2 1 ( x 1)2 x2 1 ( x 1)2 x 0 0,25
(1) 4 ( 1) 0
1
y
y y
y
Vậy có hai cặp số nguyên x y ; thỏa mãn yêu cầu bài toán là: (0;0),(0;1)
0,25
Câu 4
(3,0 đ)
Cho đoạn thẳng AC có độ dài bằng a Trên đoạn AC lấy điểm B sao cho
4A
AC B Tia Cx vuông góc với AC tại điểm C , gọi D là một điểm bất kỳ
thuộc tia Cx (D không trùng với C) Từ điểm B kẻ đường thẳng vuông góc với
AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K , E.
a) (1,0 điểm) Tính giá trị DC CE theo a
ACD
DC AC
DC CE AC BC
BC EC
;
4
a
b) (1,0 điểm) Xác định vị trí điểm D để tam giác BDE có diện tích nhỏ nhất
1 2
S BC DE S nhỏ nhất khi và chỉ khi DE nhỏ nhất 0,25
Ta có:
2
3
4
a
DE DC EC DC EC a ( Theo chứng minh phần a)
Dấu 3
" "
2
a
DC EC
0,5
(BDE)
S
2
3 3 8
a
khi D thuộc tia Cx sao cho 3
2
a
Trang 5c) (1,0 điểm) Chứng minh rằng khi điểm D thay đổi trên tia Cx thì đường tròn
Gọi giao điểm của đường tròn đường kính DE với đường thẳng AC là M, N ( M nằm giữa
Ta có: Hai tam giác AKB và ACD đồng dạng (g-g)
AK AB AK AD AC AB
AC AD
Hai tam giác AKM và AND đồng dạng (g-g)
AN AD
0,25
T ừ (1) v à (2) suy ra
2
4
a
AM AN AC AB
2
4
a
2
0,25
,
M N
là hai điểm cố định
Câu 5
(1,0 đ)
; ; ; ; ;
1 2 3 2014 2015
Người ta biến đổi dãy nói trên bằng cách xóa đi hai số u, v bất kỳ trong dãy và
viết thêm vào dãy một số có giá trị bằng u v uv vào vị trí của u hoặc v. Cứ
chỉ còn lại một số Chứng minh rằng giá trị của số cuối cùng đó không phụ
thuộc vào việc chọn các số u, v để xóa trong mỗi lần thực hiện việc biến đổi dãy,
hãy tìm số cuối cùng đó.
Với hai số thực u ,v bất kỳ ta luôn có:
u 1 v 1 u v uv 1 u v uv 1 (*) 0,25 Với dãy số thực bất kỳ a ;a ; ;a1 2 2015, ta xét “Tích thêm T ”:
1 1 2 1 3 1 2015 1
T a a a a
Áp dụng cách biến đổi dãy như trong đề bài kết hợp với nhận xét (*), ta nhận thấy “Tích
thêm T” không thay đổi với mọi dãy thu được
0,25
Với dãy đã cho ban đầu của bài toán, “Tích thêm T”:
T
0,25
Giả sử sau 2014 lần biến đổi tùy ý theo yêu cầu, dãy còn lại chỉ còn một số là x thì “Tích
thêm T” đối với dãy cuối là: T x 1
Vậy ta có: x 1 2016 x 2015
Bài toán được giải quyết; và sau 2014lần biến đổi dãy theo đúng yêu cầu của bài toán ta thu
được số 2015
0,25