Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)

Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)Tính chất nhân tử của tổng lũy thừa các số nguyên (LV thạc sĩ)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

1.1 Công thức tính tổng lũy thừa Pk(n) 3

1.1.1 Mở đầu về tổng lũy thừa của các số tự nhiên liên tiếp 3 1.1.2 Công thức tính Pk(n) 6

1.2 Tính chất nhân tử của Pk(n) 12

1.2.1 Phương pháp quy nạp 12

1.2.2 Đa thức Bernoulli và tính nhân tử của Pk(n) 17

2 Tổng lũy thừa các hệ số nhị thức 23 2.1 Biểu diễn đa thức của tổng lũy thừa các hệ số nhị thức 23

2.1.1 Mở đầu về tổng lũy thừa các hệ số nhị thức 23

2.1.2 Biểu diễn đa thức của tổng các tích của hệ số nhị thức 27 2.2 Định lý Faulhaber cho tổng lũy thừa các hệ số nhị thức 30

2.2.1 Các hàm phản xạ 30

2.2.2 Định lý kiểu Faulhaber 33

2.2.3 Tính chất chia hết của fk,m(x) 35

2.3 Tổng lũy thừa nghịch đảo của các hệ số nhị thức 42

2.3.1 Trường hợp tổng quát 42

2.3.2 Tổng nghịch đảo của lũy thừa các số tam giác 45

Lời cảm ơn

Trong quá trình học tập và làm luận văn tác giả luôn nhận được sự độngviên, khuyến khích và tạo điều kiện giúp đỡ nhiệt tình của các cấp lãnh đạo,của các thầy giáo, cô giáo anh chị em, bạn bè đồng nghiệp và gia đình.Với tình cảm chân thành tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới:

Khoa Toán-Tin và Phòng Đào tạo, Trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên, các thầy, cô giáo tham gia giảng dạy cung cấp những kiến thứcgiúp tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà TrầnPhương, người trực tiếp hướng dẫn khoa học đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ,góp ý để tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả xin cảm ơn lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo Tuyên Quang, BanGiám hiệu Trường Phổ thông Dân tộc Nội trú THPT tỉnh Tuyên Quang cùngvới những người thân, bạn bè đồng nghiệp đã tận tình giúp đỡ tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luậnvăn

Dù đã rất nghiêm túc và cố gắng thực hiện luận văn này, nhưng với trình

độ hạn chế cùng nhiều lý do khác, luận văn chắc chắn không tránh khỏinhững khiếm khuyết nhất định Kính mong sự góp ý của các thầy cô để luậnvăn này được hoàn chỉnh

Tác giả

P1(n) = 1

2n (n + 1)

Rất tiếc phương pháp đơn giản của Gauss lại không thực hiện được với tổngbình phương, lập phương, v,v Về sau có nhiều nhà toán học khác xâydựng các công thức tính tổng lũy thừa các số tự nhiên liên tiếp Pk(n) vànghiên cứu một số tính chất của Pk(n), đặc biệt tính chất nhân tử Tức làcác tác giả đã chứng minh đại lượng n (n + 1) (2n + 1) là thừa số của Pk(n)

nếu k là số chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 và đại lượng n2(n + 1)2 là thừa số của

Pk(n) nếu k là số lẻ lớn hơn hoặc bằng 3 (xem [1], [3], )

Năm 2013, A S Dzhumadil’daev và D Yeliussizov đã nghiên cứu tổng lũythừa các hệ số nhị thức là một mở rộng tự nhiên của tổng lũy thừa của các

số tự nhiên liên tiếp Trong bài báo đó các tác giả cũng đã chứng minh đượcmột số tính chất của tổng lũy thừa này, đặc biệt là tính chất nhân tử giốngnhư tính chất của tổng lũy thừa của các số tự nhiên liên tiếp

Với mục đích trình bày lại một số kết quả nghiên cứu về tính chất nhân tửcủa tổng lũy thừa các số nhị thức và một trường hợp đặc biệt là tổng lũy các

số tự nhiên liên tiếp, chúng tôi chọn đề tài "Tính chất nhân tử của tổnglũy thừa các số nguyên" Luận văn gồm hai chương:

Chương 1 : Tổng lũy thừa các số tự nhiên liên tiếp Trong chương nàychúng tôi trình bày một số kiến thức mở đầu về tổng lũy thừa của các số

tự nhiên liên tiếp, công thức tính tổng Pk(n) và giới thiệu tính chất nhấn tửcủa Pk(n) bằng hai phương pháp: quy nạp và sử dụng tính chất của đa thứcBernoulli

Chương 2:Tổng lũy thừa của các hệ số nhị thức Trong chương này chúngtôi trình bày lại một số kết quả nghiên cứu của A S Dzhumadil’daev và D.Yeliussizov ([3]) về tính chất biểu diễn đa thức, tính chất nhân tử, tính chấtchia hết tổng lũy thừa của các hệ số nhị thức

Chương 1

Tổng lũy thừa các số tự nhiên liên

tiếp

1.1 Công thức tính tổng lũy thừa Pk(n)

1.1.1 Mở đầu về tổng lũy thừa của các số tự nhiên liên tiếp

Cho k, n là các số nguyên không âm Với k, n> 1, ta kí hiệu

Pk(n) = 1k + 2k+ + (n − 1)k + nk,

là tổng các lũy thừa bậc k của các số nguyên dương liên tiếp từ 1 đến n.Quy ước Pk(0) = 0 với mọi k > 0 và P0(n) = n với mọi n > 0, khi đó ta

sẽ có Pk(n) với k, n là các số nguyên không âm Do Pk(0) = 0 và P0(n) = n

với mọi k, n nên đối với tổng Pk(n) ta chủ yếu chỉ quan tâm xem xét trongtrường hợp k, n > 1

Rất tiếc, phương pháp đơn giản và tự nhiên này lại không sử dụng được khitính tổng bình phương, lập phương, v,v .

Có nhiều cách khác nhau để tính tổng Pk(n), chẳng hạn: dự đoán côngthức sau đó chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học hoặc

sử dụng kỹ thuật rút gọn, trong đó kỹ thuật rút gọn là khá hữu hiệu Kỹthuật rút gọn có ý tưởng được xuất phát từ việc tính tổng

1

1.2 +

12.3 +

13.4 + +

1(n − 1) n =

Jakob Bernoulli đã cũng đã dùng ý tưởng này vào việc chứng minh tính phân

kỳ của chuỗi điều hòa 11 + 12 + 13 +

Sử dụng kỹ thuật rút gọn trong việc tính tổng lũy thừa các số nguyêndương ta có kết quả:

Mệnh đề 1.1 ([8]) Cho n, k là các số tự nhiên Khi đó tổng lũy thừa bậc k

của các số tự nhiên liên tiếp từ 0 đến n được tính truy hồi bởi công thức

!

Pk+1−r(n) , (1.2)

Nhận xét 1.2 Thực hiện quy nạp công thức theo (1.1) ta nhận thấy Pk(n)

là một đa thức của n bậc k + 1 với mọi số tự nhiên k với hệ số của lũy thừacao nhất là k+11

bậc hai Sử dụng công thức (1.1) ta suy ra Pk(n) là một đa thức bậc (k + 1)

với mọi số tự nhiên k Do đó ta có thể biểu diễn Pk(n) như sau:

Pk(n) = a1n + a2n2 + + aknk + ak+1nk+1,

trong đó a1, a2, ak, ak+1 là các hằng số

Bây giờ ta tính toán các hệ số a1, a2, , ak+1 Ta viết as dưới dạng

as = fs(k) (s ∈ N, 0 < s 6 k + 1)

bs = f (k, a1, a2, , ak, ak+1) (0 < s ≤ k + 1)

Điều này kéo theo bs = 0 (s 6= k) còn bk = 1 Vì a1, a2, , ak, ak+1 là hằng

số nên bs được viết dưới dạng f (k), trong đó k là số tự nhiên đã biết Ta có

Điều này kéo theo

với 0 < s < k + 1 Định lý được chứng minh

Chú ý 1.4 Ta có thể viết công thức (1.3) dưới dạng

với 0 < k < 4 nên

a3 = 13!.

a2 = 12!.

a1 = 11!.

Từ các ví dụ này ta thấy

Nhận xét 1.6 Với mỗi 26 k 6 10, n2(n + 1)2 là nhân tử của Pk(n) với k

là các số lẻ, n (n + 1) (2n + 1) là nhân tử của Pk(n) với k chẵn Hiển nhiên,với mọi 1 6 k 6 10, Pk(n) luôn chia hết cho n(n + 1)

Nhận xét 1.6 cho chúng ta một tính chất được gọi là tính chất nhân tử củatổng Pk(n) Nhận xét dựa trên quan sát trực tiếp các tổng lũy thừa Pk(n)

với những giá trị k 6 10 Bây giờ ta sẽ nghiên cứu tính chất này cho các giátrị k tùy ý

Có một số kỹ thuật để chứng minh Nhận xét1.6 vẫn còn đúng trong trườnghợp k tùy ý Trong luận văn này chúng tôi giới thiệu kỹ thuật quy nạp và kỹthuật sử dụng đa thức Bernoulli Trước hết chúng ta sẽ nghiên cứu phươngpháp quy nạp, trong phần tiếp theo ta sẽ sử dụng đa thức Bernoulli để chứngminh tính chất nhân tử của Pk(n)

Với mỗi số k cố định, ta có thể xem Pk(n) là hàm của biến nguyên không

âm n Bây giờ ta sẽ mở rộng khái niệm này cho biến thực, việc mở rộng nàycho phép chúng ta sử dụng được một số tính chất tốt hơn, chẳng hạn tínhtoán đạo hàm, các nghiệm không nguyên, v.v Để thấy rõ sự thay đổi này,

ta viết Qk(x) thay cho Pk(n) và từ công thức (1.1), ta xác định đa thức

Qk(x) một cách đệ quy với k ∈ N như sau

!

Qk+1−r(x) (1.9)

Khi đó Qk(x) là một đa thức bậc k + 1 của x với mọi số nguyên không âm

k, với hệ số lũy thừa cao nhất là k+11 Bây giờ khẳng định rằng x2(x + 1)2 làthừa số của Qk(x) với k ≥ 3 là số lẻ và x(x + 1)(2x + 1) là thừa số Qk(x)

!

Q0k+1−r(x)

Trong (1.9) ta thay k bởi k − 1 ta có:



Từ Q01(x) − Q0(x) = 1

2 không phụ thuộc vào x, nên bằng quy nạp có thể

chứng minh đượcQ0k(x)−kQk−1(x) chỉ phụ thuộc vàok và không phụ thuộcvào x với mọi k ∈ N, tức là Q0k(x) − kQk−1(x) là hằng số đối với biến x

(phụ thuộc k) với mọi k ∈ N.

Bây giờ ta sẽ nghiên cứu một số tính chất của tổng lũy thừa các số nguyênđược phân tích dưới dạng nhân tử

Định lý 1.7 ([8]) Đại lượng x2(x + 1)2 là thừa số của Qk(x) nếu k là số lẻlớn hơn hoặc bằng 3 và x (x + 1) (2x + 1) là thừa số của Qk(x) nếu k là sốchẵn lớn hơn hoặc bằng 2

Chứng minh Tính toán trực tiếp ta thấy

Ta thay thế liên tiếp ntrong đẳng thức này bằng n − 1, n − 2, , 2, 1 và cộngtương ứng các vế của đẳng thức này, ta được

Phương trình này cho một hệ thức đệ quy tính toán Pk(n) qua Pk−2(n),

Pk−4(n) , Ta có thể mở rộng công thức cho Qk bằng cách thay thế Pk bởi

Qk trong phương trình trên, ta được:

2(k + 1)Qk(x) =(x + 1)k+1 + xk+1 − 1

− 2



k + 13

k + 1k

Điều này kéo theo (x + 1)2 là thừa số của Qk(x) với k ≥ 3, là số lẻ Bởi vậy

x2(x + 1)2 là nhân tử của Qk(x) với k ≥ 3, là số lẻ

Nếu k ≥ 2 là số chẵn, khi đó số hạng cuối cùng trong phương trình (1.10)là:



=



12

k+1

+



−12

k+1

− 1 − 2 (0) + 1 = 0

Kéo theo x(x + 1)(2x + 1) là một thừa số của Qk(x) với k ≥ 2 và là số chẵn.Định lý được chứng minh hoàn toàn.

1.2.2 Đa thức Bernoulli và tính nhân tử của Pk(n)

Trước hết ta nhắc lại đa thức Bernoulli Đa thức Bernoulli có thể được xácđịnh bằng nhiều cách, phương pháp đơn giản nhất là xác định trực tiếp thôngqua hàm số như sau:

z−→∞

Ta chứng minh được Bk(x) là một đa thức, được gọi là đa thức Bernoullithứ k Sử dụng phương pháp này ta dễ dàng tính toán được các đa thứcBernoulli Chẳng hạn:

Vì hệ số của zk trong ∂G (z, x)

Bk−1(x)(k − 1)!. Mặt khác,

Ta sẽ chỉ ra cách xác định các đa thức Bernoulli bằng phương pháp truyhồi sẽ xác định cho ta một dãy Bk duy nhất và cũng trùng với các đa thứcBernoulli xác định trực tiếp thông qua hàm số Thật vậy, trước tiên ta sẽ chỉ

ra rằng ta có các đa thức thỏa mãn các điều kiện trên Gọi H(z, x) đã chobởi tổng

H (z, x) dx = 1

f (z)

Z 1 0

B0k(x)dx =

Z 1 0

kBk−1(x)dx

Hơn nữa

Z 1 0

B0k(x)dx = Bk(x) x = 1

x = 0 = Bk(1) − Bk(0)

và

Z 1 0

B1(x + 1) − B1(x) =



x + 12



−



x − 12

Tích phân hai vế đẳng thức trên ta có

Chứng minh Thêm z/2 vào biểu thức của G(z, 0) trong (1.17) ta có

ez2 + e−z2

ez2 − e−z2

!

Phương trình này chỉ ra rằng G (z, 0) + z2 là một hàm chẵn của z, vì vậy

B2k+1(0) = 0 với mọi k ≥ 1 (Chú ý rằngB1(0) 6= 0) Sử dụng kết quả trước

ta suy ra B2k+1(1) = 0 với mọi k ≥ 1

Hệ quả 1.13 ([8]) Từ (1.19) ta thấy: nếu k ≥ 2 và là số chẵn thì



= Bk+1

1 2

Định lý 1.15 ([8]) Đại lượng n (n + 1) (2n + 1) là thừa số của Pk(n) nếu k

là số chẵn lớn hơn hoặc bằng 2 và đại lượng n2(n + 1)2 là thừa số của Pk(n)

nếu k là số lẻ lớn hơn hoặc bằng 3

Chứng minh Trường hợp k ≥ 2 và là số chẵn, ta có:

Pk(0) = Bk+1(1) − Bk+1(1)

= 0

Từ đó suy ra rằng n (n + 1) (2n + 1) là một thừa số của Pk(n)

Với k ≥ 3 và là số lẻ Trong trường hợp này ta có Pk(−1) = 0 và

P0k(−1) = B

0 k+1(0)

k + 1 = Bk(0) = 0

Pk(0) = 0

P0k(0) = B

0 k+1(1)

k + 1 = Bk(1) = Bk(0) = 0.

Từ đó suy ra rằng n2(n + 1)2 là một thừa số của Pk(n)

Chương 2

Tổng lũy thừa các hệ số nhị thức

2.1 Biểu diễn đa thức của tổng lũy thừa các hệ số nhị thức

2.1.1 Mở đầu về tổng lũy thừa các hệ số nhị thức

Như đã trình bày trong Chương 1, có hai nhà toán học đã có những nghiêncứu mạnh mẽ về tổng lũy thừa của các số nguyên liên tiếp không âm, đó là:

J Bernoulli (1654-1705) và J Faulhaber (1580-1635) Trong bài báo [4, 6],các tác giả đã đề cập đến những ý tưởng của Faulhaber: Ông cho rằng, tổnglũy thừa của các số nguyên lẻ có thể biểu diễn được dưới dạng đa thức của

t = n(n + 1)/2 và Ông đã tính toán các tổng trên đến bậc 17 Về sau, Jacobi[5] đã chứng minh khảng định này của Faulhaber Trong chương này, chúng

ta xem xét tổng lũy thừa các hệ số nhị thức Hai trường hợp đặc biệt củatổng này là tổng lũy thừa của các số tự nhiên liên tiếp và tổng lũy thừa củacác số tam giác Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [3].Trước hết ta có một số khái niệm và tính chất về số tam giác và hệ số nhịthức

Số tam giác

Với mỗi một số tự nhiên n, số tam giác thứ n, kí hiệu là Tn là số lượng cácchấm sáng trên một tam giác với n điểm trên một cạnh, như hình trong sơ

đồ dưới đây:

Hình 2.1:

Dễ dàng nhận thấy rằng Tn chính bằng tổng các số tự nhiên từ 1 đến n.Các dãy số tam giác, bắt đầu từ số 0 tạo thành dãy sau:

!

trong đó n+12
là tổ hợp chập 2 của n + 1 phần tử

Có nhiều bài toán thực tế liên quan đến số tam giác, chẳng hạn bài toánđếm số lượng những cái bắt tay của mọi trong một căn phòng với giả thiết:trong căn phòng có n và mỗi người trong số này đều bắt tay một lần vớinhững người còn lại Dễ thấy, số lượng các cái bắt tay trong phòng có n

người là Tn−1 Và một số bài toán khác

Có một số tính chất thú vị liên quan đến số tam giác Chẳng hạn:

1) nếu kí hiệu Ln là số các đoạn thẳng nhỏ nhất nối các cặp chấm tronghình tam giác, khi đó ta có:

2) Tổng của hai số tam giác liên tiếp là một số vuông (tức là số các chấm

để tạo thành một hình vuông) với số điểm trên một cạnh chính bằng số điểm

trên cạnh tam giác lớn hơn, như trong hình vẽ dưới đây:

!

xn−kyk

Các hệ số nhị thức được bố trí thành hàng theo các giá trị kế tiếp của n,trong đó k thay đổi từ 0 đến n, hình thành nên một mảng tam giác gọi làtam giác Pascal

Các hệ số nhị thức được xuất hiện trong nhiều kiến thức của toán học, đặcbiệt là đại số tổ hợp, hàm sinh, Chẳng hạn nk
chính là số cách chọn ramột bộ k phần tử trong n phần tử đã cho

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được

nk

là tổng lũy thừa của các số tam giác

Việc nghiên cứu tổng lũy thừa các hệ số của các hệ số nhị thức trongchương này cũng được thực hiện tương tự như với định lý Faulhaber các sốnguyên, tức là ta sẽ chứng minh: với mỗi nguyên k ta có

• fk,m(N ) là một đa thức của N và nó có thể nó được xem như là một đathức fk,m(x) của biến x;

• fk,m(x) được biểu diễn như sau:

x+k−1

k+1

2

Qk,m((2x + k − 2)2), nếu m, k là số lẻ và m > 1;

Qk,m((2x + k − 2)2), trong các trường hợp còn lại;

trong đó Qk,m(x) là một đa thức với hệ số hữu tỷ

2.1.2 Biểu diễn đa thức của tổng các tích của hệ số nhị thức

Để xem xét biểu diễn đa thức của tổng các tích của hệ số nhị thức, trước hết

ta nghiên cứu một tổng quát của đồng nhất Worpitzky cho đa tập hợp Kíhiệu

Wor-Cho m = 1k1· · · mk m là một đa tập hợp, trong đó l lặp lại kl lần, l =

1, , m Cho Sm là tập hợp các hoán vị của m và đặt K = k1 + · · · + km

Với mỗi hoán vị σ = σ(1) σ(K) ∈ Sm, ta gọi i là một chỉ số giảm nếu

i = K hoặc σ(i) > σ(i + 1), i < K Ta gọi des(σ) là số các chỉ số giảm của

σ và số Eulerian am,p là số các hoán vị gồm p chỉ số giảm Tức là

am,p = |{σ ∈ Sm|des(σ) = p}|

Với m = 1121· · · m1, ta thu được số Eulerian quen thuộc am,p và đồng nhất

Worpitzky quen thuộc

xm = X

p>0

x + m − pm

với mỗi số nguyên dương N Bởi vậy, khi thay thế biến N bởi x ta được

Đặt fk,m(x) = fk,k, ,k(x), khi đó fk,m(x) là một đa thức xác định bởi

!m

Hệ quả 2.5 ([3]) Đa thức fk,m(x) có các tính chất sau:

Chứng minh Giả sử rằng ∇f là (r − 1)-phản xạ Khi đó ta có

là đối-r-phản xạ khi và chỉ khi nó biểu diễn được dưới dạng 2x + r lần của

đa thức đối với x(x + r) (hoặc (2x + r)2)

Mệnh đề 2.9 Đa thức x+k−1k
là (k − 1)-phản xạ nếu k chẵn và là

đối-(k − 1)-phản xạ nếu k là lẻ

Chứng minh Ta có

x + k − 1k

Từ đồng nhất này ta có ngay chứng minh của mệnh đề

Theo Định lý 2.4, tồn tại đa thức gk,m(x) ∈ Q[x], sao cho

fk,m(x) = x + k − 1

k + 1

!

gk,m(x)

Mệnh đề 2.10 Tính chất phản xạ của hàm fk,m và gk,m như sau

• fk,m(x) là (k − 2)-phản xạ nếu km + 1 chẵn và đối-(k − 2)-phản xạ nếu

km + 1 lẻ

• gk,m(x) là (k − 2)-phản xạ nếu (m − 1)k chẵn và đối-(k − 2)-phản xạ nếu

(m − 1)k lẻ