SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2015 nộp sở

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz Ngoài mục đích chính là nâng cao kỹ năng cơ bản giải toán dựa trên những phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy -

Trang 1

Một số kỹ năng cơ bản khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Ngoài mục đích chính là nâng cao kỹ năng cơ bản giải toán dựa trên những phương pháp phát triển từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, sáng kiến kinh nghiệm này còn tổng hợp khá nhiều bất đẳng thức từ trước đến nay có thể chứng minh bằng công cụ này

Ta sẽ thấy ở đây một góc nhìn bao quát về bất đẳng thức Cauchy - Schwarz: các kỹ năng cơ bản khi đứng trước một bài toán bất đẳng thức

Bên cạnh việc sử dụng kỹ thuật Cauchy - Schwarz một cách phù hợp thì điều kiện đủ để có thể chứng minh được bất đẳng thức mong muốn chính là chỉ ra sự tồn tại của một bất đẳng thức đơn giản hơn

Sáng kiến kinh nghiệm này hệ thống một số kỹ năng cơ bản nhất liên quan đến bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

2 TÍNH CẤP THIẾT

Đối với đối tượng học sinh THPT không chuyên Bất đẳng thức là một chuyên

đề khó Trong quá trình giảng dạy từ các nguồn tài liệu tham khảo tôi hệ thống một

số dạng bài tập nhằm mục đích để giúp học sinh tiếp cận một số kỹ năng cơ bản để áp dụng BĐT Cauchy - Schwarz vào chứng minh BĐT với tiêu chí khuôn khổ là đưa BĐT cần chứng minh về dạng đơn giản hơn BĐT ban đầu

Bước đầu dạy cho đối tượng THPT không chuyên đã thu được một số hiệu quả nhất định giúp các em “Bớt sợ” và có thể giải quyết được một số bài toán về chứng minh BĐT Từ đó tạo sự hứng khởi cho các em trong vấn đề khám phá loại toán này

3 MỤC TIÊU

Trang 2

vào chứng minh bất đẳng thức

2

Mục tiêu của SKKN này là hệ thống một số bài tập áp dụng được BĐT Cauchy

- Schwarz vào chứng minh để học sinh làm quen từ đó dần định hình được phương pháp tư duy vào chứng minh BĐT

Với mục tiêu đấy và để tạo cho học sinh một “lối mòn” trên một số dạng bài nên trong khuôn khổ SKKN này tôi không trình bày thêm các cách chứng minh khác

Vì vậy tôi chọn SKKN

II GIỚI THIỆU VỀ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY-SCHWARZ

Trong toán học, bất đẳng thức Cauchy - Schwarz còn được gọi là bất đẳng thức Schwarz hoặc bằng cái tên khá dài là Cauchy - Bunyakovxki - Schwarz Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức này là Bunyakovxki hoặc bằng tên dài nói trên nhưng đảo thứ tự là bất đẳng thức Bunyakovxki - Cauchy - Schwarz nên thường viết tắt là bất đẳng thức BCAUCHY - SCHWARZ

Tuy nhiên trong toàn bộ sáng kiến kinh nghiệm này ta sẽ thống nhất với một

cách gọi duy nhất là bất đẳng thức Cauchy - Schwarz

Ở mức độ phổ thông và trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm chúng ta quan tâm đến dạng phát biểu sơ cấp của biểu thức này Nó được phát biểu như sau:

Nếu a 1 , a 2 , …, a n , b 1 , b 2 , …, b n là các số thực tùy ý thì (a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n ) 2 (a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 )(b 1 2 + b 2 2 + … + b n 2 ) (*)

Trang 3

Trong khuôn khổ của sáng kiến kinh nghiệm này, chúng ra sẽ cùng xem xét

vấn đề làm sao để có thể sử dụng hợp lý và hiệu quả các bất đẳng thức (*) và (**)

trong việc chứng minh các bất đẳng thức khác bằng những kĩ thật cơ bản nhất

+ … + an

2

)(b1 2

+ b2 2

+ … + bn

2

), nên ta có

(a1b1 + a2b2 + … + anbn)2 (a1

2

+ a2 2

+ … + an

2

)(b1 2

+ b2 2

+ … + bn

2

), Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

> 0, 

i = n

i = 1

bi 2

Trang 4

2

i = n

i = 1

ai 2

3 SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC

Với n = 1, bất đẳng thức của ta trở thành đẳng thức Xét khi n = 2, ta có

+ b2 2

Trang 5

k + 1bk + 1 

2

 (a1b1 + a2b2 + … + akbk + ak + 1bk + 1)2

Điều này chứng tỏ bất đẳng thức của ta cũng đúng cho n = k + 1 Theo nguyên

lý quy nạp, ta có nó đúng với mọi n  1

Trang 6

6

PHẦN II NỘI DUNG CHÍNH

NHỮNG KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

CAUCHY - SCHWARZ VÀO CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Nếu a 1 , a 2 , …, a n , b 1 , b 2 , …, b n là các số thực tùy ý thì (a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n ) 2 (a 1

2

+ a 2 2

2

)(b 1 2

+ b 2 2

và tìm cách trả lời câu hỏi đó Để hiểu rõ hơn vấn đề, ta hãy xét những bài toán sau

Bài 1 Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

Nhận thấy rằng vế trái của bất đẳng thức có dạng phát biểu giống với dạng

phân thức của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz





x

1 2

Trang 7

7

gợi cho ta ý nghĩ sử dụng Cauchy - Schwarz để giải bài toán Và nhận xét này đã giúp

ra giải quyết bài toán thành công, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có

Định hướng và tìm tòi lời giải

Nhận thấy rằng vế trái của bất đẳng thức có dạng phân thức, điều này gợi cho

ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức để chứng minh bài toán Nhưng muốn vậy ta cần có sự xuất hiện của bình phương trên các tử

số, tuy nhiên ở đây lại không có Ta có thể thêm vào các tử và mẫu các lượng a, b, c tương ứng để bình phương xuất hiện, cụ thể là:

b2b(c + 2a) +

c2c(a + 2b) (2.1) Đến đây ra có thể yên tâm sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để thu được

Và như vậy bài toán sẽ được chứng minh xong nếu ta có

(a + b + c)2 3(ab + bc + ca) (2.3) Đây lại là một kết quả cơ bản và khá quen thuộc

Lưu ý rằng (2.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

aa(b + 2c) =

bb(c + 2a) =

cc(a + 2b)

Và (2.3) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c Giải hệ này, ta tìm được

a = b = c

Vì vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = b = c 

Bài 3 Cho bốn số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng:

Trang 8

c2c(d + a) +

d2d(a + b)

Kết hợp hai bất đẳng thức này lại, ta suy ra kết quả cần chứng minh

Ta có (3.1) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi

a

a(b + c) =

bb(c + d) =

cc(d + a) =

dd(a + b) Còn (3.2) xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi a = c và b = d Từ hai điều kiện này, ta suy

ra bất đẳng thức đã cho xảy ra khi và chỉ khi a = c và b = d

Nhận xét

Ưu điểm của việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz trong các ví dụ vừa rồi là có thể được thấy rõ ở bậc của các bất đẳng thức trước và sau khi sử dụng Cauchy - Schwarz Rõ ràng bậc của các bất đẳng thức giảm đi rõ rệt sau khi ta áp dụng Cauchy - Schwarz, điều đó có nghĩa việc chứng minh các bất đẳng thức sau đó

Trang 9

9

2(a3 + b3 + c3) + 4(a2b + b2c + c2a) + (ab2 + bc2 + ca2) + 6abc

 2(a2b + b2c + c2a) + 4(ab2 + bc2 + ca2) + 9abc, 2(a3 + b3 + c3) + 2(a2b + b2c + c2a)  3(ab2 + bc2 + ca2) + 3abc,

vị bậc bốn với bốn biến số Việc đánh giá các bất đẳng thức này thật không dễ Như vậy, việc sử dụng biến đổi trực tiếp ở đây là không khả thi và ta nên loại trừ

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz đã thể hiện ưu thế tuyệt đối của mình ở những ví dụ này Và ta có thể kết lại được tác dụng chính của bất đẳng thức Cauchy - Schwarz là giúp đơn giản hóa bài toán, đưa những cái phức tạp, cồng kềnh về những cái đơn giản

(a2 + 2abc) + (b2 + 2abc) + (c2 + 2abc) (4.1)

Do đó ta chỉ cần chứng minh được (a + b + c)2 a2 + b2 + c2 + 6abc, (4.2)

Hay ab + bc + ca  3abc

Trang 10

10

Do a + b + c = 3 nên bất đẳng thức trên tương đương với

(a + b + c)(ab + bc + ca)  9abc, (4.4) Hiển nhiên đúng theo bất đẳng thức AM - GM

Bài 5 Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0, ta có

Trang 11

11

(a 2 + 2)(b 2 + 2)(c 2 + 2)  3(a + b + c) 2 (6)

Định hướng và tìm tòi lời giải

Vì ba biến a, b, c độc lập với nhau nên một cách tự nhiên, ta muốn tìm cách đánh giá để làm giảm đi số biến

Sự xuất hiện của a2

+ 2 gợi cho ta nghĩ đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy

- Schwarz cho đại lượng (a + b + c)2 như sau

Và như thế ta có thể đưa bài toán về chứng minh bất đẳng thức sau - một bất đẳng thức hai biến

Thật vậy Do tính chất độc lập của ba biến a, b, c nên (6.1) chắc chắn có thể xảy ra đẳng thức (đạt được khi a = 2

Bây giờ thực hiện phép khai triển, ta viết được (6.2) dưới dạng

b2 + c2

2 + b

2

c2 - 3bc + 1  0, (6.3) Đúng vì b

Giải ra, ta tìm được điều kiện để đẳng thức xảy ra ở bất đẳng thức ban đầu là

Trang 12

về đơn giản nhất có thể

Không mất tổng quát giả sử (a2

- 1)(b2 - 1)  0  a2.b2 + 1  a2 + b2 (*) Vậy (a2

+ 2)(b2 + 2)(c2 + 2) = [a2.b2 + 2(a2 + b2) + 4].(c2 + 2) (*) [a2 + b2 + 2(a2 + b2) + 3].(c2 + 2)

= 3(a2 + b2 + 12)(12 + 12 + c2)  3(a + b + c)2

dấu bằng khi và chỉ khi a = b = c = 1

Bài 7 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực bất kỳ a, b, c

(a 2 + 1)(b 2 + 1)(c 2 + 1)  (ab + bc + ca - 1) 2 (7)

Lời giải

Bằng phương pháp suy luận giống như ở bài toán trước, ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz với biểu thức bình phương bên vế phải sao cho đại lượng a2

+ 1 xuất hiện trong đánh giá Ta thực hiện như sau

Đẳng thức ở đánh giá (7.1) xảy ra khi và chỉ khi a(bc - 1) = b + c,

Trang 13

Đây chính là hằng đẳng thức (7.3) mà ta vừa đề cập ở trên 

Bài 9 Chứng minh rằng với mọi a, b, c dương, ta đều có

a(b + 1) + b(c + 1) + c(a + 1) 3

2 (a + 1)(b + 1)(c + 1) (9)

Phân tích và tìm tòi lời giải

Đây là một bất đẳng thức không thuần nhất và các biến độc lập với nhau Đó chính là lợi thế của bài toán, việc đánh giá riêng lẻ sẽ dễ dàng hơn những bất đẳng thức có điều kiện Ta quan sát và có để ý rằng đại lượng c(a + 1) và biểu thức bên

vế phải của bất đẳng thức đã cho đều chứa a + 1 Do đó nếu ta sử dụng Cauchy - Schwarz đánh giá biểu thức còn lại của vế trái là a(b + 1) + b(c + 1) sao cho

a + 1 xuất hiện thì ta có thể giản bớt a + 1 ở hai vế Và như thế ta chỉ còn một bất đẳng thức hai biến, lẽ đương nhiên là nó sẽ dễ chứng minh hơn bất đẳng thức ban đầu Với những ý tưởng như vậy, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau

a(b + 1) + b(c + 1)  (a + 1)[(b + 1) + b(c + 1)] (9.1) Như thế ta chỉ cần chứng minh

Trang 14

14

b(c + 2) + 1 + c 3

2 (b + 1)(c + 1) (9.2) Phân tích tương tự như trên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz một lần nữa cho vế trái của (9.2) sao cho nhân tử b + 1 xuất hiện Theo đó ta sẽ chỉ còn một bất đẳng thức một biến số… Ý tưởng đã rõ Bây giờ ra chỉ cần thêm một chút quan sát nữa là được Bạn hãy để ý rằng đại lượng b(c + 2) + 1 còn thiếu một lượng c + 1 thì có thể phân tích ra được b + 1, cái mà chúng ta cần Do đó ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz để bổ sung lượng đó cho nó, cụ thể là

= (b + 1)(c + 2)(2c + 1)

c + 1 (9.3) Cuối cùng ta chỉ cần chứng minh được

(c + 2)(2c + 1)

c + 1 3

2 c + 1, (9.4) Hay

4(c + 2)(2c + 1)  9(c + 1)2 (9.5) Đúng theo bất đẳng thức AM - GM

4(c + 2)(2c + 1) (c + 2) + (2c + 1)

2 = 9(c + 1)2 (9.6)

Ta có (9.1) xảy ra dấu bằng khi ab(c + 1) = b + 1, (9.3) xảy ra dấu bằng khi

b(c + 2) + 1 = (c + 1)

2

c , còn (9.6) xảy ra dấu bằng khi c = 1

Kết hợp những điều kiện này lại, chúng ta tìm được điều kiện để xảy ra dấu đẳng thức

Trang 15

15

Một cách tự nhiên, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho biểu thức bên phải sao cho sau bước đánh giá, ta thu được đại lượng x + y + z làm nhân tử Với ý tưởng như vậy, ta nghĩ ngay đến việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau







3 - ∑1x

 = ∑x (10.1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

2 Vậy bất đẳng thức đã cho xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi x = y = z = 3

 = 2(a + b + c + d)2 (11.1)

a = b = c = d = 1 

Trang 16

Trang 17

17

Xin được nhắc lại một lần nữa mục đích của ta khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz là làm đơn giản hóa bài toán, càng nhiều càng tốt Bởi vì vậy cho nên ta cố gắng áp dụng Cauchy - Schwarz làm sao cho giảm bớt được một số đại lượng có trong các vế của bất đẳng thức cần chứng minh Chẳng hạn ở bài này, ta hãy cùng quan sát vế phải và đưa ra nhận xét “nếu ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho vế trái để làm mất đại lượng a2

+ b2 + c2 trên tử thì bài toán sẽ không còn khó nữa” Với ý tưởng như vậy, ta thực hiện đánh giá sau

(a2 + b2 + c2)(a + b + c)  ∑a(a2 + ab + b2) (13.2) Thế nhưng đây lại chỉ đơn giản là một hằng đẳng thức Ta có đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

a2a(a2 + ab + b2) =

b2b(b2 + bc + c2) =

c2c(c2 + ca + a2), tức là a = b = c 

Bài 14 Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b, c dương

Từ đó bài toán được quy về chứng minh

2(a2 + b2 + c2)(a3 + b3 + c3)  3∑a4(b + c) (14.2) Bất đẳng thức này tương đương với

∑a5 + b5 + 2a2b2(a + b) - 3ab(a3 + b3) 0, (14.3)

Ta có

a5 + b5 + 2a2b2(a + b) - 3ab(a3 + b3)

= (a + b) [a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4] + 2a2b2(a + b) - 3ab(a3 + b3)

Trang 18

Bây giờ chúng ta sẽ đến với một kỹ năng khác, (cùng mẫu).

Bài 15 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có

1(a + b)2 +

1(a + c)2 1

a2 + bc (15)

Ta có nhận xét rằng “nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho các bình phương

(a + b)2, (a + c)2 sao cho đại lượng a2 + bc xuất hiện bậc của bất đẳng thức sẽ được giảm đáng kể” Tiến hành theo ý tưởng này, ta được



 (a + b)2, (15.1)

Từ đó suy ra

1(a + b)2 c

(b + c)(a2 + bc) (15.2) Hoàn toàn tương tự, ta cũng có

1(a + c)2 b

(b + c)(a2 + bc) (15.3) Cộng tương ứng vế với vế hai bất đẳng thức này, ta được

Trang 19

(b + c)(a2 + bc) +

b(b + c)(a2 + bc) =

c3(2c2 + a2)(2c2 + b2) (16)

Lời giải

Tương tự bài trước, ta muốn áp dụng Cauchy - Schwarz cho các mẫu số của từng phân thức bên vế phải sao cho đại lượng a + b + c xuất hiện sau khi đánh giá Với ý tưởng như vậy, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz như sau

(a2 + b2 + a2)(a2 + a2 + c2)  (a2 + ba + ac)2 = a2(a + b + c) (16.1)

Từ đó suy ra

a3(2a2 + b2)(2a2 + c2) a

(a + b + c)2 (16.2) Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta thu được ngay kết quả bài toán Dễ thấy đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 

Bài 17 Giả sử a, b, c là ba số thực dương cho trước Chứng minh rằng

(ca + ab + bc)2 (17.1) Cộng bất đẳng thức này với hai bất đẳng thức tương tự, ta suy ra

a2 + ab + bc ∑(c2

+ ab + bc)(ab + bc + ca)2 =

(a + b + c)2(ab + bc + ca)2 (17.2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 

Bài 18 Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có

Định dạng
Số trang	26
Dung lượng	420,65 KB