SKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷSKKN Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷ
Trang 1HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Phần thứ nhất : ĐẶT VẤN ĐỀ
Xuất phát từ mục đích của việc dạy và học toán ở trường THPT; trong việc dạy học ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết
Bất phương trình vô tỷ là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình toán THPT Bất phương trình vô tỷ thường được dùng để ra
đề thi đại học và thi học sinh giỏi cấp tỉnh Để giải được bất phương trình vô tỷ thì học sinh phải nắm vững định nghĩa về bất phương trình, định nghĩa về bất phương trình vô tỷ , hai bất phương trình tương đương, các phép biến đổi tương đương bất phương trình…
Vấn đề đặt ra là, làm thế nào để nâng cao chất lượng giảng dạy và kết quả học tập của học sinh Bước vào năm học 2014-2015 được phân công giảng dạy môn toán lớp 12, trước khi dạy ôn thi THPT Quóc gia môn toán phần Bất phương trình vô tỷ, tôi đã chuẩn bị đề tài này, xem như một cải tiến phương pháp dạy học “ Hướng dẫn học sinh giải một số bất phương trình vô tỷ”
Phần thứ hai:
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A CƠ SỞ LÝ LUẬN
*) Định nghĩa : Hai bất phương trình được gọi tương đương khi chúng có
cùng tập nghiệm.
*)Tính chất của phép biến đổi tương đương và hệ quả :
+) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương +) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức ( luôn dương hoặc âm) mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình tương đương +) Lũy thừa bậc lẻ hai vế, khai căn bậc lẻ hai vế của một bất phương trình tương đương
+) Lũy thừa bậc chẵn hai vế, khai căn bậc chẵn hai vế khi hai vế của bất phương trình cùng dương ta được bất phương trình tương đương
+) Nghịch đảo hai vế của bất phương trình khi hai vế cùng dương ta phải đổi chiều ta được bất phương trình tương đương
Từ tính chất của phép biến đổi tương đương và hệ quả ta rút ra một số kỹ năng sau trong phép biến đổi tương đương
B THỰC TRẠNG
Trang 2Trong thực tế giảng dạy tại trường THPT Ba Đình, đặc biệt là học sinh khối lớp 12 chuẩn bị thi THPT quốc gia, khi giải các bài toán về bất phương trình vô tỷ các em gặp nhiều khó khăn, chưa định hình được cách giải Ngoài ra còn hay vướng mắc những sai lầm như khi kết hợp nghiệm của bất phương trình vô tỷ hoặc xét thiếu trường hợp hoặc bình phương hai vế mà không xét dấu của hai vế dẫn tới phép biến đổi không tương đương….Tóm lại kỹ năng giải cũng như khai thác bài toán về bất phương trình vô tỷ của học sinh còn hạn chế Kết quả khảo sát về giải bất phương trình vô tỷ thấp so với yêu cầu Cụ thể:
Lớp Số
HS
Điểm 8-10 Điểm từ 6,5
đến dưới 8
Điểm từ 5 đến dưới 6,5
Điểm từ 2 đến dưới 5
Điểm dưới 2
C GIẢI PHÁP THỰC HIỆN
Khi dạy phần bất phương trình vô tỷ tôi đã hướng dẫn học sinh theo các phương pháp sau :
I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG.
1 Kỹ năng lũy thừa hai vế.
1.1 Một số phép lũy thừa hai vế:
a) 2k 1 f(x) 2k 1g(x) f(x) g(x)
b)
) ( ) (
0 ) ( )
( )
2
x g x f
x g x
g x
*) f (x)>g(x)
) ( ) ( 0 ) (
x g x f x g
hoặc
0 ) (
0 ) (
x f x g
*) f (x)<g(x)
2
) ( )
(
0 ) (
0 ) (
x g x
f x f x g
*) f(x) g(x) 0 f(x) g(x)
( Đối với các trường hợp còn lại với dấu , ,< có thể suyluận tương tự )
Đặc biệt chú ý tới điều kiện của bài toánvà kết hợp nghiệm trên trục số
1.2 Ví dụ:
Ví dụ 1 : Giải các bất phương trình sau : x 3 2x 1
Giải :
3 0
4 5 4 3 2 1
1 2 3
0 3
0 1 2 1 2 3
2 2
x x x x
x x
x
x x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là: S= 3 ;
Ví dụ 2 :Giải các bất phương trình sau :
8 3
1
0 3
0 1 3
1
2 2
2 2
x x
x x
x x x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:
; 7
8
Ví dụ 2: Giải BPT: x 4 1 x 1 2x (1)
Trang 3Phân tích : Nếu dùng hệ quả của phép biến đổi tương đương chuyển vế để cả
hai vế của bất phương trình không âm rồi bình phương hai vế ta được bất phương trình dạng cơ bản
Giải:
(1)
1 3 2 1 2
2
1 4
2 1 1
4
0 4
0 2 1
0 1
2 1 1
4
2
x x
x x
x x
x x
x x
0 4
0 2
7 2 1 2 1 2
1 4
1 2 1 3 2
0 1 2
0 1 2
2
1 4
2 2
x x x x
x x
x
x
x
x
Vậy tập nghiệm:S = [-4; 0]
* Chú ý : học sinh dễ mắc sai lầm đó là để nguyên bất phương trình (1) để bình phương như vậy có thể không được bất phương trình tương đương
2 Kỹ năng khai căn.
2.1 Đưa biểu thức ra ngoài căn thức :
*
) 0 (
) 0 ( 2
A A
A A A
A
* n A n A
2 2
* n A n A
1
2 2 1
2.2 Lưu ý :
Nhiều học sinh không để ý đến biểu thức trong căn lúc nào cũng nghĩ đến việc lũy thừa hai vế Trong trường hợp nếu biểu thức trong căn ở dạng hằng đẳng thức không nên lũy thừa hai vế mà nên áp dụng cách đưa biểu thức ra ngoài căn
2.3 Ví dụ :Giải BPT :
2
3 1 2 1
2
3 1 1 1
1 2
3 1 1 2 1 1
1 2
) 2 ( 2
3 1 1 1
1
1
x x
x
* Với x 1 1 0 x 1 1 x 2 luôn thỏa mãn bpt (2)
Vậy trong trường hợp này tập ngiệm là T1=[2 ;+ )
Trang 4* Với 1 2
1 1
1 0
1
x
x
2
3 2 2
3 1 1
1
Vậy tập nghiệm của (1) trong trường hợp này là T2 =[1 ;2)
KL : Tập nghiệm của (1) là T=T1T2 1 ;
* Chú ý : Bài này ta có thể giải bằng phương pháp bình phương hai vế
3 Kỹ năng chia điều kiện.
Nếu bài toán có điều kiện là x D mà DD1D2 D n ta có thể chia bài toán theo n trường hợp sau :
+) Trường hợp 1: x D1, giải bất phương trình ta tìm được tập nghiệm T1
+) Trường hợp 2: x D2, giải bất phương trình tìm được tập nghiệm T2
………
+) Trường hợp n: x D n, giải bất phương trình tìm được tập nghiệm Tn
Tập nghiệm của bất phương trình là T T1T2 T n
Cần phải xác định giao, hợp trên các tập con của R thành thạo
Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải BPT: 3 4 2 2
2
x
x x
Giải : Điều kiện:
3
4 1
0
x
x
* Với 0 x43 ta có (1)
2 2 4 3
0 2 2 2 2 4 3
x x
x
x x
x x
7
9 0
9 7
1
x x
x
(2) Kết hợp (1) và (2) ta có tập nghiệm là
3
4
; 7
9 1
* Với 1 x 0 thì (1) luôn đúng
Tập nghiệm trong trường hợp này là T2 = [-1 ;0)
Vậy tập nghiệm của (1) là 1 ; 0
3
4
; 7
9 2
T T
Ví dụ 2 : Giải BPT : 2 8 15 2 2 15 4 2 18 18
Giải : Điều kiện :
5 3 5
x x x
Nhận thấy x = 3 không thỏa mãn bất phương trình
Nếu x 5 bất phương trình (2) tương đương
(x 3 )(x 5 ) (x 3 )(x 5 ) (x 3 )( 4x 6 ) x 5 x 5 4x 6
Trang 5Giải bất phương trình này tìm được x173
Nếu x 5 Bất phương trình (2) tương đương
( 3 x)( 5 x) ( 3 x)( x 5 ) ( 3 x)( 6 4x)
x x
5
Bất phương trình này vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = ( ; )
3
17
Ví dụ 3 : Giải bất phương trình : x x
x x
1 3 3 3
Phân tích : Ta thấy rằng bất phương trình này khá phức tạp về mặt hình
thức Vậy điều đầu tiên là giảm độ phức tạp của nó đi
Mẫu thức có dạng (ax + b +c dx e)và thấy hình thức phức tạp nên hãy thử xem nhân liên hợp có được gì không ?
Nhận thấy
1 3 3
) 3 ( 1
3 3
) 1 ( 9 ) 3 ( 1 3 3
2
x x
x x x
x
x x
x x
Đến đây cả hai vế của bất phương trình xuất hiện x do đó ta có cách giải sau
Giải : ĐK
3
4 1
x
x
Với đk trên bất phương trình đã cho tương đương với :
x x x
x
x
x
1 3
3
) 1 (
9
)
3
(
3
2
x
x x
x
0 4
3 1 3
3
x
x x
Nếu 0 x 4và x 3 thì x +3 +3 x 1 3 4 x 0 3 3 1 3 4 0
) 1 ( 0 4
3 1 3
3
x
x x
Nếu -1x 0 thì x 3 3 x 1 3 4 x 0 33 1 3 4 0
x
x x
x
(1) cũng thỏa mãn
Vậy tập nghiệm của bất phương trình ban đầu là S = 1 ; 4 \0 ; 3
4 Kỹ năng phân tích thành nhân tử đưa về bất phương trình tích.
4.1 Bất phương trình tích : Chú ý đến hai bất phương trình dạng cơ bản sau :
*
0 ) (
0 ) (
0 ) (
0 ) ( 0
)
(
)
(
x g
x f
x g
x f x
g
x
f *)f(x).g(x) 0
0 )
0 )
(
0 )
(
0 )
(
0 )
(
gx x f x g x f x f
4.2 Các ví dụ
Ví dụ 1: Giải BPT : 13 2 1 3 3 1 0
Giải: Điều kiện : x 1 (*)
x
Trang 6 1 3 1 1 3 1 0
0
1
x khi x1)
0 1 1
1 2 2
Vậy BPT đã cho vô nghiệm
Ví dụ 2 : Giải bất phương trình (x2 – 3x) 3 x 2 0
Phân tích: Với những bất phương trình ở dạng f(x).g(x) 0 học sinh thường mắc phải sai lầm đó là đưa đến hệ tương đương
0 ) (
0 ) (
x g x f
hoặc
0
)
(
0
)
(
x
g
x
f
Giáo viên phải hướng dẫn học sinh để đưa ra cách giải đúng
Với bài toán này điều kiện xác định là x32 Khi x = 32 thì bất phương trình luôn đúng Khi x >32 thì một thừa số của tích dương vì vậy ta có cách giải sau
Giải: Điều kiện : x32
Nếu x = 32 Bất phương trình luôn nghiệm đúng
Với x > 32 Bất phương trình tương đương x2 – 3x 0
3
0
x x
Kết hợp điều kiện ta được x 3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =
3 ; 3
2
Ví dụ 3 : ( (1)3 2) 1
x x
x x
Phân tích : Khi gặp phải bất phương trình có chứa ẩn ở mẫu nhiều khi học sinh
rất hoang mang bởi vì ta chưa xác định được dấu của mẫu
Đối với bài toán này việc xác định dấu của mẫu rất đơn giản
Ta cần có điều kiện x 0 Với điều kiện x 0 thì ( 1 ) 3 0
cách giải sau
Giải : Điều kiện x 0 Khi x 0 ta có ( 1 ) 3 0
x
Do đó bất phương trình đã cho tương đương với x(x 2 ) (x 1 )3 x
) 1 ( ) 1 ( 2 1 4 3
2
0 ) 2
1 )(
1
(
0 )
1 ( 2 1 2
2
2 2
2 2
3
x x x
x
x
x x x x
x
x
Vì x 0 nên x + 1>0 Khi đó x2 1 2 2 0
2
5 1 1
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là
2
5
1
x
5 Kỹ năng nhân chia liên hợp :
5.1 Cách giải:
Trang 7+) Tìm giá trị của x làm cho hai vế của bất phương trình bằng nhau
Hướng dẫn học sinh nhẩm nghiệm hoặc ghi biểu thức lên máy để tìm nghiệm +) Nếu x = a là một giá trị làm cho hai vế bằng nhau thì biểu thức của bất phương trình phải xuất hiện nhân tử chung (x – a)
5.2 Các ví dụ:
Ví dụ 1: Giải BPT : 2 15 3 2 2 8
Giải: Ta có (1) 2 15 2 8 3 2
2 3 8 15
7 2
3 8 15
8 15
2 2
2 2
2 2
x x
x x
x
x x
(2)
Từ (2) ta có
3
2 0
2
3x x
* Mặt khác:
3 8
1 )
1 ( 3 4 15
1
2
2 2
2
x
x x
x x
3 8
1 3
4 15
1 1
2
x
x x
x
* Lại có : Vì
3
2
x nên
3 8
1 4
15
1 3
8 4
15
2 2
2 2
x
x x
x x
x
0 3 3 8
1 4
15
1
2
x
x x
x
Vậy (3) x 1 0 x 1
Kết luận : BPT (1) có tập nghiệm là T = 1 ;
Ví dụ 2 :Giải bất phương trình 2 2 2 3 2
x
Phân tích: Trong phương trình có chứa hai căn bậc hai, ngoài căn là một tam
thức bậc hai Có thể nhẩm được x = 2 là giá trị làm cho hai vế của bất phương trình bằng nhau Do đó ta có thể dùng phương pháp liên hợp
Giải : Điều kiện x32
Bất phương trình tương đương 2 3 2 2 2 0
x
( 2 )( 1 ) 0
2 3 2
) 2 ( 2
x x
x
1 0
2 3 2
2 )
2
x x
x
2 3 2
2
x x
x
) 2 3 2 (
2 3
3 2
1 )
(
/
x x
x x
x
3
2 ( ) (x f
Do đó bất phương trình x 2 0 x 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T= ; 3
3 2
Trang 8* Chú ý:
1 Trong bài toán này, việc thêm bớt, nhóm các số hạng với nhau để xuất hiện nhân tử chung xuất phát từ việc nhẩm được khi x = 2 thì hai vế của BPT bằng nhau
2 Có thể xuất hiện bất phương trình có chỉ số căn khác nhau
Ví dụ 3 : Giải bất phương trình 3 6 2 5 1 2 2 4
x
Phân tích: Nhiều khi học sinh nhìn thấy với bất phương trình có các chỉ số căn
khác nhau là cảm thấy lúng túng nhưng ta luôn nghĩ đến phương pháp nhẩm nghiệm để liên hợp Nhận thấy x = 2 là một giá trị làm cho hai vế của bất phương trình bằng nhau Thay x = 2 ta được 3 x 6 2 và 5x 1 3 Vì vậy ta
có thể thêm bớt số để có cách giải
Giải : Điều kiện x51
Bất phương trình tương đương với :
(3 x 6 2 ) 2 ( 5x 1 3 ) x2 2x
3 1 5
10 4
6 2 ) 6 (
1
x x
x x
Với đkx51 biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm Do đó bất phương trình tương đương x-2 <0 hay x<2
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S=(- ; 2 )
*) Nhận xét : Trong bài tập trên điều quan trọng là ta đã nhẩm x = 2 là giá trị làm cho hai vế bằng nhau
6 Một số Bài tập tự luyện : Giải các BPT sau:
1 5x 1 x 1 2x 4 2 2 x 3 + x 1 x 2
3
2
3 4
4 4
x x x
x
x
2 3
2
5 ( 4 1 ) 2 1 2 2 2 1
x 6 2 3 2 2 3 2 0
x
7 1 1 4 3
2
x
x 8
2
2
2
x x
x
9 x 2x 1 x 2x 1 2 10 3x 4 2x 1 3 x
11
3
5 3 3
16
2
x
x x
x
12 2 1 1
5 3 2
1
2 x x
13
2
2
2
x x
x
14 2 2
2 3 1 10 2 1
15
x x
x x
x 12 12 2 16
x
x x
x x x
x
3 2 2
2
1
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ.
Trang 9- Phương pháp đặt ẩn phụ được sử dụng khi các biểu thức trong bất phương trình có sự liên quan Đặt biểu thức này qua ẩn phụ thì biểu thức khác phải đươc biểu thị qua ẩn phụ
- Chú ý tới các điều kiện của ẩn
- Thông thường phải qua phép biến đổi tương đương mới xác định được biểu thức cần đặt
.1 Đặt ẩn phụ thông thường (đưa bất phương trình về bất phương trình đa
thức)
Ví dụ 1 :Giải BPT : 2 1 3
x x
x
1
0
x
x
(*)
Đặt 1(t 0 ).
x
x
t BPT (1) trở thành : 1 2 3 2 3 3 2 1 0 ( 0 )
2 t t t t
t
2
1 0
0 1 2
1 2
3
4 2
1 1
0 x
x
2
1 2 2
1
x
x x x
Phân tích: Khi bình phương biểu thức
x
x
2
1
và nhân thêm 2 thì ta được 2x +
x
2
1
Vì vậy ta đặt x x
2
1
= t Giải: Điều kiện : x>0.
2
1
x x
2 2 2
1 2 1 4
2
x
x x
x
* BPT (2) trở thành :
2 1
2 4
2 2
t
t t
t kết hợp với t 2 ta được t 2
* Khi đó
2 2
3 0
2 2 3
2
2 2 0
2
2 2 2
2
1
x
x x
x x
KL : Tập nghiệm của bất phương trình là S = (0 ; 2
2
3
2
3 (
Ví dụ 3 : Giải bất phương trình 2 2 3 5 2 4 6
x
Trang 10Phân tích : Nhìn vào bất phương trình ta có thể nghĩ ngay đến việc bình phương
hai vế hoặc liên hợp Nhưng nếu ghi biểu thức của bất phương trình lên máy tính cầm tay thì biểu thức không có nghiệm hữu tỉ Do đó việc liên hợp là không nên Ta có thể khử căn bậc hai bằng phương pháp lũy thừa
Giải : ĐK x 2
Với ĐK trên bất phương trình tương đương: 3 ( 2 )( 1 ) 2 2 6 2
x x
) 1 ( 2 ) 2 ( 2 ) 1 )(
2
(
Vì x 2nên x + 1 > 0 do đó ( 1) 2
1
2 2 1
2
x
x x x
x x
Đặt t =
1
2 2
x
x
x (t 0 ) ta có bất phương trình
2 1
2 0
2 3
2 2
t
t t
t
Vì t 0nên t 2 2 6 4 0
13 3
13 3
x x
Kết hợp ĐK suy ra nghiệm của bất phương trình là S = 3 13 ; )
2 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Đó là phương pháp đặt ẩn phụ đưa bất phương trình về bất phương trình gồm
cả ẩn cũ và ẩn mới
Ví dụ : Giải bất phương trình 3 ( 3 2 4 4 ) 1 0
x
Phân tích : Đây là bất phương trinh mà nhìn vào biểu thức tương đối phức tạp
Nếu đổi ẩn hoàn toàn thì bất phương trình trở về bất phương trình bậc 6 Rõ ràng không dễ gì mà giải được bất phương trình này Do đó ta nghĩ đến phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Giải : ĐK x 1
1 0
x y y x
Bất phương trình trở thành 3 ( 3 2 4 2 ) 0
x
Nếu y = 0 thì x = -1 bất phương trình luôn đúng
Nếu y > 0 thì x > - 1 chia cả hai vế của bất phương trình cho y3 ta được
2
1 0
) 2 )(
1 ( 0 4 )
(
3
)
y x y x y
x y
x y
x
y
x
Nếu 2
y
x
2 2 2 1
Nếu 1 x x 1 1 x12 5
y
x
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là T =
2
5 1
; 1
3 Đặt ẩn phụ đưa về hệ
Ví dụ 1 : Giải bất phương trình 3 24 12 6
x
Điều kiện :x 12
2 3 3
12 24 ) 0 (
12
24
v x u x v
x
u
x
Ta có hệ u3 v2 36 ( 1 )