SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu là hình thành và phát

triển tư duy toán học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông, đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng, Trung học chuyên nghiệp những năm gần đây bao giờ cũng có một câu hình tọa độ trong không gian, hoặc có những câu hình không gian mà khi dùng phương pháp tọa độ để giải thì bài toán trở nên đơn giản Vì vậy khi dạy chương phương pháp tọa độ trong không gian, bản thân tôi luôn trăn trở làm thế nào để khi học chương này học sinh không thấy khó, mà phải tự tin làm bài.Với suy nghĩ như vậy khi dạy phần bài tập phương trình đường thẳng trong không gian tôi đã chuẩn bị một chuyên đề xem như một đề tài cải tiến phương pháp dạy học để dạy cho các em:

“ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian “ Và trong năm học 2014 - 2015 Bộ giáo dục

lại gộp hai kỳ thi lại một nên việc rèn luyện và tổng hợp cho học sinh kỹ năng giải các dạng toán là rất cần thiết vì vậy tôi mạnh dạn đưa ra các bài toán này nhằm giúp học sinh giải quyết các bài toán tốt hơn

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I CƠ SỞ LÝ LUẬN

- Trong đề tài cho phép tôi viết tắt: vtcp ( véc tơ chỉ phương ); vtpt (véc tơ pháp

tuyến)

- Trước hết, yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về đường thẳng, phương trình của đường thẳng Muốn viết phương trình đường thẳng cần biết một điểm mà nó đi qua và 1 véc tơ chỉ phương

Viết phương trình của đường thẳng

Bước 1: Tìm 1 vtcp u(a;b;c) của đường thẳng

Bước 2: Tìm điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng

Bước 3: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng:

Phương trình tham số : 















ct z

x

bt y

y

at x

x

0 0

(t  R)

Phương trình chính tắc:

c

z z b

y y a

x

x 0 0  0









(abc 0 )

Chú ý

1)Nếu đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) :AxByCzD 0 (

) 0

2

2

2





B C

A và (P ) :AxByCzD  0 ( 2 2 2 0 )











 B C

- Đường thẳng ( d) có 1 vtcp 













2

1, n

n

u (Trong đó  

2

1; n

n lần lượt là vtpt của (P)

và (P’) )

- Muốn tìm một điểm thuộc (d) thì ta cho x = x0, giải hệ phương trình tìm y, z (Thường cho x một giá trị nguyên và tìm y, z nguyên)

2) Đường thẳng (d) qua 2 điểm A, B thì (d) có 1 vtcp là AB

3) Đường thẳng (d) vuông góc với mp(P) thì (d) có 1 vtcp là 1 vtpt của (P) 4) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) thì (d) và ( )có vtcp cùng phương

5) Hai đường thẳng vuông góc thì hai vtcp của chúng vuông góc với nhau

II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Đứng trước những bài toán hình học tọa độ không gian học sinh thường lúng túng không xác định được đường lối, phương pháp giải Các em cho rằng nhiều dạng toán như thế thì làm sao nhớ hết các dạng và cách giải các dạng đó, nếu bài toán không thuộc dạng đã gặp thì không giải được Một số học sinh có thói quen không tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã kêu khó và không làm nữa Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít, trong sách giáo khoa dạng bài tập này không có nhiều, một số tài liệu cũng có nhưng không có tính chất hệ thống Tuy nhiên nó

có thể có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi tỉnh Với thực trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong quá trình giải các bài tập nói chung và các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian nói riêng giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải, khai thác tính chất đặc trưng hình học của bài toán để tìm các cách giải nhằm phát huy được tính tự giác, tích cực của học sinh Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ nêu được một số bài toán, một số cách giải và một số bài tập

III GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

Bài toán 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có một véc

tơ chỉ phương.

Cách giải : Biết A(x1; y1;z1) là điểm cho trước, vtcp u(a;b;c)của đường thẳng hoặc là cho trực tiếp, hoặc là cho gián tiếp

- Nếu cho trực tiếp vtcp u(a;b;c)của đường thẳng thì ta viết được

Phương trình tham số : 















ct z

x

bt y

y

at x

x

0 0

(t  R)

Phương trình chính tắc:

c

z z b

y y a

x









) 0 (abc

- Nếu cho gián tiếp véc tơ chỉ phương của đường thẳng thì ta tìm vtcp u(a;b;c) của đường thẳng dựa vào các giả thiết của bài toán

Ví dụ1:

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d) đi qua điểm M(-2;1;0) và vuông góc với mặt phẳng (P): x + 2y - 2z + 1= 0 Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là n( 1 ; 2 ;  2 ) Do đó đường thẳng (d)

đi qua điểm M(-2;1;0) và nhận n( 1 ; 2 ;  2 ) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc

là :

2 2

1 1

2









x

Ví dụ2 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho B( 1;2;1) và C( 1;1;3).Viết

phương trình tham số của đường thẳng BC

Hướng dẫn giải: Đường thẳng BC đi qua B(1;2;1) và nhận BC  (  0 ; 1 ; 2 ) làm 1 vtcp Vây BC có phương trình tham số là : 











t z

t y

2 1

1

Ví dụ3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d1) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y - z +2 = 0 và (P’): 2x – y +5z - 1 = 0.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;2;-2) và song song với đường thẳng (d1)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Véc tơ chỉ phương của (d) là 1 , 2  ( 4 ;  7 ;  3 )

















n n

2

1; n

lượt là vtpt của (P) và (P’)) Đường thẳng (d) đi qua M(1;2;-2) nhận

)

3

7

4

(  





u làm 1 vtcp có phương trình là: 41 72 32













x

Cách 2 : Gọi A(1;-4;-1), B(5;-11;-4) là hai điểm thuộc đường thẳng (d1).Ta có

) 3

; 7

;

4

(  



AB là 1 vtcp của (d) Khi đó (d) có phương trình: 41 72 32













x

Lưu ý: Có nhiều cách để chọn hai điểm thuộc (d1), thông thường chọn một giá trị x nguyên để tìm y nguyên và z nguyên, mục đích để việc tính toán dễ dàng hơn Tuy nhiên trong nhiều bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng (d1) gặp khó khăn dẫn đến mất thời gian, dễ dẫn đến sai lầm Nên học sinh phải biết lựa chọn cách giải nào cho phù hợp

Bài tập:

1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2; -2) và (P) : 2x – 2y +

z – 1= 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với (P)

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm B(1;3;4) và đường thẳng

















t z

t y

t x

d

3 2 3 2 1 :

)

( 1 Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) của đường thẳng (d) đi qua điểm B và song song với đường thẳng (d1)

3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 5; 7), B(1;2;3) và

C(-1;1;2) Viết phương trình tham số của đường thẳng :

a, Đi qua hai điểm A và B

b, Đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC

Bài toán 2: Viết phương trình đường góc chung (d) của hai đường thẳng chéo nhau (d 1 ) và (d 2 ).

Cách giải :

Cách 1: Viết phương trình (d1),(d2)dưới dạng tham số, suy ra toạ độ

)

(d1

M  theo tham số t, toạ độ của N (d2) theo tham số t'

Giải hệ 





 0

0

2 1

u MN

u MN

tìm được t, t' (u1;u2lần lượt là vtcp của (d1)và(d2)), suy ra toạ độ điểm M, N Từ đó viết được phương trình MN và cũng chính là phương trình của (d)

Cách 2: Đường thẳng (d1) có 1 vtcp u1 và đi qua A; Đường thẳng (d2) có 1 vtcp u2và đi qua B Gọi (P) là mặt phẳng chứa(d1)và (d); Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d2)và (d), suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q) Từ đó suy ra được phương trình của đường thẳng (d)

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng(d1):

1

2 1

1

2









x

và(d2): 













 3

2 1

z

t y

t x

Viết phương trình chính tắc đường vuông góc chung (d) của (d1)và(d2)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Đường thẳng(d1)có 1 vtcp 1(2; 1;1)



u ; đường thẳng (d2)có 1 vtcp

)

0

;

1

;

2

(

2



u Gọi M( 2t1; 1  t1;  2 t1)  (d1);N(  1  2t; 1 t; 3 )  (d2) Suy ra

) 5

;

; 2 1

2

( t t1 t t1 t1

0 2 3 5 0 3 6 3 0

0

1 1

1 2

1

































t t t t t t u MN u MN

Khi đó M(2;0;-1); )

4

;

2

;

1

(

MN Do đó phương trình chính tắc đường vuông góc chung (d) là phương trình của đường thẳng MN : 122  41



x

Cách 2: Đường thẳng (d1) có 1 vtcp 1( 2 ;  1 ; 1 )



u và đi qua A(0;1;-2); Đường thẳng (d2) có 1 vtcp 2(2;1;0)

u và đi qua B(-1;1;3); gọi 1, 2  (  1 ; 2 ; 4 )











u u

Đường vuông góc chung (d) của (d1) và (d2)là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) trong đó: (P) là mặt phẳng chứa (d1) và (d) nên (P) đi qua A nhận

) 1

; 3

; 2 ( ,

3

1

1

















u

u

n làm 1 vtpt có phương trình là: 2x+3(y-1)-(z+2) = 0 hay 2x+3y-z-5=0 (Q) là mặt phẳng chứa (d2) và (d) nên (Q) đi qua B nhận

) 5

; 8

; 4 ( ,

2

















u

u

n làm 1 vtpt có phương trình là: 4x - 8y + 5z – 3 = 0.Vậy tập hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: 















0 3 5 8 4

0 5 -z -3y 2x

z y

Đặt y = 2t thì hệ (I) trở thành 













t z

t y

t x

4 1

2 hay 12 2  41



x

Vậy đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là: 12 2  41



x

Bài tập:

1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;1;4); B(3;3;1); C(1;5;5); D(1;1;1).Hãy viết phương trình tham số đường vuông góc chung của hai đường thẳng AC và BD

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt có phương trình là (d1) : 22 33 54











x

; (d2): 

















t z

t y

t x

4

2 4

3 1

Viết phương trình chính tắc đường vuông góc chung của chúng

3.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1): 12 52 2









x

và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x –2y +z = 0;

x – 3z + 5 = 0 Viết phương trình tham số đường vuông góc chung của chúng

Bài toán 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ).

Cách giải :

Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp 

1

u , đường thẳng (d2 ) có 1 vtcp 

2

u Chọn











2

1, u

u

k

u ( k 0 ) làm 1 vtcp của (d) Suy ra phương trình của (d)

Cách 2: Đường thẳng (d) là giao tuyến cưa hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với(d1); (Q) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với(d2)

V í dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) và hai đường thẳng (d1): x32y21z11

; (d2): x13 y 111z









Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với hai đường thẳng (d1) và (d2)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng (d1 )có 1 vtcp u1( 3 ; 2 ; 1 ), (d2 ) có 1 vtcp 2( 1 ;  1 ; 1 )



Chọn 1, 2  ( 3 ;  2 ;  5 )

















u u

u làm 1 vtcp của (d) Đường thẳng (d) đi qua M có phương trình là: 32 21 51













x

Giáo viên: Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.

Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số

đường thẳng đi qua điểm N(3;2;4) vuông góc với hai đường thẳng có phương trình lần lượt là 21 31 1 2







x

và 34 22 14











x

Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc với đường thẳng (d 1 ) và cắt đường thẳng (d 2 ).

Cách giải :

Cách 1: Tìm véc tơ chỉ phương ucủa (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d)

và (d2) qua t (đường thẳng (d2) viết về dạng tham số), giải phương trình

0

u

MN tìm được t Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có vtcp MN Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng (d1) Tìm giao điểm N của (P) với (d2), chọn véc tơ k MN ( k 0 ) là 1vtcp của (d) Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng (d)

Cách 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với đường thẳng (d1) Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng (d2) Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường

thẳng (d) và (d') lần lượt có phương trình (d): 22 12 1 3







x

; (d'):

1

1 2

1

1









x

Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( )đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d')

Hướng dẫn giải :

Cách 1: Đường thẳng (d) có 1 vtcp 1( 2 ;  1 ; 1 )



u ; gọi (  ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) thì (  ) nhận 1( 2 ;  1 ; 1 )



u làm 1 vtpt có phương trình là:

2x – y + z – 3 = 0 Gọi B là giao điểm của (d') và (  ) tọa độ điểm B là nghiệm



































2 2 1

1 2 1 1

0 3 2

z y z

y x z y x

Đường thẳng ( ) đi qua điểm A nhận )

5

;

3

;

1

(  

AB làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là: 11 32 53













x

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.

Bài tập:

1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng (d1): x31y121z ; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y – z + 2 = 0;

x + 1 = 0 Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2)

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;1) và hai đường thẳng (d1): x32 y21z11

; (d2): 













t z

t y

t x

1 Viết phương trình chính tắc đường thẳng đi qua M, vuông góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2)

Bài toán 5: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vuông góc và cắt đường thẳng (d 1 ).

Cách giải :

Cách 1 : Tìm véc tơ chỉ phương ucủa (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d)

và (d1) qua t.(đường thẳng (d1) viết về dạng tham số) Giải MN u 0 tìm được t, viết phương trình (d) qua M và có 1 vtcp MN

Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với (d1).Tìm giao điểm N của (P) với (d1) chọn k MN ( k 0 ) là 1 vtcp của (d) Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng (d)

Cách 3 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) Trong đó (P) qua M và vuông góc với đường thẳng (d1); (Q) qua M và chứa (d1)

Ví dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4;-2;4) và đường

thẳng (d): 



















t z

t y

t x

4 1 1

2 3

Viết phương trình chính tắc đường thẳng

)

( đi qua A, vuông góc và cắt đường thẳng (d)

Hướng dẫn giải:

Cách1: Gọi M(  3  2t; 1  t;  1  4t)  (d) là giao điểm của (d) và ( )thì

) 4 5

; 3

; 2

1

AM      ; đường thẳng (d) có 1 vtcp u  ( 2 ;  1 ; 4 ).Vì ( )vuông góc (d) nên AM.u 0  21t 21  t 1 Với t = 1 thì AM  ( 3 ; 2 ;  1 )do đó ( )đi qua A nhận AM  ( 3 ; 2 ;  1 ) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là:

1

4 2

2

3

4











x

Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với (d) thì (P) đi qua A nhận

)

4

;

1

;

2

( 



u là 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x - y + 4z -10 = 0

Gọi M là giao điểm của (d) và (P), tìm được tọa độ của M(-1;0;3); () đi qua 2 điểm A, M.Vậy phương trình (): 34 22 14











x

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.

Bài tập:

1, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng (d)

có phương trình: 21 11 1









x

Viết phương trình chính tắc đường thẳng( )

đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng (d)

2, Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;-1;0) và đường thẳng (d)

là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x + y +z + 2 = 0; x – y + 2z + 1 = 0 Viết phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm M cắt và vuông góc với đường thẳng (d)

Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua M cắt hai đường thẳng (d 1 ) và (d 2 ).

Cách giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d1); (Q) là mặt phẳng đi qua

M và chứa (d2) Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;-1;1) và đường

thẳng (d1) 21 1 13









x

; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z - 1 = 0;

y + 2z - 3 = 0 Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M cắt

cả hai đường thẳng (d1) và (d2)

Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d1), (Q) là mặt phẳng đi qua M

và chứa (d2) Đường thẳng (d1) đi qua N(1;0;3) và có 1 vtcp u  ( 2 ; 1 ;  1 ) Ta chọn nu ;MN  ( 3 ;  4 ; 2 ) là 1 vtpt của (P) Suy ra (P) có phương trình là : 3x - 4y + 2z - 9 = 0 Tương tự ta tìm được phương trình (Q) là : x + y + z - 1 = 0 Tập hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ:





















0 1

0 9 2 4

3

z

y

x

z y

x

(I) Đặt y = t thì hệ (I) trở thành 













t z

t y

t x

7 6 6 7

Vậy đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là: 67 1 76









x

Chú ý : Ta có thể lấy hai điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và (d) chính là đường

thẳng đi qua hai điểm đó Hoặc lấy một điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và 1 vtcp của (d) là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)

Bài tập:

1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;5) và hai đường thẳng (d1); (d2) lần lượt có phương trình: (d1) 

















t z

t y

t x

2 2

4 1

3 3

; (d2)

















t z

t y

t x

3 2

2 3

Viết phương trình tham số đường thẳng ( )đi qua A, cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1):

















t z

t y

t x

2

5 2 2

và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng : x + y + 2z = 0; x

– y +z + 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua M(1;1;1;) đồng thời cắt cả (d1) và (d2)

Bài toán 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (d').

Cách giải :

Cách 1 : Viết phương trình đường thẳng (d') dưới dạng tham số , suy ra toạ độ giao điểm I của (d) và (d') được biểu thị theo tham số t Giải phương trình

0

.n P 

IM ( do (d) // mp(P) ) tìm được t Từ đó suy ra phương trình đường thẳng

MI chính là phương trình đường thẳng (d) cần tìm

Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d'); Viết phương trình mặt phẳng (R) qua M và song song với (P) Từ đó đường thẳng (d) là giao tuyến của (Q) và (R)

V

í dụ : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 1), mặt phẳng (P): x - 2y + 3z -1 = 0.Và đường thẳng (d') là giao tuyến của hai mặt phẳng

; 0 6 4

:

)

(  xy z  (  ) :xy 3  0 Viết phương trình tham số đường thẳng (d)

đi qua M, cắt đường thẳng (d'), đồng thời song song với mặt phẳng (P)

Hướng dẫn giải:

Cách 1: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là  (  1 ; 2 ; 3 )



n Đường thẳng (d') là giao tuyến của hai mặt phẳng (  ) : 4xy z 6  0 ; (  ) :xy 3  0 nên tập hợp những điểm nằm trên (d') có tọa độ là nghiệm của hệ 

















0 3

0 6 4

y x

z y x

(I) Đặt x = t thì hệ (I) trở thành 













t z

t y

t x

3 3 3

Vậy đường thẳng (d') có phương trình tham số là:













t z

t y

t x

3 3 3

gọi N(t;3-t;-3+3t) là giao điểm của (d) và (d')  MN  (t 1 ; 1  t; 3t 4 ),

vì (d) // (P) nên  0  45



t n

MN Đường thẳng (d) đi qua M nhận

) 1

; 1

;

1

(

4MN    làm 1 vtcp có phương trình tham số là: 















t z

t y

t x

1 1

Giáo viên:Yêu cầu học sinh về tự làm các cách còn lại.

Bài tập : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4;2;-3), đường thẳng

(d): x1 2 3yz22

và mặt phẳng (P): 2x + y - z +1 = 0 Viết phương trình đường thẳng đi qua M, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (d)

Bài toán 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, nằm trên mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (d').

Cách giải :

Cách 1 : Tìm vtcp 

u của đường thẳng (d'), vtpt 

ncủa mặt phẳng (P) Vì











) (

)

(

) (

)

(

p

d

d

d

nên (d) có 1 vtcp 













n u

v , Từ đó suy ra (d) là đường thẳng qua M

và có 1 véc tơ chỉ phương 

v Cách 2 :Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và vuông góc với đường thẳng (d') Từ đó suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q)

Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( ):

2

3 2

2

1







x

và mặt phẳng (P): 2x + z -5 = 0 Gọi A là giao điểm của ( )

và (P) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm trên (P), và (d) vuông góc với đường thẳng ( )

Hướng dẫn giải: Vì A (  )  A( 1 t; 2  2t; 3  2t).Lại có A  (P) nên

2(1+t)+3+2t-5=0, suy ra t = 0 vậy A(1;2;3) Đường thẳng ( )có 1 vtcp

)

2

;

2

;

1

(



u ; (P) có 1 vtpt n( 2 ; 0 ; 1 ); Vì 









) ( ) (

) ( ) (

p d

d

nên (d) có 1 vtcp

) 4

; 3

; 2 (

,   













n

u

v Vậy (d) là đường thẳng qua A và có 1 vtcp  ( 2 ; 3 ;  4 )



v

nên phương trình chính tắc của đường thẳng (d) là : 21 32 43











x

Bài tập:

1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + z -1 = 0

và đường thẳng (d'): 21 1 32









x

.Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trên (P) đi qua giao điểm M của (P) và (d'), vuông góc với (d')

2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +5y + z + 17 = 0

và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x - y + 4z - 27 = 0 ;

6x +3y - z + 7 = 0 Xác định giao điểm M của (P) và (d), viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M vuông góc với (d) và nằm trong (P)

Bài toán 9: Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua M nằm trong mặt phẳng (P) vuông góc với đường thẳng (d) biết khoảng cách từ M đến ( )

bằng k (k > 0 )

Cách giải : Đường thẳng (d) có 1 vtcp 

u ; (P) có 1 vtpt 

n Vì ( )nằm trên (P), vuông góc với (d) nên ( )có vtcp 













n u

u1 , Gọi N(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M trên ( )khi đó từ hệ 









 )

( P

N

k

Viêt phương trình đường thẳng ( )

Ví dụ :Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z + 2= 0

và đường thẳng( ) : 23 12 11











x

d Gọi M là giao điểm của (d) và (P), viết phương trình đường thẳng ( ) nằm trên (P), vuông góc với (d) đồng thời thỏa mãn khoảng cách từ M tới ( )bằng 42

Hướng dẫn giải :Tọa độ M là nghiệm của hệ: 



































0 3 1

0 2 z

y

x

1

1 1

2 2

3

z y x z

y x

vậy M(1;-3;0) Đường thẳng (d) có 1 vtcp ( 2 ; 1 ;  1 )



u ; (P) có 1 vtpt n( 1 ; 1 ; 1 )

Vì( )nằm trên (P), vuông góc với (d) nên ( )có 1 vtcp 1  ,   ( 2 ;  3 ; 1 )







n u

Gọi N(a;b;c) là hình chiếu vuông góc của M trên ( )khi đó MN  (a 1 ;b 3 ;c), mặt khác MN  ( ) và MN  42 nên































0 11 3

2

0 2 z

y

x

42 )

3 (

)

1

z y x

z y

x

Giải hệ tìm được 2 điểm N Với N(5;-2;-5) ta có ( ) : 25 32 15









Với N(-3;-4;5) ta có ( ) : 23 34  1 5









Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +y -z+1= 0

và đường thẳng

3

1 1

1 1

2 :

) (













x

d Gọi M là giao điểm của (d) và (P), viết phương trình tham số đường thẳng ( ) nằm trên (P), vuông góc với (d) và cách

M một khoảng bằng 3 2

Bài toán 10: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng (d 1 ) và (d 2 )

Cách giải :Tìm giao điểm A của đường thẳng (d1) và (P); Tìm giao điểm B của đường thẳng (d2) và (P) Phương trình của đường thẳng (d) chính là phương trình của đường thẳng AB

Ví dụ : Trong không gian Oxyz, cho (P): x - 2y + z - 2 = 0 và hai đường thẳng





























t z

t y

t x

d z

y x

d

1 2 2 1 :

) (

; 2 2 1

3 1

1

:

)

của đường thẳng ( )nằm trong (P) cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2)

Hướng dẫn giải:

Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với (P) thì: Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ: 





























20 14 10

0 2 -z 2y

-x

2

2 1

3 1 1

z y x z

y x

vậy A(10;14;20); tọa độ điểm B là

























5 9 0

2 -z 2y

-x 1 2 1

z y t

z

t y

t x

vậy B(9;6;5) Đường thẳng ( )

đi qua B nhậnBA( 1 ; 8 ; 15 ) làm 1 vtcp có phương trình là :

















t z

t y

t x

15 5

8 6

Bài tập:

1 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x-3y+11z -26 = 0

và hai đường thẳng: ; ( ) : 14 1 23

3

1 2

3 1

: )



z y x

d z

y x

trình đường thẳng ( ) nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2)

2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x+3y -13z+39= 0

























t z

t y

x d

z y

x d

2 5 3 2 :

) (

; 1 1 2

5 1

1 :

)

phương trình đường thẳng ( ) nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d1)

và (d2)

Bài toán 11: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của (d') trên mặt phẳng (P).

Cách giải :

Cách 1 : Chọn hai điểm A, B là hai điểm phân biệt thuộc (d') Tìm toạ độ hình chiếu H, K lần lượt của A, B trên mặt phẳng (P) Từ đó suy ra phương trình đường thẳng HK chính là phương trình của (d)

Cách 2 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) Trong đó (Q) là mặt phẳng chứa (d') và vuông góc với (P)