Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3.. Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4.. *Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa c
Trang 1RÈN LUYỆN KỶ NĂNG GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT
TRÊN TẬP HỢP SỐ NGUYÊN PHẦN I: MỞ ĐẦU
PHẦN II: NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA
Cho hai số nguyên a và b trong đó b 0 ta luôn tìm được hai số nguyên q và r duy nhất sao cho: a = bq + r Với 0 r b
Trong đó: a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư
Khi a chia cho b có thể xảy ra các số dư: r {0; 1; 2; …; b }
Đặc biệt: r = 0 thì a = bq, khi đó ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a hoặc a là bội của
b hoặc b là ước của a Ký hiệu: ab hay b\ a
Vậy: a b Có số nguyên q sao cho a = bq
14 Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n!
III MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT
Gọi N = a a n n 1 a a 1 0
1 Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
* N 2 a0 2 a0{0; 2; 4; 6; 8}
* N 5 a0 5 a0{0; 5}
Trang 2* N 4 (hoặc 25) a a 1 0 4 (hoặc 25)
* N 8 (hoặc 125) a a a2 1 0 8 (hoặc 125)
2 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
* N 3 (hoặc 9) a0+a1+…+an 3 (hoặc 9)
2 Nếu a b (mod m) b a (mod m)
3 Nếu a b (mod m), b c (mod m) a c (mod m)
4 Nếu a b (mod m) và c d (mod m) a+c b+d (mod m)
5 Nếu a b (mod m) và c d (mod m) ac bd (mod m)
6 Nếu a b (mod m), d UC (a, b) và (d, m) =1 a b
Trang 33 Định lý Wilson
Nếu p là số nguyên tố thì ( p - 1)! + 1 0 (mod p)
B: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT
I PHƯƠNG PHÁP 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA CHIA HẾT
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng aaaaaa bao giờ cũng chia hết cho 7
Giải: aaaaaa = a.111111 = a 7.15873 chia hết cho 7
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết cho 7
và chia hết cho 13
Giải: Ta có : abcabc = abc000 abc = abc.(1000+1) =abc.1001 = abc.11.7.13 nên
abcabc chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13
Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số ấy viết
theo thứ tự ngược lại, ta luôn được một số chia hết cho 11
Giải: Gọi 2 số đó là ab và ba Ta có:
ab+ ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11(a + b) chia hết cho 11
Ví dụ 4: CMR: a Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
Giải: a Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n +1, n + 2 Với n là só tự nhiên
Tổng của 3 số đó là : n + (n +1) + (n+ 2) = 3n +3 = 3( n + 1) 3
b Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : n, n+1, n+2, n+3 Tổng của 4 số đó là:
n+(n+1)+(n+2)+(n+3)= 4n + 6 = 4n + 4 + 2 = 4(n+1)+2 không chia hết cho 4 Vậy tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
*Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chưa chắc đã chia hết cho n
Như vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng, một hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích được thành tích các thừa số, ta thường sử dụng các tính chất của phép chia hết
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia hết cho 2
Bài 2: CMR: a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4
Bài 3: a Tìm tất cả các số x,y để số 34 5x y chia hết cho 36
b Tìm các chữ số x, y để 21xy chia hết cho 3, 4, 5
Bài 4: Cho các chữ số 0, a, b Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 số trên
Chứng minh rằng tổng tất cả các số đó chia hết 211
Bài 5: chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với a, b là số tự nhiên
Bài 6: Chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8
Bài 7: a) Cho A = 2 +22 +23 + +260 Chứng minh rằng : A3; A7; A 15
b) Cho B = 3 + 33 + 35 + + 31991 Chứng minh: B chia hết cho 13 và B chia hết cho 41
Bài 8: Cho a - b chia hết cho 6 Chứng minh các biểu thức sau chia hết cho 6
a) a +5b ; b) a + 17b ; c) a - 13b
Trang 4Bài 2: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2)
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số dư 0; 1; 2
Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3
Nếu r = 1 thì n = 3 k + 1 (k là số tự nhiên) n+2 = 3k +1 + 2 = (3k +3) chia hết cho 3 n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3
Nếu r = 2 thì n = 3k+ 2 (k là số tự nhiên) n+1 = 3k +2 +1 = 3k +3 chia hết cho 3
n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3
Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên
b) Chứng minh tương tự ta có: n.(n+1).(n+2).(n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tự nhiên
Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổng quát
*Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho n Nhận xét: Phương pháp này thường được sử dụng khi chứng minh một biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phương pháp này vì phải xét nhiều trường hợp
Bài 3: Giải: Vì (4;9) = 1 nên 34 5x y chia hết cho 36 34 5x y chia hết cho 9 và 34 5x y
chia hết cho 4
Ta có: 34 5x y chia hết cho 4 5y chia hết cho 4 y2;6
34 5x y chia hết cho 9 ( 3+4+x+5+y) chia hết cho 9 (12+x+y) chia hết cho 9
Vì x,y là các chữ số nên x+y 6;15
Nếu y = 2 thì x = 4 hoặc x = 13 >9 (loại)
Nếu y = 6 thì x = 0 hoặc x = 9
Vậy các số phải tìm là: 34452; 34056; 34956
b) Ta có : 21xy 5 y 0;5
Nếu y = 5 thì 21xy không chia hết cho 4
Nếu y = 0 thì 21xy chia hết cho 4 x0 4 x 0; 2; 4 ; 6 ; 8 (1)
21 0x 3 (2 + 1 + x + 0) 3 (3+ x) 3 x 0; 3; 6; 9 (2)
Trang 5Kết hợp (1) và ( 2) x 0; 6 Vậy các số cần tìm là: 2100 ; 2160
Bài 4: Giải : Tất cả các số có 3 chữ số tạo bởi 3 chữ số 0, a, b là: a b ab0 ; 0; ba0; b a0
Tổng của các số đó là: a b ab0 0 ba0 b a0 = 100a +b +100a +10b +100b +10a +100b +a = 211a +211b = 211(a+b) chia hết cho 211
(Các bài tập còn lại học bạn độc tư giải)
II PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT, DẤU HIỆU CHIA HẾT
Ví dụ 1: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b 45
Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của 1 số là không đổi khi nhân số đó với 5
Chứng minh rằng số đó chia hết cho 9
Giải: Gọi số đã cho là a Ta có a và 5a khi chia cho 9 cùng có 1 số dư
Bài 1: Tìm các chữ số x, y sao cho : a 34x5y 4 và 9 ; b 2x78 17
Bài 2: Cho số N = dcba CMR
a N 4 (a + 2b) 4
b N 16 (a + 2b + 4c + 8d) 16 với b chẵn
Trang 6c N 29 (d + 2c + 9b + 27a) 29
Bài 3: Tìm tất cả các số có 2 chữ số sao cho mỗi số gấp 2 lần tích các chữ số của số đó Bài 4: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số
A = 192021…7980 Hỏi số A có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Bài 5: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?
là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp
Bài 7: CMR: Tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 9
Bài 12: Với p là số nguyên tố p > 3 CMR : p2 - 1 24
Bài 13:CM: Trong 1900 số tự nhiên liên tiếp có 1 số có tổng các chữ số chia hết cho 27 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Trang 7Bài 4: Ta có 1980 = 22.32.5.11 Vì 2 chữ số tận cùng của a là 80 4 và A 4 và 5 Tổng các số hàng lẻ 1+(2+3+…+7).10+8 = 279
Tổng các số hàng chẵn 9+(0+1+…+9).6+0 = 279
Có 279 + 279 = 558 9 A 9
279 - 279 = 0 11 A 11
(Các bài tập còn lại học bạn độc tư giải)
III PHƯƠNG PHÁP 3: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ
Giả sử chứng minh An k
Ta có thể phân tích An chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số mà các thừa số
đó chia hết cho các thừa số của k
Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63 72 với n chẵn n N, n 2
Bài 3: Cho a và b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp CMR: (a - 1) (b - 1) 192
Trang 8Bài 4: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4 - 1 240
Bài 5: Cho 3 số nguyên dương a, b, c và thoả mãn a2 = b2 + c2 CMR: abc 60
Bài 6: Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n để 4n2 + 1 5 khi và chỉ khi n không chia hết cho 13
Bài 7: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: n4 + 6n3 +11n2 + 6n 24
Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì: n3(n2 -7)2 -36n 5040
Bài 9: a) Tìm số nguyên dương n để: n5 + 1 n3 +1
(Các bài tập còn lại học bạn độc tư giải)
IV PHƯƠNG PHÁP 4: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA
Cho hai số nguyên bất kỳ a và b (b≠0) Tồn tại một và chỉ một cặp số nguyên q và r sao cho : a = b.q + r với 0 ≤ r < b và lúc đó ta xét tầng số dư r
Trang 9 A(n) 3 với n mà (2, 3) = 1
Vậy A(n) 6 với n N
Ví dụ 2: CMR: Nếu n 3 thì A(n) = 32n + 3n + 1 13 Với n N
Bài 4: Cho 2 số tự nhiên m, n để thoả mãn 24m4 + 1 = n2 CMR: mn 5
Bài 5: Chứng minh rằng chử số tận cùng của các số tự nhiên n và n5 là như nhau
Trang 10Bài 6: a) Cho n>2 và n nguyên tố cùng nhau với 6 Chứng minh rằng: n2-124
b) Cho n lẻ và nguyên tố cùng nhau với 3 Chứng minh rằng: n4-148
c) Cho n lẻ và n nguyên tố cùng nhau với 5 Chứng minh rằng: n4-180
Bài 7: Cho a và b là hai số tự nhiên không chia hết cho 7 CMR: a42 - b4249
Bài 8: Cho a và b là hai số nguyên tố lớn hơn 7 CMR: (a2-1)(b2-1)(a6 –b6 ) 580608
Bài 9: Tìm số dư của phép chia : Sn=1n+2n+3n+4n cho 4
Bài 10: Chứng minh rằng : 52n + 5n + 1 31 với mọi n không chia hết cho 3
Khi m 5 thì (m, 5) = 1 m4 - 1 5 ( Mọi lũy thùa bậc 4 có cơ số là số nguyên
tố cùng nhau với 5 đều có chữ số tận cùng là 1 hoặc 6)
(Hoặc vì m5 - m 5 m (m4 - 1) 5 m4 - 1 5)
n2 5 n5 Vậy mn 5
(Các bài tập còn lại học bạn độc tư giải)
V PHƯƠNG PHÁP 5: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC CẦN CHỨNG MINH VỀ DẠNG TỔNG
Giả sử chứng minh A(n) k ta biến đổi A(n) về dạng tổng của nhiều hạng tử và chứng minh mọi hạng tử đều chia hết cho k
Trang 12(Các bài tập còn lại bạn độc tự giải)
VI PHƯƠNG PHÁP 6: QUY NẠP TOÁN HỌC
Giả sử CM A(n) P với n a (1)
Bước 1: Ta CM (1) đúng với n = a tức là CM: A(n) P
Trang 13Bước 2: Giả sử (1) đúng với n = k tức là CM: A(k) P với k a
Ta CM (1) đúng với n = k + 1 tức là phải CM: A(k+1) P
Bước 3: Kết luận A(n) P với n a
Ví dụ 1: Chứng minh A(n) = 16n - 15n - 1 225 với n N*
Giải: Với n = 1 A(n) = 225 225 vậy n = 1 đúng
Giả sử n = k 1 nghĩa là A(k) = 16k - 15k - 1 225
Trang 14Bài 6: Cho nN CMR 16n - 15n - 1 225
Bài 7: Chứng minh rằng tồn tại một số có 2005 chữ số mà trong cách viết thập phân của
nó chỉ gồm các chữ số 1;2 và số này chia hết cho 22005
Bài 8:Chứng minh rằng với k nguyên dương và a là số nguyên tố lớn hơn 5 thì a4k-1240
2k+ 1 3k Với n=k+1 ta có : 1
x Z theo giả thiết
Giả sử Sn nguyên với n= 0,1,2,3,4, … , (k-1),k
Ta chứng minh Sn nguyên với n=k+1 nghĩa là ta chứng minh: Sk+1= xk+1+ 1k 1
Mà S, Sk-1 , Sk nguyên nên Sk+1 củng nguyên
Vậy ta có điều phải chứng minh
Trang 15(Các bài tập còn lại bạn độc tự giải)
VII PHƯƠNG PHÁP 7: SỬ DỤNG ĐỒNG DƯ THỨC
Giải bài toán dựa vào đồng dư thức chủ yếu là sử dụng định lý Euler và định lý Fermat
Ví dụ 2: CMR: 24 1 34 1
3 n 2 n 5 22 với n N Giải: Theo định lý Fermat ta có:
Bài 3: Cho n>3 và n là số tự nhiên Chứng minh rằng: 2n =10a+b (0<b<9) thì ab 6
Bài 4: Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất sau:
Tập hợp n n, 1,n 2, n 3,n 4, n 5 có thể tách thành hai nhóm sao cho tích
các phần tử của nhóm này bằng tích các phần tử của nhóm kia?
Bài 5: Cho số p > 3, p (P) CMR 3p - 2p - 1 42p
Bài 6: CMR với mọi số nguyên tố p đều có dạng: 2n - n (n N) chia hết cho p
Trang 16Bài 7: Cho n>3 và n là số tự nhiên Chứng minh rằng: 2n =10a+b (0<b<9) thì ab 6
2n ) 2 (mod 3) 10a+b=9a+a+2 2 (mod 3) Do đó 9a 0 (mod 3)
Nên a+2 2 (mod 3) Suy ra a 0 (mod 3) Suy ra ab 6
+Trường hợp b = 4; 8 chứng minh tương tự
Bài 4: Giả sử tập hợp n n, 1,n 2, n 3,n 4, n 5 được tách thành hai nhóm sao cho tích các phần tử của nhóm này bằng tích các phần tử của nhóm kia (1)
n n( 1)(n 2)(n 3)(n 4)(n 5) 1.2.3.4.5.6 (mod 7) m2 6 (mod 7) (2)
vì 1.2.3.4.5.6 6 (mod 7)
Mà (2) không xẩy ra với m thuộc N
Vậy ta không có giá tri của n thỏa mãn yêu cầu bài toán
(Các bài tập còn lại bạn độc tự giải)
VIII: PHƯƠNG PHÁP 8: SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ DI-RICH-LET
Nguyên lý: Nếu đem n + 1 con thỏ nhốt vào n lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa từ 2 con trở lên
Ví dụ 1: CMR trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm được 2 số có hiệu chia hết cho 5
Giải: Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số dư là : 0; 1; 2; 3; 4
Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư (nguyên tắc Đirichlet) Suy ra hiệu của 2 số chia hết cho 5
Ví dụ 2: CMR tồn tại một số tự nhiên x<17 sao cho 25x - 1 17
Giải: Xét dãy gồm 17 số hạng: 25 , 252 , 23 , , 2517 (1)
Chia các số hạng của dãy (1) cho 17.Vì (25,17)=1 nên (25n ,17)=1ví mọi n thuộc N và n>1
Do đó số dư của các phép chia chỉ có thể theo một thứ tự nào đó là 1,2,3, … , 16
Có 17 phép chia và 16 số dư có thể nên có ít nhất hai số hạng của dãy (1) chia cho 17 có cùng số dư
Trang 17Gọi hai số đó là 25i và 25j với i,j thuộc N và 1i<j17
25i - 25j 17 25i (25j-i - 1) 17
Vì (25i ,17)= 1 nên 25j-i - 1 17
Vì 1i<j17 suy ra j-i<17 Vây tồn tại x thuộc N và x<17 để 25x - 1 17
Ví dụ 3: Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n sao cho 3n tận cùng là 000001
Giải: Ta chứng minh tồn tại n thuộc N để ch 3n - 1 106
Xét dãy gồm 1000000 số hạng sau: 3, 32, 33, … , 10 6
3 (1) Chia các số hạng của dãy(1)cho 106 Số dư của các phép chia có thể có là 1, 2, 3,… ,99999
Có một triệu phép chia do đó có ít nhất hai số hạng của dãy (1) có cùng số dư trong phép chia cho 106
Gọi hai số đó là 3i và 3j với i,j thuộc N và 1i<j106
Suy ra: 3i - 3j 106 3i (3j-i -1) 106 ; Nhưng (3,10)=1(3,106)=1
Vậy: Tồn tại n thuộc số tự nhiên để 3n tận cùng bởi 000001
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: Tồn tại n N sao cho 17n - 1 25
Bài 2: Có hay không 1 số có dạng 19931993 … 1993000 … 00 1994
Bài 3: Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 1 Đánh dấu 5 điểm phân biệt bất kỳ trong
tam giác đó Chứng minh ắt tồn tại ít nhất là hai điểm trong số đó mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn 0,5
Bài 4: Cho hình tròn (O;R) có diện tích bằng 8 người ta lấy 17 điểm phân biệt bất kỳ
CMR bao giờ củng tìm được ít nhất là 3 điểm tạo thành một tam giác có diện tích bé thua 1
Bài 5: CMR: Trong n + 1 số nguyên bất kỳ có 2 số có hiệu chia hết cho n
Bài 6: CMR: Tồn tại 1 bội của số 1993 chỉ chứa toàn số 1
Bài 7: CMR: Với 17 số nguyên bất kỳ bao giờ cũng tồn tại 1 tổng 5 số chia hết cho 5 Bài 8: CMR: Tồn tại số có dạng 323232…32 chia hết cho 31
Bài 9: CMR: Tồn tại số có dạng 19941994…1994 gồm k số 1994 với kN
Trang 18 1993 1993.10ni 1994
j-i sè 1993
Bài 3: Các đường trung bình của tam giác ABC chia nó thành 4 tam giác đều có cạnh
bằng 0,5 Theo nguyên tắc Direchlel, ắt tồn tại ít nhất rơi vào cùng một tam giác nhỏ Nên ta có khoảng cách giữa hai điểm này bằng 0,5
Bài 4: Chia hình tròn thành 8 hình quạt bằng nhau có bán kính là bán kính của hình tròn
Do đó mỗi hình quạt có diện tích bằng 1
Theo nguyên tắc Direchlel, ắt tồn tại ít nhất là một hình quạt chứa nhiều hơn hai điểm Xét 3 điểm phân biệt trong hình quạt đã cho
Dễ thấy tam giác tạo bởi 3 điểm này có diện tích bé hơn 1
(Các bài tập còn lại bạn độc tự giải)
IX: PHƯƠNG PHÁP 9: DÙNG PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Để CM A(n) p (hoặc A(n) không chia hết cho p )
Giả sử: A(n) không chia hết cho p (hoặc A(n) p )
Giả sử n 1, n ẻ N* sao cho n2 - 1 n
Gọi d là ước số chung nhỏ nhất khác 1 của n ị d ẻ (p) theo định lý Fermat ta có
2d-1 1 (mod d) ị m < d
Ta chứng minh m\n
Giả sử n = mq + r (0 Ê r < m) Theo giả sử n2 - 1 n ị nmq+r - 1 n
ị 2r(nmq - 1) + (2r - 1) n ị 2r - 1 d vì r < m mà m ẻ N, m nhỏ nhất khác 1 có tính chất (1)
ị r = 0 ị m\n mà m < d cũng có tính chất (1) nên điều giả sử là sai