SKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bản

SKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bảnSKKN Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bản

Phần I - mở đầu

I

Lí do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi nhận thấy việc xây dựng cho học sinh một kiến thức mới từ những kiến thức đã có một cách cơ bản là vô cùng quan trọng Điều đó không chỉ giúp các em nhận biết đợc nguồn gốc của vấn

đề , khắc sâu đợc kiến thức mà còn giúp học sinh vận dụng đợc linh hoạt và sáng tạo trong học toán Chính vì vậy

mà ngời thầy giáo phải biết gợi mở , khuyến khích học sinh tìm tòi, sáng tạo, khơi gợi sự hứng thú học tập ở các em ,nhất là đối với phần kiến thức hay và khó.Từ những bài toán ban đầu hết sức đơn giản nếu chúng ta biết cách

định hớng để học sinh phát hiện ra cái mới thì phần kiến thức mà chúng ta giúp các em xây dựng nên sẽ trở nên nhẹ nhàng

Chính vì vậy mà tôi đã chọn đề tài “ Giúp học sinh tiếp cận và nâng cao từ một kiến thức cơ bản ” Thông qua đề tài này tôi muốn gửi tới học sinh một phơng pháp học toán

đó là hãy bắt đầu từ những điều đơn giản Điều đơn giản mà tôi muốn trao đổi ở đây là việc mở rộng của bất

đẳng thức (a-b)2 ≥ 0

Bất đẳng thức rất gần gũi với các em học sinh nhng việc

mở rộng và phát triển nó để giải các bài toán khác thì

không mấy em quan tâm Trong quá trình giảng dạy bản thân tôi đã giúp học sinh khai thác và vận dụng khá thành

công kết quả của bài toán này.Hy vọng vấn đề mà tôi trăn trử nghiên cứu củng là vấn đề mà các đồng nghiệp củng rất quan tâm

II.Nhiệm vụ của đề tài

Trong đề tài này tôi trình bày việc mở rộng một số bất

đẳng thức cơ bản từ bất đẳng thức (a - b)2 ≥ 0 áp dụng vào giải một số bài tập thờng gặp trong các kì thi học sinh giỏi , thi khảo sát chất lợng hằng năm của học sinh khối 8,9

Hy vọng rằng vấn đề mà tôi nghiên cứu sẽ là một tài liệu thiết thực cho học sinh trong quá trình học tập

III.Đối t ợng nghiên cứu

- Đề tài nghiên cứu việc áp dụng một số bất đẳng thức

quen thuộc đợc suy ra từ bất đẳng thức (a - b)2 ≥ 0 vào bài toán chứng minh bất đẳng thức,bài toán tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất

- Đối tợng khảo sát và áp dụng: học sinh khá ,giỏi khối 8,9

IV.Ph ơng pháp nghiên cứu

- Phơng pháp thực hành, đúc rút kinh nghiệm của bản

thân và đồng nghiệp

- Phơng pháp nghiên cứu tài liệu

Phần II- Nội dung đề tài A.

Kiến thức cơ bản:

- Với a,b là hai số bất kì ta có: (a - b)2 ≥ 0  a2 +b2 ≥ 2ab (1) Dấu “ = ’’xẩy ra khi và chỉ khi a = b

Học sinh lớp 8 đã rất quen thuộc với bất đẳng thức dạng (1) Vấn đề đặt ra là kết quả bài toán có dừng lại ở đó hay không ? Giáo viên có gợi mở , khuyến khích để học sinh tìm tòi ,phát triển kết quả bài toán trên vào giải các bài toán khác hay không? Qua thực tế giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi tôi và các học sinh của mình nhận thấy rằng việc

mở rộng và áp dụng kết quả bất đẳng thức dạng (1) cho nhiều kết quả thú vị

- Với ab > 0 chia cả hai vế của (1) cho ab ta đợc : a b 2

b a+ ≥ (2)

- Với a > 0 , b > 0 từ (1) cộng vào hai vế với 2ab

Ta đợc a2 + 2ab b+ 2 ≥ 2ab+ 2ab  (a+b)2 ≥ 4ab (3)

*Chia cả hai vế của (3) cho ab(a + b) ta đợc 1 1a b+ ≥ a b4

+ (4)

*Chia cả hai vế của (3) cho ab(a+b)2 ta đợc ( )2

ab≥ a b

+ (5)

Việc sử dụng kết quả có đợc từ bài toán ban đầu sẽ gúp

học sinh có đợc những thuận lợi khi tiến hành giải nhiều bài toán liên quan Sau đây tôi xin trình bày việc sử dụng một

số kết quả của các bài toán trên vào giải một số bài toán khác Tuy nhiên trong quá trình sử dụng giáo viên nên lu ý học sinh chứng minh lại rồi mới áp dụng

B.Bài toán áp dụng

I.Bài toán áp dụng dạng bất đẳng thức a2 +b2 ≥ 2ab

1.1 Bài toán ví dụ:

Bài toán 1.

Cho a , b ,c là ba số bất kì Chứng minh rằng :

a + + ≥b c ab bc ca+ +

Giải

áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:

a2 +b2 ≥2ab

b2 + ≥c2 2bc

c2 +a2 ≥ 2ca

Cộng vế theo vế các bất bất đẳng thức trên ta đợc

a + + + + +b b c c a ≥ ab+ bc ca+ <=>a + + ≥b c ab bc ca+ +

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c

Bài toán 2.

Cho a , b ,c ,d là bốn số bất kì Chứng minh rằng

a + + +b c d ≥ +a b c d+

áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:

Giải

a2 + ≥c2 2ac

a2 +d2 ≥ 2ad

b2 + ≥c2 2bc

b2 +d2 ≥ 2bd

Cộng vế theo vế các bất bất đẳng thức trên ta đợc

a c a d b c b d ac ad bc bd

a b c d a b c d

<=> + + + ≥ + +

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c = d

Bài toán 3.

Cho a , b ,c là ba số bất kì Chứng minh rằng

a + + + ≥b c a b d+ +

Giải

áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:

a2 + ≥12 2a

b2 + ≥12 2b

c2 + ≥12 2c

Cộng vế theo vế các bất bất đẳng thức trên ta đợc

a + + + + + ≥b c a+ b+ c<=>a + + + ≥b c a b c+ +

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c = 1

Bài toán 4.

Cho a , b ,c, d ,e là năm số số bất kì Chứng minh rằng

a2 + + +b2 c2 d2 + ≥e2 a b c d e( + + + )

(Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong ,TP Hồ chí Minh

2001 - 2002)

Giải

áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:

1 2 2

1 2 2

4a + ≥c ac

1 2 2

1 2 2

4a + ≥e ae Cộng vế theo vế các bất bất đẳng thức trên ta đợc

<=> + + + + ≥ + + +

<=> + + + + ≥ + + +

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  12a = b = c = d = e

Bài toán 5.

Cho a , b ,c là ba số bất kì Chứng minh rằng

2

(a b c+ + ) ≥ 3(ab bc ca+ + )

Ta có: (a b c+ + )2 = + + +a2 b2 c2 2ab+2bc+ 2ca

áp dụng bất đẳng thức (1), ta có:

a2 + + ≥ b2 c2 ab bc ca + +

Suy ra:

2 2 2 2

(a b c+ + ) = + + +a b c 2ab bc ca+ 2 + 2 ≥ ab bc ca+ + + 2ab+ 2bc+ 2ca

=3(ab+bc+ca)

Vậy : (a b c+ + )2 ≥3(ab bc ca+ + )

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c

Bài toán 6

Cho a , b ,c là ba số thực tùy ý Chứng minh rằng

(a b c+ + )2 ≤3(a2 + +b2 c2)

(Đề thi khảo sát chất lợng toán 9 đầu năm ,PGD Cẩm Xuyên, năm học

2013 - 2014 )

Giải

Ta có: ( a b c + + )2 = a2 + + + b2 c2 2 ab + 2 bc + 2 ca

áp dụngbất đẳng thức (1)

2 2 2

bc b c

ca c a

≤ +

≤ +

≤ +

Suy ra:

2 2 2

* Từ kết quả của bài toán 5 và bài toán 6 ,cho a, b, c

là ba số bất kì ,ta có bất đẳng thức :

3(ab bc ca+ + ) ≤ (a b c+ + ) 2 ≤ 3(a2 + +b2 c2 )

Bài toán 7

Chứng minh rằng a4 + + +b4 c4 d4 ≥ 4abcd

Giải

áp dụng bất đẳng (1) ta có: a4 + b4 ≥ 2 a b2 2

c4 +d4 ≥ 2c d2 2

Cộng vế theo vế ta đợc:

4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2( 2 2 2 2)

a + + +b c d ≥ a b + c d = a b +c d (1’)

áp dụng bất đẳng (1) ta có: a b2 2 +c d2 2 ≥ 2abcd (2’)

Từ (1’) và (2’) suy ra : a4 + + +b4 c4 d4 ≥4abcd

1.2.Bài tập tơng tự:

Bài 1.

Cho a, b ,c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

1

ab c bc a ca b

Bài 2.

Chứng minh rằng a4 + + ≥b4 c4 abc a b c( + + )

(Đề thi học sinh giỏi toàn quốc 1994)

Bài 3.

Cho a > 0, b > 0 , c > 0 và a + b + c = 4

Chứng minh rằng (a+ b)(b+ c)(c + a)≥a3b3c3

Bài 4.

Chứng minh rằng ( ) (2 )2

a b+ b c+ ≥ abc a b c+ +

Bài 5.

Cho a, b ,c ,d là các số dơng .Chứng minh rằng (a b b c c a+ ) ( + ) ( + ≥) 8abc

Bài 6.

Cho a + b + c + d = 2 Chứng minh rằng a2+ b2 + c2 + d2 ≥

1

Bài 7.

Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a + b = 1 Chứng minh rằng

2

 +  + +  ≥

Bài 8

Cho a > 0, b > 0 thỏa mãn a + b + c = 1.Chứng minh rằng a + b ≥ 16abc

Bài 9

Cho a, b, c ∈[ ]0;1 Chứng minh rằng (a + b )

( )2 ( 2 2 2)

1 + + +a b c ≥ 4 a + +b c

Bài 10

Cho a, b là các số thực dơng.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

1 2 1 2

1

P

ab

=

+

(Đề thi vào lớp 10 chuyên toán ,đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh năm học 2011-2012)

II.Bài toán áp dụng bất đẳng thức a b 2

2.1.Bài toán ví dụ:

Bài toán 1

Cho 3 số a > 0, b > 0 , c > 0 Chứng minh rằng

a b c

+ +  + + ữ≥

Giải

Ta có:

+ +  + + ữ= + + + + + + + + = + + + + + +

áp dụng bất đẳng (2) ta có: a b 2

b a+ ≥

b c 2

c b+ ≥

a c 2

c + ≥a

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta đợc :

2 2 2 6

Suy ra:

+ +  + + ữ= + + + + + + + + = + + + + + + ≥

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c

*Nhận xét: Kết quả bài toán 1 là dạng mở rộng của bất

đẳng thức dạng (4) áp dụng cho 3 số dơng Ta còn vận dụng kết quả này cho các bài toán sau

Bài toán 2

Cho a > 0, b > 0 , c > 0 Chứng minh rằng a b a b 2c a b 4

+ + + + + + ≥

Giải

Ta có: a b a b b c+ + + +a b2c a b+a c+ =a b b c b c+ +a b+  ữ + a c a b a b a c+ + + ữ

áp dụng bất đẳng (2) ta có:

2 2

a b b c

a c a b

a b a c

+ + + ≥

+ + + ≥

Cộng vế theo vế ,ta đợc: a b b c a c a b 2 2 4

 +  + + ≥ + =

 + + ữ  + + ữ

Suy ra :

2

4

+ + + + + + = + + +  + + + + ≥

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c

Bài toán 3

Cho a > 0, b > 0 ,c > 0 Chứng minh rằng ab bc ca a b c

c + a + b ≥ + +

Giải

Ta có :

1 2

.2 2 2

        + + =  + ữ + + ữ + + ữ=

  + +  + +  +  ≥ + + = + +

      

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c

Bài toán 4

Cho a > 0, b > 0 ,c > 0 Chứng minh rằng

1 1 1

a b c

bc ca ab+ + ≥ + +a b c

Biến đổi tơng tự bài toán 3, ta có:

1 2

bc ca ab ca ab bc ab bc ca

+ + =  + ữ + + ữ + + ữ =

  + +  + +  + ≥  + + = + +

Vậy a b c 1 1 1

bc ca ab+ + ≥ + +a b c

2.2.Bài toán tơng tự:

Bài 1 Cho a > 0, b > 0, c > 0 ,d >0.Chứng minh rằng

a b c d

+ + +  + + + ữ≥

Bài 2 Cho a > 0, b > 0, c > 0 Chứng minh rằng

a b b c c d+ + +d a ≥a b c d

Bài 3 Cho a > 0, b > 0, c > 0 Chứng minh rằng

6

a b b c c a

+ + + + + ≥

Bài 4 Cho a > 0, b > 0, c > 0 Chứng minh rằng

3 2

b c c a a b+ + ≥

Bài 5 Chứng minh rằng 2

2

1 1 1

a a

+

Bài 6 Cho a, b khác 0.Chứng minh

a) a22 b22 a b 0

b a b a

+ − + ữ≥

b) 4 a22 b22 6 7 a b

+ + ≥ +

 ữ  ữ

III.Bài toán áp dụng bất đẳng thức: 1a + ≥1b a b4

+ và

( )2

ab ≥ a b

+

3.1.Bài toán ví dụ

Bài toán 1

Cho a > 0 , b > 0 Chứng minh rằng 2 2 ( )2

4a 4b + 8ab ≥ a b

Giải

Vì a > 0, b > 0 nên 4a2 + 4b2 > 0 và 8ab > 0

áp dụng bất đẳng (4) ta có:

( ) (2 )2

4a 4b + 8ab ≥ 4a 4b 8ab= 4 a b = a b

Vậy : 2 2 ( )2

4a 4b + 8ab≥ a b

+ + Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c

Bài toán 2

Cho a > 0 , b > 0, c > 0 Chứng minh rằng

a b c+ + ≥ a b c a+ b c a b+ c

+ + + + + +

Giải Vì a > 0, b > 0, c > 0 áp dụng bất đẳng (4) ta có:

a b c2 1 1+ + =1 1a b+  ữ + 1 1a c+ ữ≥ a b a c4 + 4

   

2

+ +  + +  + + + + + (1’)

Hoàn toàn tơng tự : 1 2 1a b c+ + ≥a 162b c

+ + (2’)

1 1 2a b c+ + ≥ a b16 2c

+ + (3’) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’) và (3’) , ta có:

4

<=> + + ≥ + +

+ + + + + +

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c

Bài toán 3

Cho a, b ,c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

a b c a b c1 + 1 + a b c1 ≥ + +a b c1 1 1

+ − − + − + +

Giải

Ta có a, b, c là ba cạnh của một tam giác

Theo bất đẳng thức tam giác: a + b > c, a + c > b , b+ c > a

=> a + b - c > 0 , a -b + c > 0 , -a +b + c

áp dụng bất đẳng (4) ta có: a b c a b c1 + 1 ≥ a b c a b c4 =2a

+ − − + + − + − + (1’)

Tơng tự: a b c1 + a b c1 ≥ a b c a b c4 =b2

+ − − + + + − − + + (2’)

a b c1 + a b c1 ≥ a b c a b c4 = 2c

− + − + + − + − + + (3’)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1’), (2’) , (3’) ,ta đợc:

a b c a b c1 + 1 + a b c1 ≥ + +1 1 1a b c

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a +b - c = a - b + c = -a + b + c  a =

b = c

Bài toán 4.

Cho a , b , c là các số dơng.Chứng minh rằng

1 1 1 3 1 1 1

Giải Vì a, b, c là các số dơng

áp dụng dạng mở rộng bất đẳng (4) ( bài toán 1 muc 2.1) cho ba số ta có:

a b2 1+ = + + ≥1 1 1a a b a a b9 =2a b9

+ + + ( 1’) Tơng tự: 2 1 9

2

b c+ ≥ b c

+ (2’)

2 1 9

2

c + ≥a c a

+ (3’)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1’) ,(2’) và (3’) , ta có:

3 3 3 9 9 9

a b c+ + ≥ a b+ b c + c a

 1 1 1 3 1 1 1

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c

Bài toán 5.

Cho a, b , c là các số thực dơng Chứng ming rằng

3 3 3

9

(Đề thi chọn giáo viên dự thi GVG tỉnh,phòng GDĐT Cẩm Xuyên năm học 2013-2014)

Giải

Ta có:

3 3 3

9

6 9

Để đa bài toán về dạng của bài toán 4 ở trên , trớc hết ta áp dụng bất đẳng thức côsi Vì a, b, c là các số thực dơng Nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho ba số : 3

1

a , 1 , 1 ta đợc 3

1 1 3

a + + ≥ a =a (1’) Tơng tự, ta có: 3

1 1 3

b + + ≥ b =b (2’) 3

1 1 3

c + + ≥ c = c (3’)

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1’),(2’) và (3’) ta đợc:

3 3 3

1 1 1 3 3 3 1 1 1

+ + + ≥ + + =  + + ữ

Kết hợp với kết quả bài toán 4 , ta có

3 3 3

+ + + ≥  + + ữ≥  + + ữ

Hay 3 3 3

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c =1

*Nhận xét: Đây là bài toán hay và khó

Bài toán 6

Cho a > 0, b > 0 , c > 0 , d > 0

Chứng minh rằng a c b d c a d b 4

+ + + + + + + ≥

Giải

Vì a > 0, b > 0 , c > 0 , d > 0 nên a + b > 0 , c + d > 0

áp dụng bất đẳng (4) ta có :a b c d1 + 1 ≥ a b c d4

+ + + + +

Tơng tự : 1 1 4

b c d a+ ≥a b c d

+ + + + +

Do đó:a b a c b d+ + b c+ +c d c a+ +d b d a+ =a c a b c d+ +c a+  ữ + b d b c+ +d b d a+ ữ

= (a c) 1 1 (b d) 1 1

+  + ữ+ +  + ữ

(a c) 4 (b d) 4 4(a b c d) 4

+ + +

+ + + + + + + ≥

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b = c = d

Bài toán 7.

Cho a, b là hai số dơng Chứng minh rằng 2 2 ( )2

a b +ab≥ a b

Giải Vì a > 0 , b > 0 nên ab > 0 áp dụng bất đẳng (4) ta có

2 2 2 2 ( )2

Theo bất đẳng thức (5),ta có: ( )2

ab ≥ a b

+  ( )2

2ab ≥ a b

+ (2) Cộng vế theo vế các bất đẳng thức (1) và (2) ta đợc:

2 2 2 2 ( ) (2 ) (2 )2

a b + ab = a b + ab + ab ≥ a b + a b = a b

Hay 2 2 ( )2

a b +ab ≥ a b

Dấu ‘‘=’’ xẩy ra  a = b

Bài toán 8.

Cho a, b là hai số dơng thỏa mãn : a + b ≤ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = 2 1 2 1

a b +ab

+

(Đề thi HSG lớp 9 - Phòng giáo dục Cẩm Xuyên, năm học 2012

- 2013)

Giải Lời giải hoàn toàn tơng tự bài toán 6

Ta có: M = 2 1 2 1

a b + ab

6

a b

≥ + Vì a , b là các số dơng và a + b ≤ 1 nên 0 ≤ (a + b)2 ≤ 1 Suy ra : M = 2 1 2 1

a b +ab

Vậy Mmin = 6 khi và chỉ khi 1

2

Bài toán 9

Cho a , b là các số dơng thỏa mãn a2 + b2 = 1 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M = 1 1

a b+ (Đề thi KSCL lớp 9 học kì I năm học 2011 - 2012- Phòng giáo dục Cẩm Xuyên)

Giải Vì a , b là các số dơng áp dụng bất đẳng (4) ta có M =

1 1 4

a b+ ≥ a b

+

Mặt khác ta có: a2 +b2 ≥ 2ab 2(a2 +b2 ) ≥ +a2 2ab b+ <=> 2 2(a2 +b2 ) ( ≥ +a b) 2  2 ( ≥ +a b) 2 <=> ≤ + ≤ 0 a b 2 ( vì a, b là các số dơng)

Suy ra: M = 1 1 4 4 2 2

2

a b+ ≥ a b ≥ =

+

Vậy Mmin = 2 2 khi và chỉ khi x = y = 12

Nhận xét: Khi các biến có ràng buộc điều kiện thì từ bài

toán chứng minh bất đẳng thức ta chuyển sang bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

3.2.Bài tập tơng tự:

Bài 1.

Cho a , b , c là các số dơng.Chứng minh rằng

2a b+ 2b c+ 2c a ≥a b c

Bài 2.

Cho a , b , c là các số dơng.Chứng minh rằng

2a b c a+ 2b c a b+ 2c≥ 4(a b c)

Bài 3

Cho a , b , c là các số dơng,thỏa mãn a + b + c = 1.Chứng minh rằng :

9

a bc +b ca +c ab ≥

Bài 4.

Cho a, b , c là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng

3

b c a +a c b +a b c ≥

Bài 5

Cho a , b , c là các số dơng Chứng minh rằng :

8 8 8

3 3 3

1 1 1

+ + ≥ + +

Bài 6 Cho a , b là các số dơng Chứng minh rằng :

a + ≥b a b +a b

Bài 7

Cho a,b,c,d là các số dơng Chứng minh rằng

Phần III- Kết luận

Trong đề tài này tôi chỉ nghiên cứu và mở rộng một số bất đẳng thức cơ bản từ bất đẳng thức ( )2

0

a b− ≥ để áp dụng vào giải một số bài toán Bản thân tôi củng đã áp

dụng kết quả nghiên cứu của mình vào giảng dạy tại trờng

và bớc đầu thu đợc những thành công nhất định Mặc dầu

đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài song do năng lực bản thân có hạn nên không thể tránh đợc những thiếu sót rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp,các em