hinh giai tich trong khong gian 380

hinh giai tich trong khong gian 380 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các l...

CHUYÊN ĐỀ: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN Oxyz

Bài 1: Tọa độ của điểm và véctơ trong không gian Oxyz

A Lí thuyết:

1 Các công thức cơ bản:

 Cho ba điểm: A(x A;y A;z A) (;B x B;y B;z B) (;C x C;y C;z C) Ta có:

 Tọa độ véctơ AB=(x B −x A;y B −y A;z B −z A)

 Tọa độ trung điểm I của AB là: 









2

; 2

; 2

B A B A B

x

 Tọa độ trọng tâm G của ∆ABClà: 









3

; 3

; 3

C B A C B A C B

x

 Cho hai véctơ: a=(a1;a2;a3);b=(b1;b2;b3) Ta có:

 a+b=(a1+b1;a2 +b2;a3+b3)

 a−b=(a1−b1;a2−b2;a3−b3)

 a.b=a1.b1+a2.b2+a3.b3

 k.a=(k.a1;k.a2;k.a3)

3

2 2

2

a

 ( ) a a b b

b

a

;

cos =

 a.b<0⇔( )a;b >900

 a.b=0⇔( )a;b =900

 a.b>0⇔( )a;b <900

 a⊥b⇔a.b=0



3

3 2

2 1

1 //

b

a b

a b

a b

2 Tích có hướng của hai véc tơ trong không gian và ứng dụng:

 Khái niệm:

Trong không gian Oxyz, tích có hướng của hai véctơ a và b là một véctơ vuông góc với cả a và b

Kí hiệu : [a; b]

Cho : a=(a1;a2;a3)

b=(b1;b2;b3)

( 2 )

2 1 1 1 1 3 3 3 3 2

2 ; ; ]

;

b

a b

a b

a b

a b

a b

b

⇒ Nhớ : bỏ cột 1 ; bỏ cột 2 đổi chiều ; bỏ cột 3

 Ứng dụng:

 [ ; ]

2

1

AC AB

/ / / / [AB;AD].AA

V ABCD A B C D = 

AD AC AB

6

1

=

A A

A

C

B

 [a;b].c=0⇒a,b,c đồng phẳng

 [a;b]=0⇒a,b cùng phương

B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải)

1 Trong không gian Oxyz, cho ba điểm: A(1;-2;4); B(-3;2;0); C(3;-1;0).

a) Tìm tọa độ các véc tơ: AB;BA;AC;CA;BC;CB

b) Tìm tọa độ m=2.AB; n=2.AB+ AC; e=2.AC−3.BC+4.AB

c) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác Tính chu vi của tam giác ABC

d) Tính các góc của tam giác ABC

e) Tìm tọa độ trung điểm I của AB Tính độ dài đường trung tuyến CI của tam giác ABC

f) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Chứng minh GI CI

3

1

=

g) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành

h) Tìm điểm E thuộc 0x để tam giác ACE vuông tại C

2 Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm: A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6).

a) Chứng minh A,B,C,D là bốn đỉnh của một tứ diện

b) Tính diện tích tam giác ABC và độ dài đường cao hạ từ A của tam giác ABC

c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao hạ từ A của tứ diện ABCD

d) Tìm các góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD

C:Bài tập vận dụng :

1 Cũng với yêu cầu như bài 1, phần bài tập điển hình nhưng thay đổi tọa độ các điểm như sau:

A(3;-4;2); B(-1;0;6); C(5;-3;2)

2 Cũng với yêu cầu như bài 2, phần bài tập điển hình nhưng thay đổi tọa độ các điểm như sau:

A(1;1;-1), B(3;-4;0), C(-3;2;-2), D(6;2;0)



-Bài 2: Phương trình của mặt phẳng trong không gian Oxyz

A Lí thuyết:

 Cho n=(A;B;C) là véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) n

Điểm M(x0;y0;z0) thuộc mặt phẳng (α)

⇒phương trình mặt phẳng (α) : A.(x−x0)+B.(y−y0)+C.(z−z0)=0

 Nếu mp(α) có cặp VTCP là a1 và a2 thì VTPT của (α) là n=[a1;a2]

B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải)

1 Trong không gian Oxyz, cho A(2;1;-3), B(3;-2;2), C(4;1;-1)

a) Viết phương trình mặt phẳng(α)qua A và vuông góc với BC

b) Viết phương trình mp (ABC)

c) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của AC

2 Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M(5 ;1 ;2) và song song với mp ( )β : x + 2y +3z - 1 = 0

3 Viết phương trình mp(α) chứa MN với M(1 ;0 ;1) ; N(-1 ;3 ;2) và vuông góc với mp( )β : x – 2y +

z +5 =0

4 Viết phương trình mp(α) qua gốc tọa độ O, song song với PQ với P(1 ;0 ;1) ; Q(0 ;2 ;0) và vuông góc với ( )β : y – 2z +1 = 0

5 Viết phương trình mp(α) qua M(5 ;2 ;-3) và vuông góc với hai mặt phẳng

1

( )α : x – z + 2 = 0 và ( )α2 : 2x + 3y + z = 0

C:Bài tập vận dụng :

1 Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) ; B(0;1;0); C(-2;1;-1)

a)Viết phương trình mp(α) qua C và vuông góc với AB

b)Viết phương trình mp(ABC)

c)Viết phương trình mặt phẳng trung trực của BC

2 Viết phương trình mp(α) qua M(2 ;-1 ;0) và song song với mp( )β : x + y + 3z – 1 = 0

3 Viết phương trình mp(α) qua MN với M(1 ;1 ;-2) , N(3 ;1 ;0) và vuông góc với mp ( )β : 5x + 3y - z + 4 = 0

4 Viết phương trình mp(α) qua A(1 ;0 ;1) và vuông góc với hai mp

1

( )α : x – y + 1 = 0

2

( )α : 2x – y + z = o



-Bài 3: Phương trình của đường thẳng trong không gian Oxyz

A Lí thuyết:

 Cho a=(a1;a2) là véctơ chỉ phương của đường thẳng d

Điểm M(x0;y0)∈ d

Phương trình tham số của d là: x = x0 + a1.t

y = y0 + a2.t

z = z0 + a3.t

Phương trình chính tắc của d là :

3

0 2

0 1

0

a

z z a

y y a

x

 Trong không gian Oxyz, mỗi đường thẳng d được xem là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) Nếu mp(P) : A1.x + B1.y + C1.z + D1 = 0 và mp(Q) : A2.x + B2.y + C2.z + D2 = 0

Thì phương trình tổng quát của đường thẳng d là : A1.x + B1.y + C1.z + D1 = 0

A2.x + B2.y + C2.z + D2 = 0

Nếu xem mp(P) và mp(Q) lần lượt có véctơ pháp tuyến là n1và n2thì VTCP của d là : a=[n1;n2]

B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải)

1 Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; -2); B(3; -1; -1); C(2; 0; 3)

a) Viết phương trình tham số của AC

b) Viết phương trình chính tắc của AB

c) Viết phương trình tổng quát của BC

d) Viết phương trình đường thẳng qua A và song song với BC

2 Viết phương trình đường thẳng ∆ trong các trường hợp sau :

a) ∆ qua M(2 ;1 ;0) và song song với đường thẳng d : x = 3t

y = 2 – t

z = 1+ 5t

b) ∆ qua N(1 ;0 ;-3) và song song với đường thẳng d : 2 3 4

−

3 Viết phương trình đường thẳng qua A(1 ;0 ;-2) và vuông góc với mp( )α : 2x + y – z +1 = 0

4 Viết phương trình mp ( )α qua M (2 ;-3 ;1) và vuông góc với đường thẳng d : 2 1 3

5 Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : x = 1 + 2t và mp (β ) : x – 3y + 2z + 6 = 0.

y = -2 – t

z = 4t

a) Tìm giao điểm của d và (β)

b) Viết phương trình mp( )α chứa đường thẳng d và vuông góc với mp (β)

6 Viết phương trình mp( )α chứa m(2;1;0), N(3;-1;2) đồng thời vuông góc với mp(β): 2x + y +

z -3 = 0

7 Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d: 1 2 3

trên mp(Oxz)

C:Bài tập vận dụng :

Trong không gian Oxyz cho mp ( )α : 2x – 3y + z – 2 = 0 và đường thẳng d: 2 1 5

a) Viết pt mp ( )α1 qua A(1;1;0) và // ( )α

b) Viết pt mp ( )α2 qua B(0;1;0) và vuông góc với d

c) Viết pt đường thẳng d1 qua C(0;2;0) và // d

d) Viết pt đường thẳng d2 qua D(2;-1;0) và vuông góc ( )α

e) Viết pt mp ( )α3 chứa d và vuông góc ( )α

f) Viết pt đường thẳng d3 nằm trên ( )α vuông góc d đồng thời đi qua E(0;1;2)

g) Viết pt hình chiếu vuông góc của d xuống mp (β )



-Bài 4: Góc và khoảng cách trong không gian Oxyz

A Lí thuyết:

 Góc:

 Góc giữa hai đường thẳng :

Cho a1 là VTCP của đường thẳng ∆1

a2 là VTCPcủa đường thẳng ∆2

⇒Cos(∆1:∆2) = /Cos(a1;a2)/ =

2 1

2 1

a a

a a

 Góc giữa hai mặt phẳng :

Cho n1là VTPT của mp ( )α

n2là VTPT của mp ( )β

⇒Cos( ( ) ( )α ; β ) = /Cos(n1;n2)/ =

2 1

2 1

;

n n

n n

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :

Cho a làVTCP của đường thẳng ∆

n là VTPT của mp ( )α

⇒ Sin(∆;( )α ) = /Cos(a ;n )/ =

n a

n a

 Khoảng cách:

 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:

Cho điểm M(x0;y0;z0) và mặt phẳng (α ): A.x + B.y + Cz + D = 0

⇒d(M; (α )) = 0 2 0 2 0 2

C B A

D Cz By Ax

+ +

+ + +

 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

Cho đường thẳng ∆ qua điểm M0 và có VTCP a

⇒d(M;∆ ) =

a

a

[ 0

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho đường thẳng ∆1qua M1 và có VTCP a1

đường thẳng ∆2qua M2 và có VTCPa2

⇒d(∆1;∆2) =

]

; [

]

; [

2 1

2 1 2 1

a a

M M a a

⇒∆1chéo ∆2 ⇔ [a1;a2].M1M2 ≠0

 Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường

thẳng này đến đường thẳng kia

B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải)

1 Tìm góc tạo bởi cặp đường thẳng ∆1 x = 1 + 2t ∆2 x = 2 – 5t’

y = 3t y= 1+ t’

z = -2 + t z = 5

2 Tìm góc tạo bởi 2 mp sau:(α)x – y + z + 2 =0 và ( )β : 4x – 3y + 5z + 1 = 0

3 Tìm góc tạo bởi đường thẳng ∆ : x = 3t và mp (α) : 2x +5y + 3 = 0

y = 1 - 2t

z = 2 + 5t

4 Tính khoảng cách từ M( 0;1;-2) đến mp (α) : 2x + 3y – z – 6 = 0

5 Tính khoảng cách từ M(1 ;-2 ;1) đến đường thẳng∆ : x = 2 + t

y = -1 + 3t

z = 3 – 2t

6 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

1

− ∆2: 2

−

7 Trên trục Oy, tìm điểm cách đều hai mp : (α) : x + y – z + 1 = 0 và ( )β : x – y + z – 5 = 0

C:Bài tập vận dụng :

1 Tìm góc tạo bởi 2 đường thẳng ∆1: x = 1 + 2t ∆2: x = 2 – t’

y = -1+ t y = -1+3 t’

z = 3 + 4t z = 4 + 2t

2 Tìm góc tạo bởi các cặp mp sau:

a) (α) : x + y – 5z + 1 = 0 và ( )β : 5x + y – 3z = 0

b) (α) : 2x – 2y + z + 3 = 0 và ( )β : z + 2 = 0

c) (α) : x – 2z + 1 = 0 và ( )β : y = 0

3 Tìm góc tạo bởi đường thẳng ∆ và mp (α) trong các trường hợp sau đây :

a) x = 1 + 2t và (α) : 2x – y + 2z – 1 = 0

∆ : y = -1 + 3t

z = 2 - t

b) ∆ : 2 1 3

− và (α) : x + y – z + 2 = 0

4 Tìm khoảng cách từ các điểm M(1 ;-1 ;2) ; N(3 ;4 ;1) ; P(-1 ;4 ;3) đến mp(α) : x + 2y + 2z – 10 = 0

5 Tính khoảng cách từ các điểm M(2 ;3 ;1) và N(1 ;-1 ;1) đến đường thẳng ∆ : 2 1 1

−

6 Tìm khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau đây :

a) ∆1: x = 1 + t ∆2: x = 2 – 3t’ b) ∆1: 1 3

và∆2: 2 1 1

y = -1 - t y = -2+3 t’

z = 1 z = 3t’



-Bài 5: Phương trình của mặt cầu trong không gian Oxyz

A Lí thuyết:

 Phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), bán kính R có dạng:

 Dạng 1: (x – a )2 + (y – b )2 + (z – c )2 = R2

 Dạng 2: x2 + y2 + z2 – 2a.x – 2b.y – 2c.z + d = 0

Trong đó : R = a2+b2+c2−d , điều kiện : a2+b2 +c2 −d >0

 Vị trí tương đối của mặt phẳng (α ) và mặt cầu (S) :

 d(I;(α))>R⇔(α)không cắt mặt cầu (S)

 d(I;(α))=R⇔(α)tiếp xúc mặt cầu (S)

 d(I;(α))<R⇔(α) cắt mặt cầu (S) tạo ra giao tuyến là một đường tròn

 Đường tròn trong không gian:

Gọi K là tâm của đường tròn trong không gian.

R là bán kính của đường tròn

⇒ Tâm K là hình chiếu của I xuống mp(α ).

(viết pt đt d qua I và ⊥ (α) ; tìm giao điểm K của d và (α))

⇒ Bán kính r= R2 −IK2 , trong đó: IK =d(I;(α))

B Bài tập điển hình : (GV trực tiếp giải)

1 Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:

a) (x−1)2+ +(y 2)2+ −(z 3)2 =4

b) (x−2)2+ +(y 1)2+z2 =7

c) x2+y2+ − +z2 8x 4y−6z+20 0=

4

e)2x2+2y2 +2z2+4x−5y+2z+ =1 0

f) x2 +y2+ −z2 2y− =1 0

g)x2+y2+z2 =1

2 Xét vị trí tương đối giữa mặt cầu (S) và mặt phẳng (α ):

a) (S) : 2 2 2

6 2 4 5 0

(α ): x + 2y + z - 1 = 0

b) (S) : x2 +y2+ +z2 4x+8y−2z− =4 0

(α ): x + y – z – 10 = 0

c) (S):x2+y2+ +z2 4x+8y−2z− =4 0

(α ): x + 2y – 2z + 1 = 0

d) (S) 2 2 2

4 8 2 4 0

(α ) : 3x – 4y = 0

3 Lập phương trình mặt cầu có tâm I(3;-3;1) và đi qua B(5;-2;1)

4 Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(3;1;5), B(5;-7;1)

5 Lập phương trình mặt cầu có tâm I(3;-2;1) và tiếp xúc với mp (α ) : 4x – 3y – 8 = 0

6 Lập phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C với A(2 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;4)

7 Lập phương trình mặt cầu qua 4 điểm A, B, C, D với A(2 ;1 ;1), B(3 ;-1 ;2), C(1 ;-1 ;2) ;

D(-2 ;3 ;1)

8.Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) tại M(4 ;3 ;0), biết (S) : 2 2 2

6 2 4 5 0

9.Lập phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết tiếp diện đó song song với mp (α ) : x - 2y + z +3=0

và mặt cầu (S) có phương trình : x2+y2+ −z2 2x+4y−6z+ =1 0

10 tìm tâm và bán kính của các đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) trong các

trường hợp sau đây:

a) mp (α ) : x + 2y - 2z + 1 = 0 và (S) : 2 2 2

6 2 2 1 0

b) mp (α ) : 2x + 2y + z – 5 = 0 và (S) : 2 2 2

12 4 6 24 0

C:Bài tập vận dụng :

1 Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau:

a) (x−2)2+ +(y 1)2+ −(z 3)2 =9

b) x2 +y2+ −z2 2x+6y−4z− =1 0

c)x2+y2+ +z2 3x−4y+6z− =2 0

d)7x2+7y2+7z2− +3x 2y+ − =5z 1 0

2 Xét vị trí tương đối của mp(α ) và mặt cầu (S) trong các trường hợp sau :

a) (α ) : 3x + 4y – 1 =0 và (S) : 2 2 2 69

5

b) (α ) : x – y + 2z + 4 = 0 và (S) : x2+y2+ − − =z2 3z 5 0

3 Lập phương trình mặt cầu tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mp(α) : x + 2y – 2z + 5 = 0.

4 Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(1 ;3 ;5) và B(7 ;9 ;11)

5.Lập phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C với A(1 ;0 ;-1), B(1 ;2 ;1), C(0 ;2 ;0)

6.Lập phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(1 ;1 ;1), B( 1 ;2 ;1), C(1 ;1 ;2), D(2 ;2 ;1) 7.Tìm tâm và bán kính của các đường tròn sau :

a) x – y + z - 4 = 0

x2 +y2+ −z2 2x+4y− − =8z 4 0

b) 2x + 3y – z + 5 = 0

x2+y2+ −z2 6y− =7 0



-MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG HỢP – NÂNG CAO

1 Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α ) và đường thẳng d lần lượt có phương trình:

(α ): 2x – 3y + z – 2 = 0 ; d:

2

5 3

1 1

2

−

−

=

−

+

=

x

a) Viết phương trình mặt phẳng (P 1 ) qua A(1;1;0) và // (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (P 2 ) qua B(0;1;0) và ⊥d.

c) Viết phương trình đường thẳng (d 1 ) qua C(0;2;0) và // d.

d) Viết phương trình đường thẳng (d 2 ) qua D(2;-1;0) và⊥(α).

e) Viết phương trình mặt phẳng (P3) chứa d và ⊥(α )

f) Viết phương trình đường thẳng (d3) nằm trên (α) và vuông góc với d đồng thời đi qua E(0;1;2) g) Tính khoảng cách từ O đến (α ) và d.

h) Tính góc giữa d và (α )

2 Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng ∆:

t z

t y

t x

+

=

−

=

=

3 1

2

và mp(α ): x+ y+z−10=0

a) Tìm giao điểm M của ∆ và mp(α )

b) Viết phương trình đường thẳng d qua M và ⊥ (α).

c) Viết phương trình mp(β ) chứa ∆ và ⊥(α )

3 Trong không gian Oxyz cho điểm M(1;-1;2) và mp(α ): 2x – y +2z + 11 = 0

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ qua M và ⊥ (α).

b) Tìm hình chiếu H của M xuống (α).

c) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (α )

4 Trong không gian Oxyz cho điểm m(2;-1;1) và đường thẳng d:

t z

t y

t x

2 1

2 3

=

−

−

=

+

=

a) Viết phương trình mp(α ) qua M và ⊥ d

b) Tìm hình chiếu M’ của M xuống d

c) Tìm điểm đối xứng của M qua d

5 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:

1

1 1

3 2

:

−

−

=

−

−

=

∆ x y z và d :

t z

t y

t x

2 5

2 1 2

+

=

+

=

−

=

a) Viết phương trình mp(α )chứa d và // ∆.

b) Chứng minh ∆ và d chéo nhau Tính khoảng cách giữa ∆ và d

c) Viết phương trình ∆’ qua A(1;-2;1) dồng thời vuông góc cả ∆ và d

6 Trong không gian Oxyz cho mp(α ): y + 2z = 0 và hai đường thẳng:

1

∆ :

t

z

t

y

t x

4

1

=

=

−

=

; ∆2:

1

2 4 2

=

+

=

−

=

z

t y

t x

a) Tìm giao điểm giữa hai đường thẳng với (α)

b) Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (α ) và cắt cả hai đường thẳng ∆1 và ∆2.

c) Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2

7 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:

1

∆ :

1

2 3

1 2

1= − = −

x

và ∆2:

2 5

2 1

2

−

=

+

=

x

a) Chứng minh ∆1 và ∆2 chéo nhau

b) Viết phương trình đường thẳng qua M(1;0;-2) và vuông góc với ∆1 và ∆2

c) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng ∆1 và ∆2

8 Trong không gian Oxyz cho ba đường thẳng:

1

∆ : x = 3t ; y = 1 –t ; z = 5 + t

2

∆ : x = 1 + t’ ; y = -2 + 4t’ ; z = 2 + 3t’

3

∆ :

1 9

7 5

4 y z

a) Chứng minh ∆1 chéo ∆2; ∆2 chéo ∆3.

b) Tính khoảng cách giữa ∆1 và ∆2

c) Viết phương trình đường thẳng ∆ // ∆1 và cắt cả hai đường thẳng ∆2 và ∆3

9 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng :

∆1:

t z

t y

t x

4

1

=

=

−

=

∆2:

t z

t y

t x

5 4 3

2 1

−

=

+

−

=

−

=

a) Tính góc hợp bởi ∆1 và ∆2

b) Tính khoảng cách từ O đến ∆1 và ∆2

c) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mp tọa độ Oxz và cắt cả ∆1 và ∆2

10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng:

1

∆ :

t z

t

y

t x

−

=

=

+

=

3

2 1

và ∆2:

1 2

3 1

2 y z

−

−

= +

a) Viết phương trình mp qua A(1;-1;1) và song song với cả ∆1 và ∆2

b) Viết phương trình mp chứa ∆1 và // ∆2

c) Viết phương trình đường thẳng qua A(1;-1;1) đồng thời cắt cả ∆1 và ∆2

11 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng:

1

∆ :

1 1

1 3

1 y z

x− = − = và ∆2:

t z

t y x

−

=

−

=

−

=

2 1 1

a) Tìm hình chiếu A’ của A xuống ∆1

b) Viết phương trình mp(α ) chứa ∆2 và đi qua A.

c) Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc ∆1và cắt ∆2 đồng thời đi qua A

12 Trong không gian Oxyz cho A(0;1;-1) và mp(α ): x – 2y + z = 0 và đường thẳng ∆ có phương

trình ∆:

t z

t y

t x

4 5 1

4 5

−

−

=

−

−

=

+

=

a) Viết phương trình mp (β) qua A, vuông góc với (α ) và // với ∆

b) Chứng minh ∆ cắt (α), tìm giao điểm.

c) Viết phương trình đường thẳng d qua A, vuông góc và cắt ∆

13 Trong không gian Oxyz cho mp (α ): x + y + z – 1 = 0 và ∆:

1 1 1

−

=

=

+

=

z y

t x

a) Viết phương trình mp(β ) chứa ∆ và vuông góc với (α ).

b) Tìm giao điểm A của ∆ và (α )

c) Viết phương trình đường thẳng qua A, nằm trong mp(α ) và vuông góc với ∆.

14 Cho mp(α ) và đường thẳng ∆ lần lượt có phương trình:

(α ): 3x + 5y – z – 2 = 0 và ∆:

1

1 3

9 4

12= − = −

x

a) Chứng minh ∆ cắt (α), tìm giao điểm.

b) Viết phương trình mp(α ’) qua M(1;2;-1) và ⊥ ∆

15 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0

a) Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)

b) Tìm tọa độ giao điểm của (S) với đường thẳng ∆ đi qua hai điểm M(1;1;1) và N(2;-1;5) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại các giao điểm đó

16 Cho mp (α ): y + z – 1 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 2z = 0

a) Chứng tỏ (α ) cắt (S)

b) Xác định tâm và bán kính đường tròn giao tuyến của mp(α ) và mặt cầu (S)

c) Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S) biết tiếp diện này //mp(α).

17 Trong không gian Oxyz cho bốn điểm: A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)

a) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Xác định tâm và bán kính

b) Viết phương trình đường tròn đi qua ba điểm A, B, C Tìm tâm và bán kính của đường tròn vừa viết phương trình

18 Trong không gian Oxyz cho mp(α ): x + y – 3z +1 =0, M(1;-5;0) và đường thẳng ∆:

t z

t y

t x

2

3 1 2

=

+

=

−

=

a) Viết phương trình mp(α ) chứa ∆ và đi qua Q(1;1;1)

b) Tìm N thuộc ∆ sao cho khoảng cách từ N đến mp(α ) bằng 11

c) Tìm R thuộc Ox sao cho d(R; (α) = 44.

d) Tìm P thuộc mp (γ ): x – 2y – 1 = 0 sao cho P cách mp (α ) một khoảng bằng 3 11.

d) Tìm E thuộc mp Oxy sao cho sao cho E,O,A thẳng hàng, với A(1; 2; 1)

f) Tìm K thuộc dsao cho tam giác OAK cân tại O biết rằng d1 đi qua giao điểm của ∆ và (α ) đồng

thời //d’:

1

3 1

2

1

−

−

=

=

−

x

