de va dap an bai tap hinh hoc giai tich trong khong gian cuc hay 59033

de va dap an bai tap hinh hoc giai tich trong khong gian cuc hay 59033 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án,...

BÀI TẬP HèNH GIẢI TÍCH 1

Bài 1: Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trỡnh

của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và cú tõm nằm trờn mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0

Bài 2: Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(–1;–3;1) Chứng tỏ

A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện và tỡm trực tõm của tam giỏc ABC

Bài 3 Trong khụng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x- 3y + 2z – 5 = 0 và đường thẳng

1 2

2 3

= − +





∆  = +

 = +

 Lập phương trỡnh đường thẳng ∆' là hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng ∆ trờn mặt phẳng (P)

Bài 4 : Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hóy xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp

tam giỏc ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).

Bài 5 : Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trỡnh

mặt phẳng (ABC) và tỡm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

Bài 6:Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y− +2z+ =1 0, đường thẳng ( )

5

1

z t

= +



 = − +



 = −



Lập phương trỡnh đường thẳng ( )∆ nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuụng gúc với

đường thẳng (d)

Bai 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có

phơng trình : d : x y =z

−

−

= 1

2

và d’ :

1

5 3

2

2

−

+

=

−

=

y

x

Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua d và tạo với d’ một góc 300

Bài 8: Trong khụng gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :

= = ; d2

1 2 1

y t

= − −



 =



 = +



và điểm M(1;2;3)

1.Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa M và d1 ; Tỡm M’ đối xứng với M qua d2

2.Tỡm A d B d ∈ 1; ∈ 2 sao cho AB ngắn nhất

Bài 9: Trong khụng gian với hệ tọa độ vuụng gúc Oxyz, cho mặt cầu (S) : (x 1)− 2+ +(y 2)2+ +(z 3)2 =64

và mặt phẳng (P) : 2x y 2z 13 0− + + = cắt nhau theo giao tuyến là đường trũn (C) Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn đú

Bài 10: Trong khụng gian Oxyz cho đường thẳng d:

3

2 1

2

1

−

+

=

=

x

và mặt phẳng 0

1 2

:

)

(P x+ y+z− = .Tỡm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng (P Viết phương trỡnh ) của đường thẳng ∆ đi qua điểm A vuụng gúc với d và nằm trong (P )

Bài 11: Trong khụng gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - 3 = 0 (P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 và

đường thẳng (d):

3

4 2

1

−

=

−

x

Lập phương trỡnh mặt cầu (S) cú tõm I ∈ (d) và tiếp xỳc với hai mặt phẳng (P1), (P2)

Bài 12: Trong khụng gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 4y 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P): x -2y + 2z - 3 = 0 Tỡm những điểm M ∈ (S), N ∈(P) sao cho MN cú độ dài nhỏ nhất.

Bài 13:Viết phương trỡnh đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng ( )

2

1 1 3

2 : 1

−

−

=

=

x d

và vuụng gúc với đường thẳng ( )d2 :x=−2+2t;y=−5t;z=2+t (t∈R)

Bài 14: Viết phương trỡnh đường thẳng (d) vuụng gúc với mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đồng thời cắt cả hai

đường thẳng ( )

1 1

1 2

1 : 1

z y

x

−

+

=

−

và ( )d2 :x=−1+t;y=−1;z =−t, với t∈R

Bài 15: Trong khụng gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):

x +y + −z x+ y+ z− = Viết phương trỡnh tham số đường thẳng (d) tiếp xỳc với (S) tại

A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).

Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2)

Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC

GIẢI:

Bài 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(3;1;1), B(0;1;4), C(–1;–3;1) Lập phương trình

của mặt cầu (S) đi qua A, B, C và có tâm nằm trên mặt phẳng (P): x + y – 2z + 4 = 0

Bài 1: PT mặt cầu (S) có dạng: x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

(S) qua A: 6a + 2b + 2c – d – 11 = 0

(S) qua B: 2b + 8c – d – 17 = 0

(S) qua C: 2a + 6b – 2c + d + 11 = 0

Tâm I ∈ (P): a + b – 2c + 4 = 0

Giải ra ta được: a = 1, b = –1, c = 2, d = –3

Vậy (S): x2 + y2 + z2 – 2x + 2y – 4z – 3 = 0

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(3;0;0), B(0;1;4), C(1;2;2), D(–1;–3;1) Chứng tỏ

A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện và tìm trực tâm của tam giác ABC

Bài 2 Ta có ( 3;1;4); 1 ( 1;1;1)

2

PT mặt phẳng (ABC): 3x + y + 2z – 6 = 0 ⇒ ∉D (ABC) ⇒ đpcm

Đường cao

3 A(3;0;0)

vtcp (1;1; 2)

2

qua

BC

z t

= +



Đường cao

' (0;1; 4)

( 1;1;1)

4 '

x t quaB

vtcp AC

= −



= −

H = ∩BB ⇔ = −t t = − ⇒H −

Bài 3 Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x- 3y + 2z – 5 = 0 và đường thẳng

1 2

2 3

= − +





∆  = +

 = +



Lập phương trình đường thẳng ∆' là hình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên mặt phẳng (P)

Bài 3 : Mặt phẳng P và đường thẳng ∆ không song song hoặc không trùng nhau ⇒ ∆ cắt P Phương trình tham số của ∆

1 2 1

2 3

= − +



 = +



 = +



1 2 3 3 4 6 5 0

⇔ = ∩ ∆ ⇔ − + − − + + − =

5t-5= 0⇔ t= 1 ⇔A(1, 2, 5)

Chọn B (-1, 1, 2)∈∆ Lập phương trình đường thẳng d qua B và d vuông góc( P )

⇒

' ' '

1

2 2

d p



 = +



C là giao điểm của d và (P) ⇔ -1 +t’-3+9t’+4+4t’ – 5 =0 ⇔t’= 5

14 ⇒C( 9 ; 1 38; )

14 14 14

−

Đường thẳng AC là đường thẳng cần tìm: ( 23; 29; 32)

AC→ = − − −

cựng phương với vộc tơ U→ (23,29,32) =>

1 '

1 1

1 23

5 32

= +





∆  = +

 = +



Bài 4 : Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, hóy xỏc định toạ độ tõm và bỏn kớnh đường trũn ngoại tiếp

tam giỏc ABC, biết A(-1; 0; 1), B(1; 2; -1), C(-1; 2; 3).

Bài 4: Ta cú: uuurAB=(2; 2; 2),− uuurAC=(0; 2; 2). Suy ra phương trỡnh mặt phẳng trung trực của AB, AC là:

x y z+ − − = y z+ − =

Vectơ phỏp tuyến của mp(ABC) là nr=uuur uuurAB AC, =(8; 4; 4).− Suy ra (ABC): 2 x y z− + + =1 0.

Giải hệ:

 + − = ⇒ =

Suy ra tõm đường trũn là (0; 2;1).I

Bỏn kớnh là R IA= = − −( 1 0)2+ −(0 2)2+ −(1 1)2 = 5

Bài 5 : Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho ba điểm A(0;1;2), B(2;-2;1), C(-2;0;1) Viết phương trỡnh

mặt phẳng (ABC) và tỡm điểm M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z – 3 = 0 sao cho MA = MB = MC.

Bài 5 : Ta cú uuurAB=(2; 3; 1),− − uuurAC= − − − ⇒ =( 2; 1; 1) nr (2; 4; 8)− là 1 vtpt của (ABC)

Suy ra pt (ABC) là (x – 0) + 2(y – 1) – 4(z – 2) = 0 hay ( ABC) :x + 2y – 4z + 6 = 0

M(x; y; z) MA = MB = MC ⇔ …

M thuộc mp: 2x + 2y + z – 3 = 0 nờn ta cú hệ, giải hệ được x = 2, y = 3, z = -7

Bài 6:Trong khụng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x y− +2z+ =1 0, đường thẳng

( ): 52 3

1

z t

= +



 = − +



 = −



Lập phương trỡnh đường thẳng ( )∆ nằm trong mặt phẳng (P), cắt và vuụng gúc với

đường thẳng (d)

Bài 6 : +) nuurP =(3; 1;2),− uuurd=(1;3; 1)−

Giao ủieồm cuỷa (d) vaứ (P) laứ ủieồm A(15; 28; - 9)

+) ẹửụứng thaỳng (d’) caàn tỡm qua A nhaọn n uuur uurP, d = − ( 4;5;10) laứ VTCP⇒( '):d

15 28 9

4 5 10

x− =y− =z+

−

Bai 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đờng thẳng d và d’ lần lợt có

phơng trình : d : x y =z

−

−

= 1

2

và d’ :

1

5 3

2

2

−

+

=

−

=

y

x

Viết phơng trình mặt phẳng (α) đi qua d và tạo với d’ một góc 300

Bài 7 : .Đờng thẳng d đi qua điểm M(0;2;0) và có vectơ chỉ phơng u(1;−1;1)

2

1 60 cos

)

'

;











= + +

−

+

=

+

−

2

1 6

2

0

2 2

A

C B

A

C

B

A

⇔







=

−

−

+

=

⇔









+ + +

=

+

=

0 2

) ( 6

3

C A B C

C A A A

C A B

Ta có 2A2 −AC−C2 =0⇔(A−C)(2A+C)=0 Vậy A=C hoặc 2A=−C.

Nếu A=C ,ta có thể chọn A=C=1, khi đó B=2, tức là n=(1;2;1) và mp(α)có phơng trình

0 )

2

(

Nếu 2A=−C ta có thể chọn A=1,C=−2, khi đó B=−1, tức là n=(1;−1;−2) và mp(α)có phơng

trình x−(y−2)−2z=0 hay x−y− 2z+ 2 = 0

Bài 8: Trong khụng gian oxyz cho hai đường thẳng d1 :

= = ; d2

1 2 1

y t

= − −



 =



 = +



và điểm M(1;2;3)

1.Viết phương trỡnh mặt phẳng chứa M và d1 ; Tỡm M’ đối xứng với M qua d2

2.Tỡm A d B d ∈ 1; ∈ 2 sao cho AB ngắn nhất

Bài 8: + Phương trỡnh mặt phẳng chứa M và d1 … Là (P) x + y – z = 0

⇒Điểm đối xứng M’ của M qua d2 là M’(-3 ;-2 ;-1)

thẳng d1 và d2

2

AB v

AB v





=



uuur ur

uuur uur …….⇒tọa độ của 3 3 6; ;

35 35 35

1 17 18

35 35 35

B− − 

Bài 9: Trong khụng gian với hệ tọa độ vuụng gúc Oxyz, cho mặt cầu 2 2 2

(S) : (x 1)− + +(y 2) + +(z 3) =64

và mặt phẳng (P) : 2x y 2z 13 0− + + = cắt nhau theo giao tuyến là đường trũn (C) Xỏc định tõm và bỏn kớnh của đường trũn đú

Bài 9: Ta cú:BCuuur=(2; 4;0 ; D) uuurB =(0; 4;3)⇒BC Buuur uuur D=(12; 6;8− )

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và vuụng gúc (BCD) thỡ

4 6

4

z t

= +



 = − −



 =



Hỡnh chiếu vuụng gúc H của A lờn (BCD) là giao điểm của d với (BCD) Tọa độ H là nghiệm của hệ:

2; 4; 4

H

Bài 10: Tỡm giao điểm của d và (P) ta được 2 1 7

A ; ; − 

Ta cú u d =(2 1 3; ;− ),n P =(2 1 1; ; ) ⇒u∆ =u ;n d p=(1 2 0;− ; )

Vậy phương trỡnh đường thẳng ∆ là 2 1 2 7

: x t; y t; z

Bài 11: Trong không gian (oxyz) cho hai mặt phẳng: (P1): x - 2y + 2z - 3 = 0 (P2): 2x + y - 2z - 4 = 0 và

đường thẳng (d):

3

4 2

1

−

=

−

x

Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈ (d) và tiếp xúc với hai mặt phẳng (P1), (P2)

Bài 11: (P1): x - 2y + 2z - 3 = 0

(P2): 2x + y - 2z - 4 = 0

Giả sử I (x0 ; y0 ; z0) ∈ (d):

3

4 2

1

−

=

−

x

⇒ I (-2 - t ; 2t ; 4 + 3t) là tâm của mặt cầu (S)

Mặt cầu (S) tiếp xúc với (P1), (P2) ⇔ d (I, (P1)) = d (I ; (P2))





−

=

−

=

⇔ +

= +

1

13 16

10 3

1 3 9

3

1

t

t t

⇒ I1 = (11 ; 26 ; -35) ; I2 (-1 ; 2 ; 1)

Vậy, có hai mặt cầu cần tìm:

(S1): (x - 11)2 + (y - 26)2 + (z + 35)2 = 382 (S2): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 22

Bài 12: Trong không gian (oxyz), cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 2x 4y 2z + 5 = 0 và mặt phẳng (P): x -2y + 2z - 3 = 0 Tìm những điểm M ∈ (S), N ∈(P) sao cho MN có độ dài nhỏ nhất.

Bài 12: (S): (x + 1)2 + (y - 2)2 + (z - 1)2 = 1 Tâm I (-1 ; 2 ; 1), bán kính R = 1

(P): x - 2y + 2z - 3 = 0 ⇒ d (I;( )P ) = 2 ⇒(P)∩(S)=Ø

Giả sử tìm được N0 ∈ (P)⇒N0 là hình chiếu vuông góc của I trên (P) 0,25đ

( ) ( )d P

N = ∩









−

=

⇒

⊥

−

∋

) 2

; 2

; 1 ( )

( ) (

) 1

; 2

; 1 (

d

u P d

I d

( )







 +

=

−

=

+

−

=

⇒

t z

t y

t x

d

2 1

2 2

1









−

⇒

3

7

; 3

2

; 3

1 0

=

∩( )

)

(d S {M1 ; M2}











−

⇒

3

5

; 3

4

; 3

2 1

M

,











−

3

1

; 3

8

; 3

4 2

M

0,25đ M1M0 = 1 < M2M0 = 3

M0 ∈ (S) để M0N0 nhỏ nhất ⇒ M0 ≡ M1

Vậy, những điểm cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán 









−

3

5

; 3

4

; 3

2









−

3

7

; 3

2

; 3

1

N

Bài 13:Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1;1;1),cắt đường thẳng ( )

2

1 1 3

2 :

−

=

=

x d

và vuông góc với đường thẳng ( )d2 :x=−2+2t;y=−5t;z=2+t (t∈R)

Bài 13: VTCP của d2 là v=(2;−5;1) và cũng là VTPT của mp(P) đi qua M và vuông góc với d2 Pt mp(P) là: 2x−5y+z+2=0 Gọi A là giao điểm của d1 và mp(P) nên A(−2+3t;t;1−2t)

Thay vào phương trình mp(P) thì t =−1⇒ A(−5;−1;3)

* Đường thẳng d cần lập pt có VTCP u =(3;1;−1)do MA=(−6;−2;2)

Vậy phường trình đường thẳng d là:

1

1 1

1 3

1

−

−

=

−

=

x

(vì d ≠ d2)

Bài 14: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng (P): x+y+z-1=0 đồng thời cắt cả hai

đường thẳng ( )

1 1

1 2

1 : 1

z y

x

−

+

=

−

và ( )d2 :x=−1+t;y=−1;z =−t, với t∈R

Bài 14: Điểm M ∈( )d1 , nên toạ độ của M =(1+2t1;−1−t1;t1)

điểm N∈( )d2 , nên toạ độ của N =(−1+t;−1;−t) Suy ra MN =(t−2t1 −2;t1;−t−t1)

Với M,N∈( )d và mặt phẳng (P) có 1 VTPT là n=( )1;1;1 Suy ra:

;

k MN P

mp

Giải ra ta được











−

=

= 5 2 5 4

1

t

t









 − −

=

5

2

; 5

3

; 5

1

M

Vậy phuơng trình đường thẳng (d) là:

5

2 5

3 5

x

Bài 15: Trong không gian Oxyz Cho mặt phẳng (P): x+y-2z+4=0 và mặt cầu (S):

x +y + −z x+ y+ z− = Viết phương trình tham số đường thẳng (d) tiếp xúc với (S) tại

A(3;-1;1) và song song với mặt phẳng (P).

Bài 15: Mp(P) có vtpt nurP= (1;1;-2)

(S) có tâm I(1;-2;-1)

* IAuur = (2;1;2) Gọi vtcp của đường thẳng ∆ là u∆

ur ∆ tiếp xúc với (S) tại A ⇒ uur∆ ⊥ IAuur

Vì ∆ // (P) ⇒ uur∆ ⊥ nurP

* Chọn uur0= [ IAuur,nurP] = (-4;6;1)

* Phương trình tham số của đường thẳng ∆:

3 4

1 6 1

z t

= −



 = − +



 = +



Bài 16: Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz Cho tam giác ABC có: A(1;-2;3), B(2;1;0), C(0;-1;-2)

Viết phương trình tham số đường cao tương ứng với đỉnh A của tam giác ABC

Bài 16: Gọi d là đường cao tương ứng với đỉnh A của ∆ABC

⇒ d là giao tuyến của (ABC) với (α ) qua A và vuông góc với BC.

* Ta có: ABuuur= (1;3;-3), ACuuur= (-1;1;-5) , BCuuur= (-2;-2;-2)

[ ABuuur, ACuuur] = (18;8;2)

mp(ABC) có vtpt nur = 1

4[ ABuuur, ACuuur] = (-3;2;1)

mp(α ) có vtpt nur' = -1

2 BC

uuur

= (1;1;1)

* Đường thẳng d có vtcp uur =[nur, nur' ] = (1;4;-5)

* Phương trình đường thẳng d:

1

2 4

3 5

= +



 = − +



 = −



(Lấy từ 143 – 176)