hệ phương trình bậc hai:I - hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai Phương pháp: - Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn theo ẩn còn lại.. - Thế vào phương trì
Trang 1hệ phương trình bậc hai:
I - hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai
Phương pháp: - Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn theo ẩn còn lại.
- Thế vào phương trình bậc hai, ta được một phương trình bậc hai
- Giải phương trình ta suy ra nghiệm của hệ
VD: Giải các hệ phương trình sau:
1)
=
−
=
− + + +
−
3 3 2
0 6 3 2
2
y x
y x y xy x
2)
=
− +
= +
0 5 2
4 2
y x
x x y
3)
= + + +
= +
0 6
2 3 2
y x xy
y x
4)
= + +
=
−
7
5 2
2
x
y x
5)
= +
=
−
− + +
− 4 2
0 4 5 2
3 2 2
y x
y x y xy x
6)
+
= +
= +
) 2 ( 2
6 2
x
y x
ii- hệ phương trình đối xứng loại i:
đn: Là hệ phương trình có dạng:
=
= 0 ) , (
0 ) , (
y x g
y x f
(I) Với f(x,y)= f(y,x) và g(x,y)=g(y,x) Phương pháp: - Đặt
=
+
=
y x P
y x S
ta sẽ được hệ phương trình
=
= 0 ) , (
0 ) , (
P S G
P S F
(II) Giải hệ phương trình này ta tìm được S, P Từ đó suy ra x, y là nghiệm của phương trình:
t2 - S.t + p = 0
Hệ (I) có nghiệm ⇔ hệ (II) có nghiệm thoả mãn S2- 4P ≥ 0
VD1: Giải các hệ phương trình sau:
1)
= + +
= + +
4
2 2
x
xy y x
2)
= +
= + +
5
5 2
2 y x
xy y x
3)
= + +
− +
−
= +
−
6
3 2
x
y x xy
4)
−
= + +
= +
−
7
19 2 2
y xy x
y xy x
5)
= + + +
= + +
28 ) ( 3
11 2
x
xy y x
6)
= +
= + +
2
2 2
2y xy x
y xy x
7)
= +
= +
+ 4
2 8 2 2 2
y x
xy y
x
8)
= + + +
=
− +
4 1 1
3
y x
xy y x
9)
= +
= + + +
136
20 2
x
y x y x
>
=
− +
=
− + +
y x
y x y x
y x y x
8
6
3
11)
= +
= +
26
2 3
x
y x
12)
= + +
=
−
−
1
3 2
x
xy y x
VD2: Tìm m để các hệ phương trình sau có nghiệm:
1)
−
= +
= + +
8 3 2
x
m xy y x
2)
>
−
= +
= + +
0 ,
1 2
2
y x
m xy y x
m xy y x
3)
−
=
− +
=
− +
m xy
y x
xy y x
1
4 4 ) ( 5
4)
+
= +
+
= + +
m m y x xy
m y xy x
2 ) (
1 2
5)
= +
= + +
m y x
m xy y x
2 2 iii- hệ phương trình đối xứng loại ii:
Trang 2đn: Là hệ phương trình có dạng:
=
= 0 ) , (
0 ) , (
y x g
y x f
(I) Với f(x,y)= g(y,x)
Phương pháp: Ta thường biến đổi như sau:
=
=
−
⇔
=
=
0 ) , (
0 ) , ( ) , ( 0
) , (
0 ) , (
y x g
y x g y x f y
x g
y x f
Sau đó, ta phân tích f(x,y)−g(x,y) thành tích, trong đó có một nhân tử (x - y). VD1: Giải các hệ phương trình sau:
1)
=
−
=
−
x y y
y x x
2 3
2 3 2
2
2)
= +
= +
16
16 2 3
2 3
y x y
xy x
3)
−
= +
−
= +
x y
xy
y x
xy
1
1 2
2
4)
+
=
+
=
x x y
y y x
1 2
1 2
2 2
1
0 2
1 2
0
2
≥
>
⇒
≥ +
=
>
x
y y
y x y
Tương tự y≥1 Vậy x≥1,y≥1
5)
=
−
=
−
y
x x y
x
y y x
4 3
4 3
6)
+
=
+
=
x y y
y x x
8 3
8 3 3
3
7)
= +
= +
y x y
x y x
3 1 2
3 1 2
8)
−
=
−
−
=
−
2 3
2
2 3
2
2 2
2 2
x y y
y x x
9)
= +
= +
x y
y x
2 1
2 1 3
3
10)
= +
= +
2
2 3 2
3 2
y x y
x y x
11)
+
=
+
=
2 2 2 2
2 3
2 3
y
x x x
y y
12)
+
=
−
+
=
−
1 3
1 3
3 2
2 2
x y y
y x x
VD2: Cho hệ phương trình:
= +
−
= +
−
m y x x
m y x y
2 ) (
2 ) ( 2 2
a) Giải hệ khi m = 0
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
VD3: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
+
−
=
+
−
=
my y y x
mx x x y
2 3 2
2 3 2
4 4
VD4: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất
− +
=
− +
=
my y x y
mx x y x
2 2 3
2 2 3
7 7
iv- hệ phương trình đẳng cấp:
ĐN: Là hệ phương trình có dạng:
= +
+
= +
+
2
2 2 2
2 2
1
2 1 1
2 1
y c xy b x a
d y c xy b x a
Phương pháp: Ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Kiểm tra xem phương trình có nghiệm x = 0
Bước 2: Nếu x ≠ 0 thì ta đặt: x = ty (*)
≠
≠
⇒
0
0
k y
Trang 3Hệ tương đương với:
= + +
= + +
) 2 ( ) (
) 1 ( ) (
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 1 2
d c k b k a y
d c k b k a y
2
1 2 2
2 2
1 1
2 1 )
2
(
)
1
(
d
d c k b k a
c k b k a
= + +
+ +
=
≠
≠ + + 0
0 2 2
2 2
k
c k b k a
Bước 3: Thay k0 vào (1) hoặc (2), tìm ra được nghiệm y0 tương ứng; thay y0 và k0 vào (*) tìm ra x0 tương ứng
Bước 4: Tìm ra nghiệm x0 và y0 tương ứng và kết luận
VD: Giải các hệ phương trình sau:
1)
=
−
−
=
− +
15 3
9 5
38 4
5 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
2)
= + +
= + +
2 2
2
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
3)
= + +
= + +
17 3
2
11 2
3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
4)
= +
−
= + +
11 3
12 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
5)
=
−
−
−
= + +
7 3 2
1 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
6)
=
−
= +
−
4 3
1 4
2
2 2
xy y
y xy x
7)
−
=
− +
= +
−
6 2
4
13 3
2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
8)
=
−
−
= +
−
0 9 8 5
0 4 8 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
9)
=
−
−
=
−
8 2 3
16 2
3
2 2
2
y xy x
xy x
10)
−
=
−
−
=
− +
11
29 2 2
2 2
y xy x
y xy x
11)
=
−
−
=
− +
15 3
9 5
38 4
5 3
2 2
2 2
y xy x
y xy x
12)
= +
−
= +
−
5 5 4
9 3 2
2 2
2 2
y xy x
y xy x
Các hệ phương trình khác: