Các bài toán phân tích đa thức tành nhân tử và cách khai thác bài toán

Các bài toán phân tích đa thức tành nhân tử và cách khai thác bài toánPHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ CỪ TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ TIÊN TIẾN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA TH

Các bài toán phân tích đa thức tành nhân tử và cách khai thác bài toán

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO PHÙ CỪ TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ TIÊN TIẾN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

CÁC BÀI TOÁN PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

VÀ CÁCH KHAI THÁC BÀI TẬP

Người viết: HOÀNG ĐỨC THIỆN

Chức vụ: Giáo viên dạy toán 8

Đơn vị: Trường trung học cơ sở Tiên Tiến

NĂM HỌC 2013-2014

PHẦN I LÝ LUẬN CHUNG

1 Lý do nghiên cứu

Phân tích đa thức thành nhân tử là một nội dung quan trọng trong chương trình Toán

8 và là nền tảng cho sự rèn luyện tư duy, kỹ năng giải toán của học sinh THCS

Nội dung này được giới thiệu trong chương trình Toán lớp 8 và có thể coi là nội dungnòng cốt của chương trình Vì nó được vận dụng rất nhiều ở các chương sau, trong cácphần: Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu

tỉ, giải phương trình, … Thực tế giảng dạy cho thấy, số tiết giảng dạy cho phần nàykhông nhiều, bài tập chỉ mang tính minh họa nên đa số học sinh còn lúng túng Học sinh

khá giỏi thì còn rất nhiều vấn đề của kiến thức chưa được đề cập tới Bài tập chưa đủkích thích sự tìm tòi, khả năng tư duy sáng tạo cho học sinh.

Đặc biệt kỹ năng phân tích đa thức thành phân tử là một kỹ năng cơ bản quantrọng, nếu nắm vững và thành thạo kỹ năng này thì học sinh có khả năng giảiquyết được nhiều vấn đề trong chương trình Đại số lớp 8 và lớp 9 cũng như nhiềuvấn đề Toán học khác có liên quan, tìm được lời giải hay và ngắn gọn cho một bàitoán Nhưng nhiều lúc việc phân tích đa thức thành nhân tử thật không dễ chútnào, nhất là trong trường hợp các đa thức cần phân tích có bậc cao, hệ số lớn, phứctạp

Để giúp cho tất cả học sinh đại trà và học sinh khá giỏi đạt kết quả tốt trong việcphân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề cần được quan tâm Sau khi giới thiệunhững phương pháp cơ bản có ví dụ cụ thể, cần có các bài tập vận dụng tổng hợp cácphương pháp trên

Trên cơ sở tạo ra ngân hàng các bài tập theo mức độ cho từng đối tượng học sinh Tôichọn đề tài nghiên cứu phục vụ chính cho công tác giảng dạy của bản thân và hy vọnggóp một phần nhỏ vào thư viện trường làm tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

- Đưa ra một cách nhìn cụ thể cho từng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Xây dựng hệ thống bài tập áp dụng, bài tập vận dụng từ thấp đến cao

- Làm tài liệu bồi dưỡng học sinh

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

+ Đối tượng:

- Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Các bài tập liên quan trong chương trình toán 8

+ Phạm vi

- Chương trình toán 8, trọng tâm phần các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử

4 Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử theo chuẩn KTKN

- Nghiên cứu các tài liệu tham khảo thư viện trường

- Tông hợp các dạng bài tập theo chủ đề và khai thác nâng cao mức độ

PHẦN II NỘI DUNG

Phối hợp nhiều phương pháp.

Tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.

Đổi biến số (đặt ẩn phụ).

Thêm bớt cùng một hạng tử.

Dùng hệ số bất định.

Tìm nghiệm của đa thức.

1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung

2) B = 2x(3y –7 z) + 6y(7z – 3y)

3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z)

HD :

1) A = 5x2y – 10xy2

Ta thấy các hạng tử của đa thức đều chứa thừa số chung 5xy, ta có

A = 5x2y – 10xy2 = 5xy.x – 5xy.2y

= 5xy(x - 2y)

2) B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)

Đổi dấu hạng tử 6y(7z – 3y) = - 6y(3y – 7z), ta có thừa số (3y – 7z) chung :

B = 2x(3y – 7z) + 6y(7z – 3y)

= 2x(3y – 7z) - 6y(3y - 7z)

= (3y – 7z)( 2x – 6y)

= (3y – 7z).2(x – 3y)

= 2(3y – 7z)(x – 3y)

3) C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z)

Đổi dấu – (4yx2 + yz2)(z – y2) = (4yx2 + yz2)( y2 – z), ta có thừa số

(y2 – z) chung:

C = (y2 – z)(2x2y – yz) – (4yx2 + yz2)(z – y2) + 6x2z(y2 – z)

= (y2 – z)(2x2y – yz) + (4yx2 + yz2)( y2 – z) + 6x2z(y2 – z)

1.1.3.Khai thác bài toán:

Nếu chú ý đến các hạng tử của các biểu thức và bằng cách đặt thừa số chung, ta

có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Để áp dụng phương pháp này, ta cần biến đổi các hạng tử để làm xuất hiện các

hằng đẳng thức (nếu có thể) Sau đó dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đathức thành nhân tử

1.2.3 Khai thác bài toán:

Bằng cách dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ , ta có thể giải các bài toán tương

Sử dụng tính chất giao hoán và tính chất kết hợp của phép cộng các đơn thức,

ta có thể kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm Trong mỗi nhóm này, ta ápdụng liên tiếp các phương pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức để tiếp tụcphân tích

Lưu ý: Thường thì ta sẽ có nhiều cách nhóm các hạng tử khác nhau

1) x2 – xy + x – y

* Cách 1: Nhóm hạng tử thứ nhất với hạng tử thứ hai, hạng tử thứ ba với

Nhận xét : Trong cách giải trên, ta đã nhóm 3 hạng tử cuối của đa thức và đưa vào

trong dấu ngoặc đằng trước có dấu “ – ” để phân tích đa thức bằng phương pháp dùnghằng đẳng thức

1.3.3 Khai thác bài toán:

Nếu chú ý đến phương pháp nhóm các hạng tử, ta có thể giải các bài toán tương

tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

E = 3x3 – 75x + 6x2 – 150

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

Bước 1: Đầu tiên ta xét xem các hạng tử có xuất hiện nhân tử chung hay không?

Có nhân tử chung: Áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung Sau đó ta xem

đa thức trong ngoặc là bài toán mới và quay lại với bước 1 và tiếp tục thựchiện đến kết quả cuối cùng

Nếu không có nhân tử chung, chuyển sang bước 2

Bước 2: Nếu đa thức có dạng của một hàng đẳng thức thì áp dụng phương pháp

hằng đẳng thức Nếu không thì chuyển qua bước 3

2) 2a2 – 12ab + 18b2

Cách giải tương tự câu a) :

2a2 – 12ab + 18b2 = 2(a2 – 6ab + 9b2)

Bằng phương pháp phối hợp các phương pháp để phân tích đa thức thành nhân

tử, ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

I =

Bài toán 1.2: Phân tích đa thức

K = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6axy2 – 3a2xy + 3xy

Bài toán 1.3: Phân tích đa thức

1.5 Phương pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.

1.5.1 Phương pháp:

Có một số đa thức không có nhân tử chung cũng không có dạng hằng đẳng thức

nên việc phân tích thành nhân tử là rất khó Vì thế ta nên tách một hạng tử thành hai hoặcnhiều hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử

và đặt nhân tử chung để phân tích tiếp

Mặc dù có nhiều cách tách nhưng thông dụng nhất là cách sau:

* Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm

các hạng tử và đặt nhân tử chung mới

* Cách 2: Tách hạng tử thứ ba thành 2 hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai

+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phương (cách 2)

Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ người ta thường dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức.

1.5.3 Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp tách hạng tử (chủ yếu là hạng tử tự do và các hạng tử bậcthấp), ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Xét Q(x) = ay2 + by + c Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay2 +

by + c = ay2 + (m +n)y + m.n/a hay y2 + by + c = a(y + m/a)(y + n/a) (*).Nếu a = 1 thì

y2 + by + c = (y + m)(y + n) Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì trước hết phân tíchhai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m và n nhỏ hơn b Sau đó chọn m, n thoảmãn m + n = b

 Đa thức dạng: P(x) = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d

= (y + 6x)(y + 4x)

Do đó: P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10)

 Đa thức dạng : P(x) = ax4 +bx3 + cx2 + kbx + a với k = 1 hoặc k = –1

HD: Đặt y = x2 + k và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử ay2 + bxy rồi sử dụngHĐT(*)

1.6.3 Khai thác bài toán:

Bằng cách đặt ẩn phụ , ta có thể giải các bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Thêm bớt cùng một hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn có dạng hằng đẳng

thức rồi dùng phương pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung để tiếp tục phân tích.Thông thường hay đưa về dạng các hằng đẳng thức đáng nhớ sau khi thêm bớt

1) a3 + b3 + c3 – 3abc

Ta sẽ thêm và bớt 3a2b +3ab2 sau đó nhóm để phân tích tiếp

a3 + b3 + c3 = (a3 + 3a2b +3ab2 + b3) + c3 – (3a2b +3ab2 + 3abc)

3) 4x4 + 81

Ta sẽ thêm và bớt 36x2 sau đó nhóm các hạng tử phù hợp để có dạng hằng đẳngthức:

1.7.3.Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp thêm bớt hạng tử, ta có thể giải các bài toán tương tự nhưsau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

Nếu trên một tập hợp số nào đó mà hai đa thức f(x) và

g(x) đồng nhất với nhau, tức là ứng với mọi giá trị của biến lấy trên tập hợp số đã cho mà f(x) và g(x) luôn có các giá trị bằng nhau thì hệ số của các hạng tử cùng bậc là bằng nhau.

Vì hai đa thức đồng nhất, nên ta có:

Vì a,c thuộc số nguyên và tích ac = –30, do đó a, c là ước của –30 hay a, c ={

Đồng nhất hệ số đa thức này với đa thức đã cho, ta có:

x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd

(x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd

= x4 – 6x3 + 12x2 – 14x + 3

* bd =3 mà b,d ∈ Z => b ∈

Với b =3 => d =1

Vậy:

Vậy k(x) = x4 – 6x3 +12x2 – 14x + 3 = (x2 – 2x + 3)(x2 – 4x +1).

1.8.3 Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp hệ số bất định và với cách giả như trên, ta có thể giải cácbài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

 Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích củahai thừa số là (x – a) và Q(x)

Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x).

Q(x) lại có một nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a)R(x)

Do đó, ta có : P(x) = (x – a)2R(x)

Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a

Vậy nếu đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x)

Ta nhận thấy đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là -1 và 2 Vì P(-1) = 0 và P(2)

Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử ( x – a) thì nhân tử còn lại

có dạng x2 + bx = c suy ra – ac = – 4 suy ra a là ước của – 4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tửkhông đổi

Ước của (– 4) là –1; 1; – 2; 2; – 4; 4 Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đathức Suy ra đa thức chứa nhân tử ( x – 1)

Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x – 1)

* Cách 1:

P(x) = x3 + 3x2 – 4 = x3 – x2 + 4x2 – 4 = x2(x – 1) + 4(x – 1)(x + 1)

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x – 1).

+ Nếu đa thức có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc

lẻ thì đa thức chứa nhân tử ( x + 1).

Ví dụ:

* Đa thức : x3 – 5x2 + 8x – 4 có 1 – 5 + 8 – 4 = 0

Suy ra đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức có chứa thừa số ( x – 1)

* Đa thức: 5x3 – 5x2 + 3x + 9 có (– 5) + 9 = 1+ 3

Suy ra đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số ( x + 1)

+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhưng đa thức có nghiệm hữu tỉ Trong đathức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có dạng p/q trong đó p là ước của hạng

tử không đổi, q là ước dương của hạng tử cao nhất

1.9.3.Khai thác bài toán:

Bằng phương pháp tìm nghiệm đa thức và với cách giả như trên, ta có thể giảicác bài toán tương tự như sau:

Bài toán 1.1: Phân tích đa thức

D Cả 3 câu trên đều đúng.

C ; D Cả 3 câu trên đều sai;

A ; B ;

C a[(x – y)(x + y) – (x + y)] ; D ;

C (x + y)[(x + y)2 – 1] ; D (x + y)(x +y +1)(x + y – 1) ;

A y(3 + x – y)(3 – x + y) ; B y[(x – y)2 – 32]

C y[(3 + x – y)(3 – x – y) ; D y(3 + x + y)(3 – x – y) ;

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tam thức bậc hai

Không làm phép chia đa thức hãy xét xem đa thức:

f(x) = x3 – 9x2 + 6x + 16 có hay không chia hết cho:

a) x +1 b) x – 3

Bài 11.

Xác định hằng sốa sao cho:

Cho x là số nguyên Chứng minh rằng :

B = là bình phương của một số nguyên

Cho x và y là hai số khác nhau sao cho:

Tính giá trị của biểu thức

Bài 14:

Chứng minh rằng :

Bài 15:

Xác định số hữu tỷ a để đa thức M = chia hết cho đa

Bài 16:

Cho x > y > z, chứng minh rằng biểu thức:

PHẦN III KẾT LUẬN

1 Những kết quả đạt được

Bản thân tôi đã nghiên cứu và đưa ra được một cách có hệ thống các phươngpháp phân tích đa thức thành nhân tử: Có phương pháp , có ví dụ minh họa, có bàitập khai thác làm chủ đề trở lên đơn giản rễ hiểu

Việc xây dựng một số các nội dung kiến thức mở rộng giúp giáo viên và họcsinh có cái nhìn sâu hơn về cách khai thác và vận dụng kiến thức cơ bản vào dạy

và học toán Qua đó giúp học sinh phát triển trí tuệ, tính chăm chỉ, tính chính xác, nănglực nhận xét, phân tích phán đoán, tổng hợp kiến thức

Kết quả kiểm tra đánh giá cuối chủ đề hai lớp 8 năm 2013:

8B 0 0 9 36 10 40 6 24

Dù số lượng học sinh chưa nhiều, song qua giảng dạy bồi dưỡng trực tiếp tôi thấy được học sinh đã nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.Đặc biệt tỉ lệ học sinh làm được các dạng bài vận dụng khá cao

Có thể nói, việc hệ thống kiến thức mỗi chủ đề một cách khoa học có tác dụng tốt không chỉ với giáo viên mà còn tác động trự tiếp đến khả năng tiếp thu vàhứng thú của học sinh

2- Đề xuất

Trong một thời gian không dài, tài liệu tham khảo còn ít ỏi, mặc dù đã cố gắng rấtnhiều nhưng đây mới là một số suy nghĩ của tôi về các phương pháp phân tích đa thứcthành nhân tử Nếu có được sự cộng tác của bạn bè đồng nghiệp, tôi tin rằng các ý kiếncủa cá nhân tôi sẽ được hoàn thiện và khoa học hơn

Tiên Tiến, ngày 3/3/2014

4 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 3

PHẦN II NỘI DUNG

MỘT SỐ TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 8 Nhà xuất bản giáo dục.Vũ Dương Thuỵ(chủ biên)- Nguyễn Ngọc Đạm

2 Bài tập cơ bản và nâng cao Đại số 8 Nhà xuất bản Đà Nẵng Phan Văn Đức – NguyễnThái Hoà - Nguyễn Thế Thượng – Nguyễn Anh Dũng

3.Toán nâng cao Đại số 8 Nhà xuất bản Đại học sư phạm Nguyễn Vĩnh Cận.

4 Bài tập trắc nghiệm và các đề kiểm tra Toán 8 Nhà xuất bản giáo dục Hoàng NgọcHưng – Phạm Thị Bạch Ngọc

5 400 bài tập cơ bản và mở rộng Đai số 8.Nhà xuất bản Đại học quốc gia Hà Nội DươngĐức Kim - Đỗ Duy Đồng

6 Nâng cao và phát triển Toán 8, tập một Nhà xuất bản giáo dục Vũ Hữu Bình

7 Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Đại số Nhà xuất bản giáo dục.Nguyễn Vũ Thanh