Để giỳp học sinh giải quyết những khú khăn đú, đồng thời bổ sungmột số kiến thức về tớnh chia hết.. IV - đóng góp về m ẶT thực tiễn Qua quá trình giảng dạy và đúc rút kinh nghiệm của bả
Trang 1PHầN i: mở đầu
i-Lí do chọn đề tài:
Toỏn học là một ngành khoa học cơ bản giữ vai trũ vụ cựng quan trọng đối vớiđời sống kinh tế , xă hội Đặc biệt toỏn học là cơ sở, là phương tiện để nghiờn cứu cỏcngành khoa học khỏc Cú thể núi toỏn học là chỡa khúa của mọi ngành khoa học Từtoỏn học đă mở ra những con đường để nghiờn cứu cỏc lĩnh vực khoa học cho đờisống của con người
Trong toỏn học cú nhiều bộ mụn, bộ mụn nào cũng cú cỏi hay, cỏi thỳ vị riờng của
nú Đặc biệt ở cấp THCS hiện nay, học sinh được học và nghiờn cứu một số bộ mụnnhư số học , đại số và hỡnh học Đõy là một trong những mụn gúp phần trang bị chohọc sinh cỏch học , cỏch sống , phỏt triển toàn diện và hài hoà , tự trang bị cho mỡnhnhững tri thức để học lờn nữa và để đi vào cuộc sống
Trong quỏ tŕnh giảng dạy bộ mụn toỏn tụi thấy phần kiến thức về chia hết là hếtsức cơ bản trong chương trỡnh số học Vấn đề này được đưa vào toỏn lớp 5, phỏt triển
ở lớp 6, lớp 7 và được đề cập trong những bài toỏn nõng cao dành cho học sinh giỏi ởlớp 8, lớp 9 Trong cỏc kỡ thi học sinh giỏi cỏc cấp , đặc biệt là ở lớp 6 thỡ vấn đề chiahết là một nội dung hay đề cập đến và thường là những bài khú Cỏc bài toỏn về chiahết rất đa dạng , phải sử dụng cỏc phương phỏp khỏc nhau một cỏch linh hoạt, sỏngtạo Trong khi năng lực tư duy, khả năng phõn tớch tổng hợp của học sinh cũn hạnchế nờn học sinh thường bị tắc trong việc tỡm ra cỏch giải cho loại toỏn này Vấn đềđặt ra trong việc giải toỏn là phải biết nhận dạng bài toỏn và lựa chọn phương phỏpthớch hợp để giải Để giỳp học sinh giải quyết những khú khăn đú, đồng thời bổ sungmột số kiến thức về tớnh chia hết Tụi xin trỡnh bày kinh nghiệm :" phương phỏpgiải bài toỏn chia hết toỏn 6"
ii- MụC Đ Í CH NGHIÊN CứU:
- Cỏc phương phỏp thường dựng để giải cỏc bài toỏn về phộp chia hết.ng phỏp thường dựng để giải cỏc bài toỏn về phộp chia hết.ng dựng để giải cỏc bài toỏn về phộp chia hết ải cỏc bài toỏn về phộp chia hết gi i cỏc b i toỏn v phộp chia h t.ài toỏn về phộp chia hết ề phộp chia hết ết
- Rốn k n ng v n d ng ki n th c khi gi i b i toỏn v phộp chia h t.ĩ năng vận dụng kiến thức khi giải bài toỏn về phộp chia hết ăng vận dụng kiến thức khi giải bài toỏn về phộp chia hết ận dụng kiến thức khi giải bài toỏn về phộp chia hết ụng kiến thức khi giải bài toỏn về phộp chia hết ết ức khi giải bài toỏn về phộp chia hết ải cỏc bài toỏn về phộp chia hết ài toỏn về phộp chia hết ề phộp chia hết ết
- C ng c v hủng cố và hướng dẫn học sinh làm bài tập ố và hướng dẫn học sinh làm bài tập ài toỏn về phộp chia hết ướng dẫn học sinh làm bài tập.ng d n h c sinh l m b i t p.ẫn học sinh làm bài tập ọc sinh làm bài tập ài toỏn về phộp chia hết ài toỏn về phộp chia hết ận dụng kiến thức khi giải bài toỏn về phộp chia hết
Trang 2iii- thời gian , địa điểm
-Nghiên cứu đề tài trong năm học 2013-2014
-Địa điểm nghiên cứu : trờng T.H.C.S Mạo Khê I Thị Trấn Mạo Khê - ĐôngTriều - Quảng Ninh
IV
- đóng góp về m ẶT thực tiễn
Qua quá trình giảng dạy và đúc rút kinh nghiệm của bản thân tôi thấy hầuhết những học sinh đã học đợc môn toán thì khả năng tiếp thu các môn khác đềurất thuận lợi chính vì vậy bản thân tôi đã cố gắng áp dụng các phơng pháp giảngdạy tối u nhất để giỳp học sinh nắm b i nhanh , thài toỏn về phộp chia hết ớch học mụn toỏn
PHầN ii: Phần nội dung
CHƯƠNG I: TỔNG QUAN
I.CƠ SỞ Lí LUẬN
Trong chương trỡnh toỏn THCS cú rất nhiều dạng bài tập cần vận dụng vào tớnh chấtchia hết để giải quyết Dạng toỏn chia hết cỏc em đó được làm quen ở chương trỡnh tiểu học , ở lớp 6 được mở rộng trong tập hợp số nguyờn , kiến thức về tớnh chất chia hết của tổng là cơ sở để giải thớch cỏc dấu hiệu chia hết cho 2,3,5,9 , là một kiến thức quan trọng đề giải quyết cỏc bài toỏn liờn quan đến vấn đề chia hết Do vậy học sinh phải nắm vững kiến thức , phõn loại cỏc dạng toỏn Việc hệ thống bài tập thể hiện dạng toỏn chia hết cú vai trũ quan trọng , nú giỳp cho học sinh phỏt triển khả năng tư duy, khả năng võn dụng kiến thức một cỏch linh hoạt vào giải toỏn, trỡnh bày lời giải chớnh xỏc và logic Đú cũng là những kỹ năng cần thiết của học sinh khi cũn ngụi trờn ghế nhà trường
II CƠ SỞ THỰC TIỂN
Trong quỏ trỡnh giảng dạy tụi thấy khi làm cỏc bài tập về chia hết cỏc em thừng
rất lỳng tỳng , nguyờn nhõn chủ yếu là do cỏc em chưa cú kỹ năng giải toỏn “chia hết” vỡ cỏc em chưa biết bài toỏn đú cần ỏp dụng phương phỏp nào để giải Từ đú
Trang 3dẫn đến cỏc em ngại làm bài , nếu làm bài thỡ suy luận thiếu chớnh xỏc , thiếu chặt chẽ , thiếu cỏc trường hợp Vỡ vậy để nõng cao kỹ năng giải toỏn “chia hết” thỡ cỏc
em phải nắm được cỏc dạng toỏn , cỏc phương phỏp gỉải , cỏc kiến thức cơ bản được
cụ thể hoỏ trong từng bài , từng chương Cỏc bài toỏn về chia hết là những kiến thức rất cơ bản , quan trọng khụng chỉ trong chương trỡnh toỏn 6 mà cả ở cỏc lớp cao hơn Việc giỳp cỏc em nắm chắc kiến thức về phương phỏp giải bài toỏn chia hết , nhằm giỳp cỏc em phỏt triển tư duy suy luận và úc phỏn đoỏn, kỹ năng trỡnh bày linh hoạt
Hệ thống bài tập tụi đưa ra từ dễ đến khú, bờn cạnh đú cũn cú những bài tập nõng caodành cho học sinh giỏi được lồng vào cỏc tiết luyện tập Lượng bài tập cũng tương
đối nhiều nờn cỏc em cú thể tự học , tự chiếm lĩnh tri thức thụng qua hệ thống bài tập
ỏp dụng này , điều đú giỳp cỏc em hứng thỳ học tập hơn rất nhiều
CHƯƠNG II : NỘI DUNG VẤN ĐỀ NGHIấN CỨU
I TH C TR NG C A V N ỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIấN CỨU ẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIấN CỨU ỦA VẤN ĐỀ NGHIấN CỨU ẤN ĐỀ NGHIấN CỨU ĐỀ NGHIấN CỨU NGHIấN C U ỨU
Qua thời gian giảng dạy , thực tế điều tra học sinh lớp 6D do tôi đảm nhiệmtôi thấy còn có nhiều học sinh yếu kém môn toán do nhiều nguyên nhân :
- Không nắm vững kiến thức cơ bản
- Các em còn bỡ ngỡ với phơng pháp học ở cấp T.H.C.S
- Trong quá trình học tập còn lời học, lời suy nghĩ học sinh thờng học và làm bài theo kiểu máy móc, cha phát huy hết tính tích cực, chủ động khi học toán mà còn học theo kiểu đi theo lối mòn có sẵn Với phơng pháp học tập nh vậy dẫn tới việc các em chán nản, cha thực sự hứng thú trong học tập, cha có niềm say mê trong học tập nói chung và trong toán họcnói riêng Bớc đầu điều tra tôi thấy chất lợng môn toán của các em học sinh ở lớp 6D +Có 1 em ( đạt 2,8%) hoàn thành xuất sắc bài tập có sáng tạo
+ Có 20 em (đạt 55,6%) làm hết bài tập nhng không có tính sáng tạo, làm
Trang 4theo kiểu máy móc.
+ Có 15 em(đạt 41,6%) cha biết lập luận, làm cha hết số bài tập về nhà
II- CÁC GIẢI PHÁP:
Nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh , tức là giúp học sinh tự tiếpcận kiến thức mới , tự tìm tòi kiến thức mới thì phải đổi mới đồng bộ (Từ công tácsoạn, giảng của giáo viên , tổ chức trong giờ học , hớng dẫn học sinh những công việclàm ở nhà
*Khi soạn bài, giáo viên cần :
- Chọn kiến thức cơ bản nhất để áp dụng phơng pháp dạy học tích cực, vạch sơ đồliên kết kiến thức đợc chọn với kiến thức khác của tiết học
- Xây dựng chiến lợc dạy kiến thức đợc chọn bằng phơng pháp tích cực, muốnthế giáo viên cần xây dựng hệ thống câu hỏi, hệ thống bài tập dẫn dắt học sinh đi đếnkiến thức đó
- Vạch kế hoạch giảng những kiến thức còn lại theo những phơng pháp phù hợp
- Ngoài bài tập có trong sách giáo khoa nên bổ sung các câu hỏi, hoặc bài tậpnhằm củng cố kiến thức theo hớng vận dụng toán học vào thực tiễn và rèn luyện t duynăng động, sáng tạo
- Việc hớng dẫn học sinh học và làm bài ở nhà là một trong những khâu quantrọng của tiết học, học sinh có định hớng đợc công việc cần làm hay không, làm nhthế, làm những việc gì là phụ thuộc rất lớn vào sự hớng dẫn của giáo viên ở cuối tiếthọc Do đó khi soạn bài giáo viên cần coi trọng việc chuẩn bị hệ thống câu hỏi, tuỳvào đặc điểm trình độ, tuỳ vào nội dung và phơng pháp của mỗi tiết học đợc lựa chọn
mà đa ra hệ thống câu hỏi cho thích hợp
* Khi tổ chức dạy học :
Tổ chức cho học sinh tìm kiếm kiến thức cơ bản nhất của tiết học thông qua các công việc sau:
Trang 5- Đa ra câu hỏi hoặc bài tập nhằm định hớng hoạt động học tập của học sinh trêncơ sở các em đã đợc chuẩn bị ở nhà.
- Khéo léo gợi ý để cả ba đối tợng học sinh đều tích cực trả lời câu hỏi và giải bàitập
- Tổ chức cho học sinh làm việc cá nhân hoặc trao đổi nhóm (nếu cần thiết) đểcác em giúp đỡ nhau
- Thông báo kiến thức hoặc phơng pháp giải cho học sinh
- Khẳng định kết quả làm việc của học sinh - Đa kiến thức mới vào hệ thống kiếnthức vốn có của học sinh
- Đánh giá hoạt động học tập của học sinh (trên cơ sở chuẩn bị ở nhà và làm bàitập ở lớp)
* Để giải cỏc bài toỏn về phộp chia hết đ đưt c hi u qu khi gi i cỏc b i toỏn núi chung v gi i cỏc b i toỏn ệu quả khi giải cỏc bài toỏn núi chung và giải cỏc bài toỏn ải cỏc bài toỏn về phộp chia hết ải cỏc bài toỏn về phộp chia hết ài toỏn về phộp chia hết ài toỏn về phộp chia hết ải cỏc bài toỏn về phộp chia hết ài toỏn về phộp chia hết
v chia h t núi riờng , tụi ó ề phộp chia hết ết đ hệ thống húa lý thuyết chia hết và bài tập vận dụng
tương ứng , từ dạng cơ bản nhất đến tương đối và khú hơn Trong quỏ trỡnh giải nhiều dạng bài tập là đó hỡnh thành khắc sõu cho cỏc em kỹ năng giải cỏc dạng toỏn chia hết.Giỏo viờn nờu ra cỏc dấu hiệu chia hết hay là cỏc phương phỏp chứng
minh chia hết trong SGK, ngoài ra bổ sung thờm một số phương phỏp cần thiết nhất
để vận dụng vào nhiều dạng bài tập khỏc nhau
A- Tr ớc hết học sinh cần nắm vững định nghĩa phép chia hết trong SGK lớp 6 tập 1, các dấu hiệu chia hết cũng nh các tính chất về quan hệ chia hết.
1 Định nghĩa
Cho 2 số tự nhiên a và b, trong đó b khác 0, nếu có số tự nhiên x sao cho b.x = a,thì ta nói a chia hết cho b và ta có phép chia hết a: b= x
2.Các dấu hiệu chia hết
a) Dấu hiệu chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của số đó là số chẵn
b) Dấu hiệu chia hết cho 3 (hoặc 9)
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi và chỉ khi tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3(hoặc 9)
Chú ý: Một số chia cho 3 (hoặc 9) d bao nhiêu thì tổng các chữ số của số đó chia cho
3 (hoặc 9) cũng d bấy nhiêu và ngợc lại
c) Dấu hiệu chia hết cho 5
Trang 6Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng bằng 0 hoặc 5
d) Dấu hiệu chia hết cho 4 (hoặc 25)
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) khi và chỉ khi 2 chữ số tận cùng của số đó chia hếtcho 4 (hoặc 25)
e) Dấu hiệu chia hết cho 8 (hoặc 125)
Một số chia hết cho 8 hoặc 125 khi và chỉ khi 3 chữ số tận cùng của số đó chia hết cho
8 hoặc 125
f) Dấu hiệu chi hết cho 11
Một số chi hết cho 11 khi và chỉ khi hiệu giữa tổng các chữ số hàng lẻ và tổng các chữ
số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11
3 Tính chất của 2 quan hệ chia hết
+ 0 chia hết cho b với b là số tự nhiên khác 0
+ a chia hết cho a với mọi a là số tự nhiên khác 0
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho a thì a = b
+ Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho b và a chia hết cho c mà (b, c) = 1 thì a chia hết cho b.c
+ nếu a chia hết cho m và a chia hết cho n thì a chia hết cho BCNN(m,n)
+ Nếu a.b chia hết cho c và (b,c) =1 thì a chia hết cho c
+ Nếu a chia hết cho m thì k.a chia hết cho m với mọi k là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (ab) chia hết cho m
+ Nếu a chia hết cho m, b không chia hết cho m thì (ab) không chia hết cho m+ Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì a.b chia hết cho m.n
+ Nếu (a.b) chia hết cho m và m là số nguyên tố thì a chia hết cho m hoặc b chiahết cho m
+ Nếu a chia hết cho m thì an chia hết cho m với n là số tự nhiên
+ Nếu a chia hết cho b thì an chia hết cho bn với n là số tự nhiên
B- Khi học sinh đã nắm chắc các vấn đề nêu trên thì giáo viên có thể đ a ra một vài ph ơng pháp th ờng dùng để giải các bài toán chia hết.
Với học sinh lớp 6 tôi thờng sử dụng 5 phơng pháp sau:
1 ph ơng pháp 1 : Dựa vào định nghĩa phép chia hết
Để chứng minh a chia hết cho b ( b khác 0), ta biểu diễn số a dới dạng một tíchcác thừa số, trong đó có 1 thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b) a = b.k ( k N)hoặc a =m.k ( m chia hết cho b)
Ví dụ 1: Chứng tỏ rằng số có dạng aaaaaa bao giờ cũng chia hết cho 7
Giải :
Trang 7aaaaaa = a.111111 = a 7.15873 chia hết cho 7
Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng số có dạng abcabc bao giờ cũng chia hết cho 11, chia hết cho
7 và chia hết cho 13
Giải :
Ta có : abcabc = abc000 abc = abc.(1000+1) =abc.1001 = abc.11.7.13 nên
abcabc chia hết cho 11, chia hết cho 7 và chia hết cho 13
Ví dụ 3: Chứng minh rằng, nếu lấy một số có 2 chữ số cộng với số gồm 2 chữ số ấyviết theo thứ tự ngợc lại, ta luôn đợc một số chia hết cho 11
Giải
Gọi 2 số đó là ab và ba Ta có :
ab + ba = 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11( a + b) chia hết cho 11
2 Ph ơng pháp 2 : Dùng các tính chất của phép chia hết.
2.1 Dùng tính chất chia hết của một tổng, một hiệu
* Để chứng minh a chia hết cho b ( b 0) ta có thể làm nh sau:
a) Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
Giáo viên chốt lại: Tổng của n số tự nhiên liên tiếp cha chắc đã chia hết cho n 2.2 Dùng tính chất chia hết của 1 tích.
Để chứng minh a chia hết cho b (b 0) ta có thể chứng minh bằng một trongcác cách sau:
+ Ta chứng minh (a.m) chia hết cho b; (m, b) = 1 a chia hết cho b
+ Biểu diễn b = m.n với (m,n)= 1, sau đó chứng minh a chia hết cho m , a chia hết chon
+ Biểu diễn a= a1 a2,, b = b1.b2, rồi chứng minh a1 chia hết cho b1; a2 chia hết cho b2
Trang 8Ví dụ 5: chứng minh (1980a + 1995b) chia hết cho 15 với a, b là số tự nhiên.
Giải:
Vì 1980 chia hết cho 3 nên 1980.a chia hết cho 3 với a
Vì 1995 chia hết cho 3 nên 1995.b chia hết cho 3 với b
Nên (1980a + 1995b) chia hết cho 3
Chứng minh tơng tự ta có: (1980a + 1995b) chia hết cho 5 với a, b mà (3,5) = 1
(1980 a + 1995b) chia hết cho 15
Ví dụ 6: chứng minh rằng tích của 2 số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8
Giải:
Gọi 2 số chẵn liên tiếp là 2n, 2n +2 ( n N)
Tích của 2 số chẵn liên tiếp là 2n.(2n +2) = 4.n.(n+1)
Vì n và n + 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên n.(n+ 1) chia hết cho 2
Mà 4 chia hết cho 4 nên 4.n.(n+1) chia hết cho (4.2)
4.n.(n+1) chia hết cho 8
2n.(2n + 2) chia hết cho 8
* Giáo viên nhận xét : Nh vậy khi gặp những bài toán chứng minh một tổng, một
hiệu hoặc một tích chia hết cho một số mà các tổng, hiệu, tích đó có thể phân tích
đợc thành tích các thừa số, ta thờng sử dụng các tính chất của phép chia hết.
3 Ph ơng pháp 3: Dùng định lí về chia có d
Để chứng minh n chia hết cho p ta xét mọi trờng hợp về số d khi chia n cho p:
Ta viết n = p.k + r, trong đó r = 0, 1, , p-1; k N Rồi xét tất cả các trờnghợp của r
Ví dụ 7: Chứng tỏ rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n +6) chia hết cho 2.Giải: Với mọi n ta có thể viết hoặc n = 2k + 1 hoặc n= 2k
a) Tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
b) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 4
Giải: a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n, n+1, n+2
Tích của số tự nhiên liên tiếp là : n.(n+1).(n+2)
Mọi số tự nhiên khi chia cho 3 có thể nhận một trong các số d 0;1;2
Trang 9- Nếu r = 0 thì n chia hết cho 3 n.(n + 1).(n+ 2) chia hết cho 3
Tóm lại, n.(n+1).(n+2) chia hết cho 3 với mọi n là số tự nhiên
b) Chứng minh tơng tự ta có: n.(n+1).( n+2).( n+3) chia hết cho 4 với mọi n là số tựnhiên
Sau khi giải bài tập tập này, giáo viên yêu cầu học sinh nêu bài tập này ở dạng tổngquát
Giáo viên khắc sâu cho học sinh : Tích của n số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết
cho n.
Giáo viên nhận xét: Phơng pháp này thờng đợc sử dụng khi chứng minh một biểu thức có chứa biến chia hết cho các số tự nhiên có một chữ số Khi chứng minh một biểu thức chia hết cho các số tự nhiên lớn hơn 10 ta không sử dụng phơng pháp này vì phải xét nhiều trờng hợp.
4 Ph ơng pháp 4 : Dùng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến chữ số tận cùng.
Ví dụ 9: Chứng minh rằng : 1028 + 8 chia hết cho 72
Giải:
Ta có 1028 + 8 = ( 100 0 + 8) = 100 .08 có tổng các chữ số bằng 9 nênchia hết cho 9
1028 + 8 = = 100 .08 có tận cùng bằng 008 nên chia hết cho 8
Vì ( 8,9) =1 nên 1028+ 8 (8.9) hay 1028+ 8 72
*Giáo viên nhận xét: Phơng pháp này thờng sử dụng để chứng minh các bài toán
mà số chia là các số tròn chục ( 10, 100, ) hay các số chia mà dấu hiệu chia hết
có liên quan đến chữ số tận cùng ( ví dụ : 5, 4, 8, 25, 125), hoặc số chia có thể phân tích thành tích các số có dạng nh trên.
5 Ph ơng pháp 5: Sử dụng nguyên tắc Đirichlet.
Nội dung của nguyên tắc Đirichlet: “Nếu có n+1 con thỏ, xếp vào n chuồng, thì ít nhất 1 chuồng chứa từ 2 con thỏ trở lên ”
Ví dụ10: Chứng minh rằng trong 6 số tự nhiên bất kì luôn tìm đợc 2 số có hiệu chiahết cho 5
Giải:
28 chữ số 0 27 chữ số 0
27 chữ số 0
Trang 10Một số khi chia cho 5 có thể nhận một trong các số d là : 0; 1; 2; 3; 4.
Trong 6 số tự nhiên bất kì khi chia cho 5 luôn tồn tại ít nhất 2 số có cùng số d( nguyên tắc Đirichlet)
Hiệu của 2 số chia hết cho 5
C- Khi học sinh đã nắm vững các ph ơng pháp th ờng dùng để Chứng minh chia hết, giáo viên có thể giao một số bài toán về chia hết nhằm giúp học sinh nắm một cách có hệ thống các kiến thức về phép chia hết
1 Dạng 1: Dạng toỏn điền vào * để được số chia hết cho một số.
Bài toỏn 1: Điền vào * để số 35*