De thi HSG Long An vong 1 bang A co loi giai chi tiet

De thi HSG Long An vong 1 bang A co loi giai chi tiet tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập l...

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1

Ngày thi: 07/10/2016

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.(5 điểm)

a) Giải phương trình sau trên tập số thực: x 1 2x 3 x2  x 1

b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: 2 2   2







Câu 2.(5 điểm)

a) Từ một điểm M tùy ý trong tam giác ABC, các đường thẳng MA, MB, MC lần lượt cắt

BC, AC, AB tại A B C Chứng minh rằng 1, 1, 1 1 1 1

1

AA  BB  CC 

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 4;3 Đường phân giác trong

của góc A có phương trình x  y 1 0 và 2;3

2

I 

  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Viết

phương trình cạnh BC biết diện tích tam giác ABC bằng hai lần diện tích tam giác IBC

Câu 3.(4 điểm) Cho dãy số thực  u n thỏa mãn: 1 3  

2

* 3

n

n

u

n

u

u









 



a) Chứng minh u n    1, n *

b) Tìm số hạng tổng quát của dãy  u n

Câu 4.(3 điểm) Cho a b, là các số thực dương Chứng minh rằng:

 4

4 4 2 2

Câu 5.(3 điểm) Cho hàm số 4 2

yx  mx  (1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

(1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1

- HẾT -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh: ……… Chữ ký giám thị 1:……… Chữ ký giám thị 2:………

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÒNG 1

Ngày thi: 07/10/2016

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) HƯỚNG DẪN CHẤM THI

1 1.a) Giải phương trình sau trên tập số thực: 2

x  x x  x 2,5

Ta có x 1 2x 3 x2  x 1

3

x x





0,25

3

2 0 (*)

x

x









0,25

2 0

2

0,25

1

x x

x

   



   

  

1 1

Từ (1), (2) suy ra x 1 là nghiệm phương trình (*)

1.b) Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

 







2,5

Lấy (1) – (2) theo vế ta được 2 2   2   2

f t  t t t  t t t  trên

ĐỀ CHÍNH THỨC

   2

2 2

1

t

 

0,5

x x x   y  y y   f x  f y   x y 1 0,5

Hệ phương trình tương đương

2 2

1 2 1

5

2 3

x y

x y

x

y

  



  





 

  

 



Vậy nghiệm của hệ phương trình là   5 2

1; 2 , ;

3 3

2 2.a) Từ một điểm M tùy ý trong ABC , các đường thẳng MA, MB, MC lần lượt

cắt BC, AC, AB tại A B C Chứng minh rằng 1, 1, 1 1 1 1

1

Kẻ AH, MK vuông góc BC

Có AHA1 MKA1

1

1

1 AH

2

MBC ABC

MK BC

S





0,75

Kẻ MP, BQ vuông góc AC

Có BCB1 MPB1

1

1

1 2

MAC ABC

MP AC

S





1

3

MAB ABC





Lấy (1) +(2) +(3) ta được

1

2.b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A 4;3 Đường

phân giác trong của góc A có phương trình x  y 1 0 và 2;3

2

I 

  là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác ABC Viết phương trình cạnh BC biết diện tích tam

giác ABC bằng hai lần diện tích tam giác IBC

2,5

B1

C1

A1

P Q

A

B

C M

Ta có: 5

2

Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC phương

trình:  2 3 2 25  

2

x y   C

0,25

Gọi D a b ; , (a4) là giao điểm thứ hai của

đường phân giác trong góc A với (C) Ta có hệ

1 0

2

a b

  





    



0,5

;

;

D

 



 



     



0,5

Do DB DC

IB IC





 nên ID là đường trung trực của của

BC

0,25

Khi đó đường thẳng BC có vectơ pháp tuyến là

 

n DI  Phương trình BC có dạng:

3x 4y m 0

0,25

16

ABC IBC

m

m



Vậy phương trình cạnh BC là: 3x 4y 0 hoặc 3x 4y 16  0 0,25

3

Cho dãy số thực  u n thỏa mãn: 1 3  

2

* 3

n

n

u

n

u

u









 



14

13

2

3

k

u



1 1

k

u 

Vậy u n    1, n *

0,25 0,25

 3 3

1 3

n

n

u

u







   

x-y-1=0 D I(2;3/2) A(4;3)

B

C

 3 3

1 3

n

n

u

u







   

Do đó:

3 1

1





 

  

1

1

* 1

n

n

u



Vì v1 3

Theo qui nạp ta được 3 1 3 1

1n 3n

n

0,25 0,25

1

n

n

v

v



3 3

*

n n

n







4

Cho a b, là các số thực dương Chứng minh rằng:

 4

4 4 2 2

Đặt S 41 4 222



2



0,25

0,25

Mà  2 22  4 4 2 2

2

2 2

4 4 2 2

    



0,25 0,25 2

2

S

   



2

S

          

0,25

0,25

2

2 2

2

S

 

 

4 2

2

 

 

0,25

 4 4  4

2 2

S

 

 

0,25

Hay

 4

4 4 2 2

yx  mx  (1) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm

số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1 3,0

Ta có y'4x34mx

Cho

2

0

y





   



0,25 0,25

Hàm số có 3 cực trị khi phương trình y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt  m 0

Khi đó hàm số (1) có 3 điểm cực trị là : 2 2

A m m B  m m C 0,25 0,25

Gọi I là tâm của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C

Vì A, B đối xứng qua trục tung nên I nằm trên trục tung

0,25 0,25

Đặt I(0 ; y 0 ) Ta có: IC = 1 2 0

0

0

0

2

y y

y





     

 (0 ; 0)

I O

  hoặc (0 ; 2) I

0,25 0,25

Với I O(0 ; 0)

2

So sánh điều kiện m > 0, ta được m = 1 và m = 1 5

2

 

0,25

0,25

Với I(0 ; 2)

IA = 1  m  ( 1 m2 2)  1 m42m2 m 0(*)

Phương trình (*) vô nghiệm khi m > 0

0,25

Vậy m = 1 và m = 1 5

2

 

Thí sinh giải cách khác, giám khảo chấm điểm tương đương

- HẾT -