De thi HSG mon Toan lop 12 tinh Bac Giang nam 2017 [blogtoanhoc.com]

3 Một nhóm học sinh gồm có 9 bạn nam, trong đó có bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh xếp vào 13 cái ghế trên một hàng ngang.. Tính xác suất để giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN - LỚP 12 Ngày thi: 21 / 3 / 2017

Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (4, 5 điểm)

1) Tìm m để hàm số y=cos 3x+6 cos 2m x−21cosx+2m−8 đồng biến trên khoảng ( )0;π 2) Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 3 ( 2 ) 2

f x =x + m − x +m +m− có hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 2.

2

y = x−

Câu 2 (4, 5 đi ể m)

1) Giải phương trình 3 2 3 2

tan x−tan x+4 tanx+cot x−cot x+4 cotx =8

2) Giải phương trình 4 ( ) ( )

log x +7x− =3 log x +7x−4 , (x∈ℝ) 3) Một nhóm học sinh gồm có 9 bạn nam, trong đó có bạn Hải và 4 bạn nữ trong đó có bạn Minh xếp vào 13 cái ghế trên một hàng ngang Tính xác suất để giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn Hải và bạn Minh nêu ở trên không ngồi cạnh nhau

Câu 3 (4, 0 đ i ể m)

1) Giải phương trình 3 3 3 2 3 2

x+ + x+ = x + x+ + x + x+ (x∈ℝ) 2) Tính tích phân 4 ( )

2

0

log 2 sin cos

1 cos 2

x

π

+

=

+

Câu 4 (6, 0 đi ể m)

1) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình x− +y 3 2− =3 0 và hai đường tròn ( ) 2 2

C x + y+ = Viết phương trình đường tròn ( )C

tiếp xúc với đường thẳng d , tiếp xúc ngoài với đường tròn ( )C1 , đồng thời ( )C cắt ( )C2 tại hai điểm ,

A B phân biệt mà AB⊥d

2) Cho hình hộp đứng ABCD A B C D có đáy là hình thoi, ' ' ' ' ABC>90o Góc giữa A C và mặt ' đáy (ABCD) bằng 30o; góc giữa hai mặt phẳng (A BC' ) và (ABCD) bằng 45o; khoảng cách từ điểm '

C đến mặt phẳng (A CD' ) bằng a Gọi E là trung điểm cạnh CD Tính thể tích khối hộp đã cho và

bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE '

3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm A(0;9;0), (4;3;25)

M và cắt hai tia Ox Oz, lần lượt tại hai điểm B C, khác O sao cho OB+OC nhỏ nhất

Câu 5 (1, 0 đi ể m) Cho các số thực , , x y z không âm đôi một phân biệt Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức ( 2 2 2) ( ) ( ) ( )

- HẾT - Cán b ộ coi thi không gi ả i thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Giám thị 1 (Họ tên và ký)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

HDC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP TỈNH

NGÀY THI 21/3/2017 MÔN THI: TOÁN LỚP 12 PHỔ THÔNG

(Bản hướng dẫn chấm có 04 trang)

1.1

(2.5

điểm)

cos 3 6 cos 2 21cos 2 8

y= x+ m x− x+ m−

0 5

Đặt t =cosx, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( )0;π khi và chỉ khi hàm số

f t = t + mt− = t + mt−

Hàm số ( ) 3 2

f t =t + mt − t−m− nghịch biến trên (−1;1)

( )

2

0.5

( ) ( )

'

f f

m









=

m

m m





Kết luận

0.5

1.2

(2.0

điểm)

Ta có y'=3x2 +m2 −3. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì 2

m − < ⇔ m < 0.5 Giả sử A x y( ;1 1), (B x y2; 2)là hai điểm cực trị

Tính được hệ số góc của đường thẳngAB là 1 2 ( 2 )

3 3

−

−

0.5

Hai điểm cực trị đối xứng nhau qua đường thẳng 1 2

2

y = x− suy ra

( 2 )

k = − ⇔ m − = − ⇔ =m

0.5

2.1

(1.5

điểm)

tan x−tan x+4 tanx+cot x−cot x+4 cotx=8

2

Phương trình tương đương

(tanx+cot )x −(tanx+cot )x +(tanx+cot )x − =6 0 (1)

0.5

Đặt t=tanx+cot , | | 2x t ≥ , phương tình (1) trở thành

3 2

6 0

Giải được t=2

Suy ra

4

tanx+cotx= ⇔2 sin 2x= ⇔ =1 x π +kπ (thỏa mãn)

4

= + ∈ℤ là nghiệm của phương trình đã cho

0.5

2.2

(1.5

điểm

4

log x +7x− =3 log x +7x−4

Điều kiện:

2 2

7 3 0

7 4 0

x x

x x

 + − >



 + − >

Viết lại phương trình dưới dạng

log x 7x 3 log x 7x 4 (1)

0 5

4

log ( 7 4)

y= x + x− Từ phương trình (1) ta có hệ:

2

2

7 3 5

y

y

x x

x x

0.5

Hàm số ( ) 4 1

f y    

=  + 

    là hàm nghịch biến

Do đó phương trình (2) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Nhận thấy y=1 là một nghiệm

8

x

x

=



= −

 Vậy phương trình có nghiệm x= −8 àv x=1

0.5

2.3

(1.5

điểm)

13!

Đánh số ghế trên hàng ngang theo thứ tự từ 1 đến 13 Các bạn nữ phải ngồi vào các ghế

số 1,5,9,13

Gọi A là biến cố: “Giữa hai bạn nữ ngồi gần nhau có đúng ba bạn nam, đồng thời bạn

Hải và bạn Minh không ngồi cạnh nhau”

0.25

Xét các trường hợp

- B ạ n Minh ng ồ i ở gh ế 1

+ Số cách xếp 3 bạn nữ còn lại là 3!

+ Có 8 cách xếp vị trí của Hải

+ Có 8! cách xếp tám bạn nam vào các vị trí còn lại

Suy ra số cách xếp là 3!.8.8!

- Bạn Minh ngồi ghế 13 cũng có số cách xếp là 3!.8.8!

0.5

- B ạ n Minh ng ồ i gh ế 5 (gh ế 9 làm t ươ ng t ự )

Có 3! cách xếp 3 bạn nữ, có 7 cách xếp vị trí của Hải, có 8! cách xếp 8 bạn nam còn lại

Suy ra số cách xếp là 3!.7.8!

0.5 3!.7.8 ! 3!.8.8 ! 3 !

( ) 2.15.13!3! 8! 8158

3.1

(2.0

điểm)

x + + x + = x + x + + x + x +

u= x+ v= x + x+ Phương trình đã cho trở thành 3 3 3 3

u + + =u v + +v

0 5

Xát hàm số f t( )= 3t3+ +1 t Có

( )

2 2 3 3

1

t

t

= + > ∀ ≠ −

Suy ra hàm số ( )f t luôn đồng biến Nên ( )f u = f v( )⇔ =u v 0.5

2

x+ = x + x+ ⇔ x + x= ⇔ =x x= −

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm 0; 3

2

3.2

(2.0

điểm)

2

2

log 2 sin cos 1 ln 2 sin cos

1 cos 2 2 ln 2 cos

+

Đặt

2

ln 2 sin cos 1

cos

x









2 os sin

2 sin cos

1 tan

2

 =



⇒ 



2 os sin

2 sin cos

2 sin os

2 cos

x c x v

x

 =



⇒ 

 =



0.5

0 0

4

0

tan ln 2 sin cos

2 ln 2 2 2 2 cos

x dx x

π π

π

+

∫

∫

( ) 4

0

2 ln 2 2 2 2

ln

4 ln 2 2 2

π

π

0.5

4.1

(2.0

điểm)

( )C1 có tâm I1(−1; 3) , bán kính R1 =2 ; ( )C2 có tâm I2(0; 3− ) , bán kính R2 =1

Khẳng định tâm I của đường tròn ( )C nằm trên đường thẳng l qua I2 và song song

với d , l có phương trình x− − =y 3 0.

0.5

Tính được đường tròn ( )C có bán kính R= 3 0.5 Gọi I t( +3;t)∈ Sl ử dụng

II =R+R = được t = ho0 ặc t = − 1.

( )3; 0

Kiểm tra ( )C cắt ( )C2 tại hai điểm phân biệt, ta có I(2; 1 − )

KL: Đường tròn ( ) ( ) (2 )2

4.2

(2.0

điểm)

G

B'

A'

A

C'

D

D'

C F

B I

J H

Hạ AI ⊥BC suy ra góc( (A BC' ) (; ABCD) ) = góc(A I AI' , ) = ' 45o

A IA= (1) Góc (A C ABCD' ;( ) )= ' 30o

A CA= (2)

Hạ AJ ⊥CD, AH ⊥A J'

Khẳng định khoảng cách từ điểm C' đến mặt phẳng (A CD' ) bằng AH =a.

0.5

Từ (1) suy ra AI =AA' Đáy ABCD là hình thoi nên AJ =AI

Xét tam giác vuông A AJ , t' ừ AH = a được AJ =a 2

Đặt AB =x,(x >0)⇒BC =x Từ (2) suy ra AC =a 6.

0.25

Xét tam giác vuông AIC : IC = AC2 −AI2 =2 a IB =IC −BC =2a−x

Xét tam giác vuông AIB AB: 2 =AI2 +IB2 2 ( )2 ( )2 3

2

a

⇔ = + − ⇔ = ⋅

0.5

2

a

AC ∩BD = O ⇒BO = ;

2

3 ' ' ' '

3 2

a

Gọi F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE và đường thẳng d qua F vuông

góc với (ABCD )

Mặt phẳng trung trực của AA c' ắt d tại G thì G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE '

0.25

Bán kính cầu ngoại tiếp tứ diện AA DE là ' GA= GF2 +FA2 với

2

a

GF = ⋅

Tính được 57

4

a

AE = ;

2

2

ADE

a a a

FA

⋅ ⋅

Vậy

2



0.25

4.3

(2.0

điểm)

Giả sử B a( ; 0; 0), (0; 0; )C b ( , a b>0)

Phương trình mặt phằng (P) qua các điểm (0;9; 0), ( ; 0; 0), (0; 0; )A B a C b có dạng

1

9

x y z

a+ + =b

0.5

30

a b a b

Dấu ‘=’ đạt được khi 21; 105

2

a= b=

0.5

Vậy phương trình mặt phẳng cần lập là 2 1

21 9 105

(1.0

điểm)

Không mất tính tổng quát, giả sử 0≤x <y <z

Đặt a = −y x b; = −z y thì a >0,b>0

2

2

2

2

2 2

a b a b

+

Đẳng thức xảy ra ⇔x = 0

0.25

2

2 2

1

a a

a b a b

b b

+

+

Đặt

2

 

 

=    + > thì ( )( )2

2

P

t

2

0.25

3

f t

t

2

Lập bảng biến thiên ta được ( ) 1 5 11 5 5



Do đó 11 5 5

2

0.25

Đẳng thức xảy ra khi 1 5

2

2

a b

Kết hợp với (1), P nhỏ nhất khi

0

2

x y

z y

 =



 −



Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 11 5 5

2

+

⋅

0.25

20 điểm

Lưu ý khi chấm bài:

- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì vẫn được điểm theo thang điểm tương ứng

- Với bài toán hình học nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không cho điểm phần tương ứng