De thi HSG mon Toan lop 12 tinh Vinh Phuc 2016 2017

Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.. a Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB4km.. Trên bờ biển có một cái kho

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1 (2.0 điểm)

a) Cho hàm số 2 2

1

x y

x





 có đồ thị là (H) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của

(H) và M là một điểm bất kì trên (H) Tiếp tuyến với (H tại ) M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của ( )H lần lượt tại E và F Chứng minh rằng tam giác IEFcó diện tích không đổi

b) Cho hàm số

3 2

3

x

y  x  x có đồ thị là ( )C Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị

( )C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Câu 2 (2.0 điểm)

a) Cho log 65 a,log 126 b Tính log 24 theo a và 25 b

x

x

f ( x ) 

 Tính tổng:

S  f   f    f  

Câu 3 (2.0 điểm)

a) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một

khoảng AB4(km). Trên bờ biển có một cái kho ở vị

trí C cách B một khoảng BC7(km ) Người canh

hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ

biển với vận tốc 6(km h rồi đi xe đạp từ M đến C )

với vận tốc 10(km h (hình vẽ bên) Xác định vị trí )

của M để người đó đến C nhanh nhất

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm dương phân biệt

x33(m1)x23(2m1)x2m29m 5 0

BACCADDAB , AB cm , AC cm , 10( )

AD cm Gọi A ,B ,C ,D lần lượt là trọng tâm của các tam giác 1 1 1 1 BCD ACD ABD ABC , , ,

a) Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD 

b) Tính thể tích khối tứ diện A B C D 1 1 1 1

Câu 5 (1.0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , B AB8, 6

BC Biết SA6 và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC Tìm bán kính mặt cầu có tâm ) thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp

S ABC

Câu 6 (1.0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

- Hết -

- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….; Số báo danh:………

Trang 1/6, HDC HSG12-Môn Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2016-2017

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài thí sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó

II ĐÁP ÁN:

Câu 1.a (1.0 điểm) Cho hàm số 2 2

1

x y

x





 có đồ thị là (H) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (H) và M là một điểm bất kì trên (H) Tiếp tuyến với ( )H tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của ( )H lần lượt tại E và F Chứng minh rằng tam giác IEF có diện tích không đổi

Giả sử ;2 2 , 1.

1

m

m



4 '( )

( 1)

f x

x

 

 , tiếp tuyến với ( )H tại M có phương trình là: 4 2  2 2

( )

m



Đồ thị ( )H có tiệm cận đứng1:x  1, tiệm cận ngang 2:y  2, suy ra I( 1; 2)  

6 2

1

m

m





0.25

Do đó: 8 , | 2 2 |

| 1|

m

Tam giác IEF vuông tại I nên 1 1 8 | 2 2 | 8

IEF

m

      

Câu 1.b (1.0 điểm) Cho hàm số

3 2

3

x

y  x  x có đồ thị ( )C Trong tất cả các tiếp tuyến

với đồ thị ( )C , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

Hàm số đã cho có 2

y' x  x Gọi M x y là điểm bất kỳ thuộc đồ thị (C),  0; 0 0 1 30 2 02 0 1

3

y  x  x x 

0.25

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M x y có hệ số góc:  0; 0   2

k  y' x  x  x 

0.25  2

x

    

Vậy k đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x0 2 0.25

Trang 2/6, HDC HSG12-Môn Toán

Khi đó 2 7

3

M ; 

  và tiếp tuyến cần tìm có phương trình:

11

3

y  x

0.25

Câu 2.a (1.0 điểm) Cho log 65 a,log 126 b Tính log 24 theo 25 a và b

Ta có: alog 65 log 3 log 2;5  5 blog 126

log 6.log 12 log 12 log 3 2log 2

a b

Vậy nếu đặt xlog 3,5 ylog 25 thì ta có hệ 2

2



1 log 24 log 3 3log 2

2

0.25

a b

0.25

Câu 2.b (1.0 điểm) Cho hàm số 4

x

x

f x 

 Tính tổng:

S  f   f     f 

Ta có nhận xét: Nếu a b 1 thì f a  f b 1. 0.25

( ) ( )

2 4 2 4 2 4 2 4 2 4 8

1

.





Áp dụng nhận xét đó ta được:

2016 ô'

1 1 1 2016

s

S f   f    f   f   f   f  

    

0.25 1008

Câu 3.a (1.0 điểm)

a) Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí A cách bờ biển một

khoảng AB4(km). Trên bờ biển có một cái kho ở vị

trí C cách B một khoảng BC7(km ) Người canh

hải đăng phải chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ

biển với vận tốc 6(km h rồi đi xe đạp từ M đến C )

với vận tốc 10(km h (hình vẽ bên) Xác định vị trí )

của M để người đó đến C nhanh nhất

Trang 3/6, HDC HSG12-Môn Toán

Đặt BM  x,x 0 7; Khi đó, AM  x216, MC 7 x.

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C theo lộ trình bài toán là:

2

16 7

Xét hàm số

2

16 7 ( )

,0 x 7 Hàm số ( )h x liên tục trên  0;7 2

1

10

x

h x

x

 

h x   x do x

Suy ra:

  0;7

37

30

   Vậy khi điểm M cách B một khoảng bằng

3(km thì người canh hải đăng đến kho nhanh nhất ) 0.25

Câu 3.b (1.0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm

x  m x  m x m  m  (1)

f x  x  m x  m x m  m Từ tính chất đồ thị hàm số

bậc ba, suy ra yêu cầu bài toán được thỏa mãn nếu các điều kiện sau xảy ra đồng

thời:

+) f x'( )0 có hai nghiệm dương phân biệt (1)

+) f CÐ CT f 0 (2)

+) f(0)0 (3) 0.25

'( ) 3 6( 1) 3(2 1), '( ) 0

x





Suy ra (1)

1 2 0

m m

  



 

 



(*)

0.25

(2) f(1) (2f m  1) 0 2m 6m4 (2m1)2m 2m40

3 17 1

  (**)

0.25

2

        (***)

Kết hợp các điều kiện (*), (**), (***) ta được 3 17;5

2

Trang 4/6, HDC HSG12-Môn Toán

Câu 4.a (1.0 điểm) Cho tứ diện ABCD có BAC CADDAB600, AB8(cm ,) 9( )

AC  cm , AD10(cm) Gọi A ,B ,C ,D lần lượt là trọng tâm của các tam giác 1 1 1 1

BCD ACD ABD ABC Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD 

A

B

C

D

C'

D'

I H

Trên các cạnh AC, AD lần lượt lấy các điểm ', ' C D sao cho AC' AD'8(cm) Khi

đó, tứ diện ABC D là tứ diện đều có cạnh bằng ' ' 8(cm ) 0.25

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên AC' D' , H là tâm của tam giác đều 

Gọi I là trung điểm của C' D' , 2 2

Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ACD là : 

 

3

Câu 4.b (1.0 điểm) Tính thể tích khối tứ diện A B C D 1 1 1 1

D2

C2

B2

C1

B1 D1

D

C B

A

A1

Trang 5/6, HDC HSG12-Môn Toán

Gọi B C D thứ tự là trung điểm CD,DB,BC Khi đó 2, 2, 2 (B C D //(BCD) Ta có 1 1 1)

1 1 1 2 2 2

BCD

B C D B C D

S

Lại có 1

BCD ABCD

d A BCD

0.25

Diện tích của tam giác ACD là:

2

9 10

ACD

S  .AC.AD.sinCAD .  ( cm )

Thể tích của tứ diện ABCD là:

3

60 2

0.25

1 1 1 1

3

60 2 20 2

A B C D

Câu 5 (1.0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại , B AB8, 6

BC Biết SA6 và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC Tìm bán kính mặt cầu có tâm ) thuộc phần không gian bên trong của hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp

S ABC

Gọi ,I r thứ tự là tâm và bán kính của mặt cầu có tâm thuộc phần không gian bên

trong hình chóp và tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S ABC Nối I với các

điểm S, A, B, C Khi đó ta có

tp

r S

Ở đó, S là diện tích toàn phần (tổng diện tích 4 mặt của hình chóp) tp

0.25

.6 .8.6 48

S ABC

6

r r

S

A

B

C I

Trang 6/6, HDC HSG12-Môn Toán

Dễ chứng minh được SBBC

SB SA AB     BC BA AC, suy ra:

1 6.8 10.6 6.10 8.6 108

2

0.25

108 3

S ABC

tp

V

r

S

Câu 6 (1.0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P

Xét hàm số:

3 2

x

  với x0;

Ta có:   4 3 2 

1 3 7 12 6 2 '( )

3( 1)

f x



 

0.25

Bảng biến thiên của f ( x ):

f’(x ) - 0 + f(x)

f ( 1)0

Từ bảng biến thiên ta được: f x( ) f  1   0, x 0

0.25

Thay x lần lượt bằng a, b, c ta được: f ( a ) f b  f c 0

2

 

2

ln a b 1 0

c

       P 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi a  b c 1 0.25

- Hết -