TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍCH PHÂN THEO HƯỚNG MỚI

Sáng kiến kinh nghiệm về tích phân với đề tài TIẾP CẬN TÍCH PHÂN THEO HƯỚNG MỚI được giải B năm 2017. Đây là đề tài khai thác những khía cạnh mới mà bộ giáo dục đào tạo ra đề thi. Nắm được cách khai thác này thì với chuyên đề tích phân trong đề thi các thí sinh không bỏ sót câu nào. Kèm theo đó là hướng dẫn Casio máy tính rất tiện lợi.

LỜI NÓI ĐẦU

Trước sự đổi mới của Bộ giáo dục và đào tạo về việc tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm trong kỳ thi Trung học phổ thông quốc gia năm 2017 và hưởng ứng cuộc vận động mỗi thầy cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học

và sáng tạo, với kinh nghiệm ít ỏi được tích lũy trong những năm công tác của mình, tôi mạnh dạn nghiên cứu một đề tài giải các bài toán trắc nghiệm về nguyên hàm và tích phân hạn chế việc sử dụng máy tính cầm tay

Vì thời gian ít, kiến thức có hạn, tài liệu tham khảo không nhiều nên trong quá trình nghiên cứu không thể tránh được những thiếu sót, mong quý đồng nghiệp cho ý kiến góp ý để đề tài tôi được phát triển rộng rãi hơn

Cuối cùng xin kính chúc Ban giám khảo cuộc thi cùng gia đình sức khoẻ, hạnh phúc và thành đạt

Buôn Ma Thuột, ngày 15 tháng 02 năm 2017

Người viết

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân được ứng dụng rộng rãi như để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, nó còn là đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Ngoài ra phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý,

Cơ học, Thiên văn học, y học

Đặc biệt, năm 2017 là năm đầu tiên Bộ giáo dục và đào tạo triển khai thi theo hình thức trắc nghiệm ở bộ môn Toán trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT quốc gia Thực tế

là thi trắc nghiệm hay tự luận, việc dạy và học không có gì thay đổi về chuẩn kiến thức Tuy nhiên, với hình thức thi trắc nghiệm cần lượng kiến thức bao quát hơn thay vì tập trung sâu về một vấn đề Để đáp ứng yêu cầu của hình thức thi trắc nghiệm, bên cạnh việc dạy và học bao quát kiến thức, học sinh phải hiểu rõ bản chất vấn đề, cũng như cần có kỹ năng làm bài nhanh Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực cho các đề thi trắc nghiệm môn Toán không thể không kể đến máy tính cầm tay Casio Nhiều ý kiến cho rằng nếu thi Toán trắc nghiệm thì Casio sẽ lên ngôi, 12 năm ăn học nay chỉ cần máy tính là đủ Nhưng tôi biết, có rất nhiều cách

ra đề để cho có dùng máy tính Casio mà không có nền tảng kiến thức vững và tư duy cũng không thể giải quyết được Đây cũng là xu thế ra đề trắc nghiệm của Bộ giáo dục với mục đích hạn chế việc sử dụng máy tính cầm tay Đặc biệt là các bài toán tìm nguyên hàm và tính tích phân với những đáp án là những số, những hàm

cụ thể thì việc tìm đáp án đúng trở nên dễ dàng bằng việc bấm máy tính cầm tay Tuy nhiên với các bài có chứa tham số ở các hình thức phức tạp thì cần phải suy luận, biến đổi chứ không thể bấm máy tính được Chính vì thế mà tôi đã mạnh dạn viết một số kinh nghiệm giảng dạy về nguyên hàm, tích phân theo hướng mới của

Bộ giáo dục và đào tạo với đề tài: “TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN THEO HƯỚNG MỚI” để phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 nhằm giúp cho các em đạt kết quả tốt hơn trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT quốc gia Trong phần nội dung dưới đây, tôi xin

được nêu ra một số bài tập minh họa cơ bản về nguyên hàm và tích phân chủ yếu

áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân

từng phần

2 Mục tiêu, nhiệm vụ của đề tài

Mục tiêu, nhiệm vụ hàng đầu của toàn ngành giáo dục chúng ta là nâng cao

chất lượng giáo dục và đào tạo, vì thế ở mỗi bộ môn học chúng ta phải cung cấp

đầy đủ chuẩn kiến thức cho học sinh nhằm làm cơ sở cho các năm học sau và cũng

là giúp các em có đủ kiến thức để tham gia các kỳ thi lớn, góp phần nâng cao chất

lượng giáo dục bộ môn Toán nói riêng và chất lượng giáo dục của nhà trường nói

chung

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là học sinh khối 12 của nhà trường, các lớp luyện thi

đại học, cụ thể là 40 học sinh lớp 12A10 và 41 học sinh lớp 12A11

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

 Một số dạng bài tập về nguyên hàm và tích phân trong chương trình

THPT

 Các bài toán tham khảo qua các kì thi tuyển sinh Đại học, cao đẳng trong

các năm trước và các đề minh họa của Bộ giáo dục năm 2017

5 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lý luận

 Phương pháp quan sát, điều tra

6 Nội dung đề tài: “TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM

VÀ TÍCH PHÂN THEO HƯỚNG MỚI”

II PHẦN NỘI DUNG

1 Cơ sở lý luận

Môn toán là môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa số các em học sinh ngại học môn này Nhưng Toán học lại là một môn học có khả năng phát triển trí tuệ của học sinh thông qua việc rèn luyện các thao tác tư duy, năng lực suy luận logic Vì vậy việc dạy toán phải phát huy tính tích cực, độc lập sáng tạo của học sinh nhằm kích thích sự hứng thú, niềm đam mê của các em trong việc học toán Giúp học sinh củng cố, hệ thống lại những kiến thức phổ thông đặc biệt là cho các em thấy được sự rất cần thiết của Toán học trong đời sống của con người Muốn học tốt môn Toán các em phải nắm vững những kiến thức và các dạng bài tập một cách có hệ thống Do đó giáo viên cần định hướng được cho học sinh học và hệ thống các kiến thức trong chương trình phổ thông một cách khoa học, từ đó các em có thể vận dụng lí thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp cách giải

2 Thực trạng của đề tài nghiên cứu

2.1 Thuận lợi và khó khăn

2.1.1 Thuận lợi

 Được sự chỉ đạo, động viên kịp thời của ngành, của ban giám hiệu và tổ chuyên môn

 Được trực tiếp đứng lớp giảng dạy 12

 Học sinh nhiệt tình tham gia học tập, được đồng nghiệp đóng góp ý kiến

2.1.2 Khó khăn

 Đối tượng học sinh trên lớp học lực còn hạn chế

 Thời gian đầu tư chưa thật sự nhiều, tuổi nghề còn ít

2.2 Thành công – hạn chế

Áp dụng đề tài này cho một trong hai lớp 12 tôi trực tiếp giảng dạy, qua bài

kiểm tra thử của hai lớp 12A10 và 12A11, tôi thu được kết quả như sau:

 Lớp 12A10 (lớp không được áp dụng đề tài) thì tỷ lệ trên trung bình chiếm 37,5%

 Lớp 12A11 (lớp được áp dụng đề tài) thì tỷ lệ trên trung bình chiếm 61% Tuy nhiên vẫn còn một số hạn chế đối với đề tài này là chưa được sâu rộng

2.3 Mặt mạnh – mặt yếu

 Phần lớn học sinh nắm được các phương pháp giải toán, tạo được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập từ cơ bản đến nâng cao Giải quyết hầu hết các bài toán chứa tham số mà giáo viên đưa ra, cũng như các bài toán trong đề thi thử mà

Bộ giáo dục đã biên soạn

 Một số học sinh còn lúng túng khi nhận dạng các bài toán để sử dụng đúng

phương pháp

2.4 Nguyên nhân của thực trạng

Một số học sinh mất căn bản ở các lớp dưới

2.5 Phân tích, đánh giá các vấn đề về thực trạng mà đề tài đã đặt ra

“TIẾP CẬN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

THEO HƯỚNG MỚI”

A LÝ THUYẾT

I Nguyên hàm và tính chất

1 Nguyên hàm

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của

Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K

* Chú ý:

1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì F(x) + C, C 

là học tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K Kí hiệu f )(x dx = F(x) + C

2) Biểu thức f(x)dx chính là vi phân của nguyên hàm F(x) của f(x), vì

Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K

4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

f )( Dùng kí hiệu F )(x b a để chỉ hiệu số F(b) – F(a)

Vậy f(x)dx F(x)b F(b) F(a)

a b

i) Ta quy ước  

a

dx x

f( ) 0(a = b),   

dx x f dx x

f( ) ( ) (a > b)

ii) Tích phân của hàm số f từ a đến b không phụ thuộc vào biến số, chỉ phụ thuộc

vào hàm số và các cận a, b nên ta có thể kí hiệu b

a

dx x

f )( hoặc b

a

dt t

f( ) ( ) ( ) (a < c < b)

III Phương pháp tính tích phân

1 Phương pháp đổi biến số:

Định lí: Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a; b Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm liên tục trên đoạn ; sao cho ( ) a, () = b và a  (t) b, t ;  Khi







 ( )) ' ( ) (

) (

 Phương pháp đổi biến số dạng 1 :

Vậy bài toán quy về tính f u du( )

o Tính .

a

v du

 thế vào trên ta được kết quả

b Chú ý: Thứ tự ưu tiên đặt u: hàm logarit, hàm đa thức, hàm mũ, hàm lượng

B BÀI TẬP

 DẠNG 1: Sử dụng định nghĩa và các tính chất

Để giải quyết những bài toán trắc nghiệm dạng này học sinh cần phải nắm vững định nghĩa của tích phân, định nghĩa của nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm, tích phân và các công thức nguyên hàm để phân tích, loại trừ các đáp

án

Một trong các bài toán dạng này là bài toán trắc nghiệm vận dụng lí thuyết

để tìm đúng đáp án cần tìm Sau đây là một vài ví dụ minh họa:

Bài 1: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A F x dx'( ) F x( ) C

B  f x dx( ) g x dx( )  f x( ) g x( )

C Nếu f '( )x g x'( ) thì f x( ) g x( )

D Nếu F x( ) là một nguyên hàm của f x( ) thì  f x dx( ) F x( ) C

Phân tích: Theo định nghĩa nguyên hàm thì các đáp án A và D đúng, chỉ còn lại B

và C Dễ dàng ta thấy đáp án C sai vì f '( )x g x'( ) thì f x( ) g x( )+ C (C là một hằng số nào đó)

Phân tích: Theo công thức tích phân thì các đáp án A, B và C đều đúng, suy ra D

sai Minh họa bằng ví dụ đáp án D sai:

1 4

( ) 37

f x dx

9 0

( ) 16

g x dx

9 0

f x dx

 ; giá trị của f(4) bằng:

Phương pháp: Tương tự bài 4,áp dụng định nghĩa '( ) ( ) ( ) ( )

b a a

(Đề minh họa lần 2 của Bộ giáo dục_2017)

Phương pháp: + Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 1

1

f x x

(Đề minh họa lần 2 của Bộ giáo dục_2017)

Phương pháp: Mũ hóa (cơ số e) hai vế của (*) hoặc sử dụng tích phân hàm hữu tỷ

 2

0

3 1

e

  =>

3 1 2

(dapan:tức là thử từng đáp án A, B, C, D) Câu trả lời đúng là đáp án cho ta

nghiệm của hệ là những số nguyên hoặc số hữu tỷ

Tuy nhiên việc sử dụng máy tính cầm tay ở những bài toán như thế này cũng

có nhiều hạn chế như thời gian lâu hơn, có những bài phải biến đổi nhiều bước hoặc ở bước thứ 2 của việc bấm máy không giải được hệ vì thiếu yếu tố ví dụ như bài 8( hệ gồm 2 phương trình nhưng 3 ẩn)

F x  x  x mx (m, n, p là số nguyên và n, p không có ước số chung), tổng (m + n + p) bằng bao nhiêu?

A 16 B 31 C.38 D.3

 DẠNG 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số

Bài 1: Cho

4 0

( ) 16

f x dx

2 0

1 ln 2

cos 3 (1 tan 3 )

a dx

1 (2 ln )

Bài 6: Biết

2 1

1

1 4 ln 3

Bài 9: Cho hàm số f(x) =12sinx.cos5x có một nguyên hàm là F(x)= acosmx +b thỏa điều kiện F(0) = 15 (a, b, m là các số nguyên), thế thì (a+ b+ m) bằng:

1 (1 x) cos 2xdx

e e

Giải:

 Đặt

2

1 sin 3 cos 3

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận

- Với hệ thống đầy đủ các dạng về tích phân được sắp xếp theo thứ tự từ dễ đến khó làm cho học sinh hứng thú trong học tập Đặc biệt là giúp cho học sinh nâng cao khả năng tự học, tự nghiên cứu và tư duy linh hoạt trong giải toán Giúp các em học sinh không thấy bối rối trước các bài toán lạ, biết quy lạ thành quen Với lượng kiến thức nhất định về tích phân và những kiến thức liên quan, học sinh

sẽ có cái nhìn sâu sắc hơn và phân dạng tích phân dễ dàng hơn Đồng thời, qua nhiều dạng toán khác nhau các em sẽ rút ra cho mình những kinh nghiệm giải toán phù hợp

- Bài viết sáng kiến kinh nghiệm này của tôi nhằm cung cấp tới các thầy cô giáo và các em học sinh như một tài liệu tham khảo

- Ở cấp độ trường THPT Lê Quý Đôn, sáng kiến kinh nghiệm có thể áp dụng

để cải thiện phần nào chất lượng bộ môn, củng cố phương pháp giải toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ; giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí, tính chất cũng như những kiến thức liên quan đã được học để vận dụng vào giải các bài toán nâng cao giúp các em tránh khỏi lúng túng trước một bài toán đặt ra và biết nhận dạng bài toán để đưa ra phương pháp

giải phù hợp

2 Kiến nghị

 Đối với Hội đồng Khoa học cấp trường:

Cần động viên, khuyến khích giáo viên thường xuyên có những tiết sinh hoạt chuyên môn ở tổ theo dạng chuyên đề về một vấn đề nào vướng mắc trong quá trình giảng dạy hoặc vấn đề nào mà giáo viên cảm thấy hay và có nhiều ứng dụng trong giảng dạy đặc biệt là về phương pháp dạy và học trong xu thế đổi mới hiện nay

 Đối với Sở giáo dục đào tạo Đăk Lăk:

Nên thường xuyên tổ chức các chương trình “ Hội thảo chuyên môn”,

“ Ngày hội sáng kiến kinh nghiệm” …để mọi giáo viên đều có thể tham dự, học tập

và chia sẻ kinh nghiệm

Buôn Ma Thuột, ngày 15 tháng 02 năm 2017 Người viết

IV TÀI LIỆU THAM KHẢO

5- Đề minh họa của Bộ giáo dục và đào tạo, 2017

6- Ôn tập luyện thi trắc nghiệm THPT Quốc gia môn Toán 2017- Đậu Thế Cấp- NXB Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh,2016

7- Phân dạng phương pháp giải Giải tích 12 tập 2- Nguyễn Phú Khánh- NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015

8- Phương pháp giải toán chuyên đề Giải tích 12- Nguyễn Văn Nho, Lê Bảy- NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015

MỤC LỤC

Lời nói đầu…….……… ………1

I.Phần mở đầu……… ………2

II.Phần nội dung……….……….4

III Kết luận và kiến nghị……… ………24

IV.Tài liệu tham khảo……… ……….26