a Giải hệ phương trình : Một Phương Trình Bậc Với Hệ Số Nguyên phương trình bậc với hệ số nguyên.. a Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm cố đinh.. a Cho là các số thực dương thỏa
Trang 1Đề Thi Tuyển Sinh Vào Lớp 10 Năng Khiếu Toán Năm Học 2007-2008 (PTNK ĐHQG TPHCM)
Thời Gian Làm Bài : 150 phút
Câu 1
a) Giải hệ phương trình :
Một Phương Trình Bậc Với Hệ Số Nguyên
phương trình bậc với hệ số nguyên
Câu 2 Cho tam giác nội tiếp là điểm di động trên cung
không chứa Hạ lần lượt vuông góc với
a) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua điểm cố đinh
b) Xác định vị trí của điểm sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất
Câu 3
a) Cho là các số thực dương thỏa mãn điều kiện Chứng minh bất đẳng thức
b) Cho là các số dương thỏa mãn điều kiện CHứng minh bất đẳng thức
Câu 4 CHo hình thang có đáy và Biết rằng đường tròn đường kính đi qua trung điểm các cạnh bên và tiếp xúc với Hãy tìm số đo các góc của hình thang
Câu 5
a) Cho là các số thực dương phân biệt có tổng bằng Chứng minh rằng
nhất phương trình có nghiệm phân biệt và có ít nhất một phương trình vô nghiệm
b) Cho là tập hợp gồm số tự nhiên có tính chất : tổng phần tử tùy ý của S
là số chính phương ( Ví dụ S ={5;20;44} hoặc S= {10;54;90} là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên ) Chứng minh rằng trong tập có không quá số lẻ
Giải:
Câu 1)
a) Cộng hai pt lại ta có
Thay vào pt(1) ta có
Trang 2hay
b) áp dụng vi-et
ta có
tương tự
Ta có
=> a, b là nghiệm của pt X^2-6X+7=0 có các hệ số nguyên
c)Ta có
Từ đó ta được Mặt khác ta cũng có
Theo định lí Vi-ét đảo ta có là hai nghiệm của phương trình
suy ra đpcm
Câu 2)
a)Hạ => cố định
=> thẳng hàng => luôn đi qua điểm cố định(đpcm)
b)
giữa cung không chứa
Câu 3)
mà
tương tự
=>(1) đúng, vậy bđt được cm
b) tương tự
ta có
ta có
tương tự
=> bđt (1) đúng=> đpcm
Câu 4)
Trang 3Gọi trung điểm của AB,BC,CD,DA lần lượt là M,K,N,O
MN giao với KO ở H
Dễ dàng chứng minh được ABCD là hình thang cân
Gọi bán kính đường tròn đầubài là R
ON=OK=OM=OC=OD=R
dễ dàng chứng minh OH=R/2
Mà ON=R NHO vuông ở O
=30
=30
Mà ONC cân ở O
Vậy hình thang ABCD có các góc có số đo là 75 và 105
Câu 5 )
a)
gọi
Ta có
dễ dàng cm được
dấu = xảy ra khi (trái đk bài toán)
=>có ít nhất 1 pt có 2 no phân biệt
Giả sử tất cả các pt đều có nghiệm(giả sử pt 1 có 2 nghiệm phân biệt)
<=>
từ đây có thể suy ra
trái với giả thiết Vậy có ít nhất 1 => pt đó vô nghiệm
câu 5)
b)
Mọi số chính phương khi chia cho 4 có số dư là 0 hay1
Giả sử ba số tự nhiên là a, b, c
th: cả 3 số đều lẻ
Các số lẻ chia 4 dư 1 hay 3 Vì cả 3 đều lẻ nên có 2 số có cùng số dư khi chia 4 Tổng 2 số đó khi chia 4 dư 2 ko thể là số chính phương
TH : có 2 số lẻ(giả sử là a và b)
Nhận thấy để tổng 2 số trên có thể là số chính phương thì chúng phải có số dư khác nhau khi chia cho 4
giả sử
Trang 4Xét c là 1 số chẵn hay
ko là số chính phương Vậy có ko quá 1 số lẻ