Giai bai tap hinh hoc lop 10 chuong 3 bai 1 phuong trinh duong thang

Giai bai tap hinh hoc lop 10 chuong 3 bai 1 phuong trinh duong thang tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đ...

Giải bài tập Hình Học lớp 10 Chương 3 Bài 1: Phương trình đường thẳng Hướng dẫn giải bài tập lớp 10 Bài 1: Phương trình đường thẳng

I KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Định nghĩa :

vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu ≠ và giá của song song hoặc trùng với ∆

Nhận xét :

- Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k ( k≠ 0) cũng là một vectơ chỉ phương của ∆ , do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó

2 Phương trình tham số của đường thẳng

- Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và nhận vectơ

= (u1 ; u2) làm vectơ chỉ phương là :

∆ :

-Khi hệ số u1 ≠ 0 thì tỉ số k= được gọi là hệ số góc của đường thẳng

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0 ;y0) và có hệ số góc k là:

y – y0 = k(x – x0)

Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với

chiều dương của trục Ox

3 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Định nghĩa: Vectơ được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu ≠

và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆

Nhận xét:

- Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k (k ≠ 0) cũng là một vectơ pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến

- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó

4 Phương trình tổng quát của đường thẳng

Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là phương trinh tổng quát của đường thẳng

Trường hợp đặc biết:

+ Nếu a = 0 => y = ; ∆ // Ox

+ Nếu b = 0 => x = ; ∆ // Oy

+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 => ∆ đi qua gốc tọa độ

+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo đoạn chắn:

+ = 1

5 Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2

có phương trình tổng quát lần lượt là :

a1x+b1y + c1 = 0 và a 2+ b2y +c2 = 0

Điểm M0(x0 ;y0) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi (x0 ;y0) là nghiệm của

hệ hai phương trình:

(1)

Ta có các trường hợp sau:

a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2

b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2

c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 = ∆2

6.Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc Nếu ∆1 không vuông góc với

∆2thì góc nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2bằng 900 .Trường hợp ∆1 và

∆2 song song hoặc trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00 Như vậy gương giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900

Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là

Cho hai đường thẳng ∆1 = a1x+b1y + c1 = 0

∆2 = a 2+ b2y +c2 = 00

Đặt =

cos =

Chú ý:

+ ∆1 ⊥ ∆2 <=> n1 ⊥ n2 <=> a1a2+ b1b2 = 0

+ Nếu ∆1 và ∆2 có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì

∆1 ⊥ ∆2 <=> k1.k2 = -1

7.Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax+by + c = 0 và điểm M0(x0 ;y0).Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆ kí hiệu là (M0 ;∆), được tính bởi công thức

d(M0 ;∆) =

II HƯỚNG DẪN LÀM BÀI

1.Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:

a) đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương = (3;4)

b) d đi qua điểm M(-2; 3) và có vec tơ pháp tuyến = (5; 1)

Hướng dẫn:

Phương trình tham số : d:

b) vì = (5; 1) nên ta chọn vectơ ⊥ là vec tơ = (1; -5)

Từ đây ta có phương trình tham số của d:

2.Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:

a) ∆ đi qua điểm M (-5; -8) và có hệ số góc k = -3

b) ∆ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5)

Hướng dẫn:

a) Phương trình của ∆ là : y + 8 = -3(x + 5) <=> 3x + y + 23 = 0

b) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1) và B(-4; 5) nhận vectơ = (=6; 4) là một vectơ chỉ phương

Phương trình tham số của ∆ :

∆ :

Khử t giữa hai phương trình ta được phương trình tổng quát:

∆ : 2x + 3y - 7 = 0

3.Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2)

a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, và CA

b) Lập phương trinh tham số của đường thẳng AH và phương trình tổng quát của trung tuyến AM

Hướng dẫn:

a) Ta có = (2; -5) Gọi M(x; y) là 1 điểm nằm trên đường thẳng AB thì AM = (x - 1; y - 4) Ba điểm A, B, M thẳng hàng nên hai vec tơ và cùng phương, cho ta:

= <=> 5x + 2y -13 = 0

Đó chính là phương trình đường thẳng AB

Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC: x - y -4 = 0

phương trình đường thẳng CA: 2x + 5y -22 = 0

b) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(1; 4) và vuông góc với BC

= (3; 3) => ⊥ nên nhận vectơ = (3; 3) làm vectơ pháp tuyến và có phương trình tổng quát:

AH : 3(x - 1) + 3(y -4) = 0

3x + 3y - 15 = 0

=> x + y - 5 = 0

Gọi M là trung điểm BC ta có M ( ; )

Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua hai điểm A, M Theo các viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm trong câu a) ta viết được:

AM : x + y - 5 = 0

4.Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và N(0; -1)

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng MN:

+ = 1 => x - 4y - 4 = 0

5.Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) d1 4x - 10y + 1 = 0 ; d2 : x + y + 2 = 0

b)d1 :12x - 6y + 10 = 0 ; d2 :

c) d1 :8x + 10y - 12 = 0 ; d2 :

Hướng dẫn:

a) Xét hệ

D = 4.1 = 10.1 = -6 ≠ 0

Vậy d1 và d2 cắt nhau

b) Tương tự, ta có: d1 :12x - 6y + 10 = 0 ;

d2= 2x - y - 7 = 0

D = 12 (-1) -(-6).2 = -12 + 12 = 0

Dx = (-6) (-7) - (-1) 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0

Vậy d1 // d2

c) Tương tự, ta có d1: 8x + 10y - 12 = 0

d2: 4x + 5y - 6 = 0

D = 8 5 - 4 10 = 0

Dx = 10 (-6) - (-12) 5 = 0

Dy = (-12) 4 - (-6) 8 = 0

Vậy d1 trùng d2

Chú ý:

1 Ta có thể thấy 8x + 10y - 12 = 0 ; <=> 4x + 5y -6 = 0

d1 và d2

cùng có phương trình là 4x + 5y -6 = 0

Vậy chúng trùng nhau

2 Ta cũng có thể giải bằng cách xét vectơ chỉ phương:

d1 có vectơ chỉ phương = (10; 4)

d2 vectơ chỉ phương = (2; -2)

Vì ≠ => và không cùng phương => Vậy d1 và d2 cắt nhau

7 Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d 1 và d 2

lần lượt có phương trình:

d1 : 4x - 2y + 6 = 0 và d2 : x - 3y + 1 = 0

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức cos =

ta có cos =

=> cos = = = => = 450

8 Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:

a) A(3; 5) ∆ : 4x + 3y + 1 = 0;

b) B(1; -2) d: 3x - 4y - 26 = 0;

c) C(1; 2) m: 3x + 4y - 11 = 0;

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức:

d(M0 ;∆) =

a) d(M0 ;∆) = =

c) Dễ thấy điểm C nằm trên đường thẳng m : C ε m

9 Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng

∆ : 5x + 12y - 10 = 0

Hướng dẫn:

Bán kính R của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng

∆ : 5x + 12y - 10 = 0 thì bằng khoảng cách từ C đến ∆

R = d(C ;∆) =

=> R = =