Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.. PHẦN RIÊNG 3,0 điểm Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần phần A hoặc B.. Theo chương trình Chuẩn: Cõu VIa.. Th
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẮK LẮK
TRƯỜNG THPT NGUYỄN HUỆ MÔN TOÁN NĂM 2012 - 2013 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC
Thời gian làm bài: 180 phút.
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 - 3x2
2 Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x =
x x
m
3 2
−
Câu II (2,0 điểm)
1 Tìm nghiệm x ∈(0;π) của phương trình : 5cosx + sinx - 3 = 2sin
+ 4
2x π
2 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =
1 2
2 2 3 log 2
2 2
+ +
+ +
mx x
x x
xác định ∀x ∈ R
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = dx
x x e
1
2 ) ln 1 ln(
Câu IV (1,0 điểm) Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và có
0
45
=
∠BAD Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy các góc 450 và 600 Hãy tính thể tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2
Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình :
= +
= +
− + +
30 3
2
0 6 ) 3 2 ( 5 36 18
8
2 2
2 2
y x
xy y x xy y
x
(x,y∈R)
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn:
Cõu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các đường thẳng d1: 3x+2y−4 0= ; d2: 5x−2y+9 0= Viết phương trình đường tròn có tâm I∈d2 và tiếp xúc với d1tại điểm A −( 2;5)
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình thoi ABCD với ( 1 ; 2; 1), (2 ; 3 ; 2) A − B
Tìm tọa độ các đỉnh C, D biết tâm I của hình thoi thuộc đường thẳng : 1 2
d + = = −
Câu VIIa (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn z − =1 5 và 17(z+z) 5− z z=0
B Theo chương trình Nâng cao:
Câu VIb (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 6x - 2y + 1 = 0 Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M (0;2) và cắt (C) theo dây cung có độ dài bằng 4
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy và (P) cắt
mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2x + 6y - 4z + 5 = 0 theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2
Câu VIIb (1,0 điểm) Trong các acgumen của số phức (1− 3i)8, tìm acgumen có số đo dương nhỏ nhất
- Hết -
Trang 2Ghi chú : Thí sinh không được sử dụng tài liệu – Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Câu 1: 1, y = x3 - 3x2
* Tập xác định : D = R
* Sự biến thiên :
− Giới hạn: lim
x y
→+∞
= +∞ lim
x y
→−∞
= −∞
− Chiều biến thiên : y, = 3x2 - 6x = 3x(x-2)
Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - ∞ ; 0) và (2; + ∞ ), nghịch biến trên khoảng (0;2)
- Đồ thị có điểm cực đại (0;0), điểm cực tiểu (2; -4)
− Bảng biến thiên :
x - ∞ 0 2 + ∞
y’ + 0 - 0 +
y 0 - 4
* Đồ thị :
y'' = 6x - 6 = 0 ⇔ x = 1 Điểm uốn U(1;-2)
Đồ thị đi qua các điểm (-1;−4), (3; 0) và nhận điểm U(1;-2) làm tâm đối xứng
Câu 1: 2, x =
x x
m
3 2
3
x x
x x x m
Số nghiệm của pt bằng số giao điểm của đồ thị
y = x x2−3x ( x 0≠ và x ≠ 3) với đồ thị y = m
Trang 30
+/ m < 0 hoặc m > 4 thì pt có 1 nghiệm +/ m = 0 pt vô nghiệm
+/ 0 < m < 4 pt có 3 nghiệm +/ m = 4 pt có 2 nghiệm
+ 4
2x π ⇔ 5cosx +sinx – 3 = sin2x + cos2x
⇔2cos2x – 5cosx + 2 + sin2x – sinx = 0 ⇔ (2cosx – 1 )(cosx – 2) + sinx( 2cosx – 1) = 0
⇔(2cosx – 1) ( cosx + sinx – 2 ) = 0
+/ cosx + sinx = 2 vônghiệm
π π
Đối chiếu điều kiện x ∈(0;π) suy ra pt có nghiệm duy nhất là :
3
π
Câu 2: 2,Hàm số xác định
Vì 3x2 + 2x + 2 > 0 x∀ , nên (*)
2
1 0
m
− <
⇔
2 2
m
− < <
Giải ra ta có với :1 - 2 ≤m<1 thì hàm số xác định với x∀ ∈R .
Câu 3:Đặt lnx = t , ta có I =
1
2 0
ln(1+t dt)
∫ Đặt u = ln( 1+t2) , dv = dt ta có : du = 2 2 ,
1
t
dt v t
Từ đó có : I = t ln( 1+ t2)
1
Tiếp tục đặt t = tanu , ta tính được
1 2
dt t
π
= +
∫ .Thay vào (*) ta có : I = ln2 – 2 +
2
π
.
Câu 4: Hình lăng trụ đứng nên cạnh bên vuông góc với đáy và độ dài cạnh bên bằng chiều cao của hình lăng trụ Từ giả thiết ta có : 0 0
1 45 , 1 60
C AC B DB
Từ đó suy ra : AC = CC1 = 2 , BD = 2 cot 600 = 2
3
Áp dụng định lý cô sin có: BD2 = AB2 + AD2 – 2AB.AD cos450 ,
AC2 = DC2 +AD2 – 2DC.AD.cos1350 Ta có :BD2 –AC2 =-
Từ đó V ABCD A B C D. 1 1 1 1= AB.AD sin45 0 AA 1 = 4 2.2 4
Trang 4Câu 5: Điều kiện xy 0≥ Nếu x = 0 suy ra y = 0 không thoả mãn pt (2) của hệ Nếu y = 0 cũng tương tự, vậy xy > 0
Pt (1) của hệ ⇔ 8x2+18y2+36xy=5(2x+3 ) 6y xy 2 3 6 5
6
xy
x y
x y
x y
+
6
x y
t t xy
+
= ≥ Xét f(t) = t + 1, t 2
t ≥ Ta thấy f’(t) =
2 2
1
t
t t
−
> ∀ ≥ suy ra f(t) 5
2
≥
Dấu = xẩy ra khi t = 2 hay khi 2x = 3y Thay vào pt (2) của hệ , suy ra hệ có nghiệm: x = 3 ; y = 2
Câu 6a: 1, Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng d1 tại điểm A nên IA⊥d1
Vậy phương trình IA là: 2(x+2)−3(y−5)=0⇔2x−3y+19 0=
d2
Kết hợp I∈d2nên tọa độ tâm I là nghiệm hệ 5 2 9 0 1 (1;7)
I
Bán kính đường tròn R=IA= 13.Vậy phương trình đường tròn là: (x−1)2+(y−7)2=13
Câu 6a: 2, Gọi I(− − −1 ; ; 2t t +t)∈d Ta có IA=(t; 2+t; 1− −t),IB=(3+t;3+t;−t)
Do ABCD là hình thoi nên IA IB =0⇔3t2+9t+6 0= ⇔ = −t 1,t= −2
uur uur
Do C đối xứng với A qua I và D đối xứng với B qua I nên:
* Với t= − ⇒1 I(0;1;1)⇒C(1;0;1 ,) D(−2; 1;0− )
* Với t= − ⇒2 I(1; 2;0)⇒C(3; 2; 1 ,− ) D(0;1; 2− )
Câu 7a: Đặt z a bi= + , ta có: z−1 5= ⇔ (a−1)2+b2 =5⇔a2+b2−2a=24 1( )
Mặt khác: 17( ) 5 0 2 2 34 ( )2
5
z+z − z z= ⇔a +b = a
Thay (2) vào (1) được 24 24 5
5 a= ⇔a= Kết hợp với (1) có
b = ⇔b= b= −
Vậy có hai số phức thỏa mãn bài toán là: 5 3i+ và 5 3i−
Câu 6b: 1, (C) có tâm I(3;1) và b/k R =3 Giả sử (C) cắt (d) tại A , B Hạ IH ⊥ AB thì H là trung
điểm của AB suy ra AH = 2 Tam gíác AHI vuông tại H nên IH = IA2−AH2 = 9 4− = 5
Vì (d) qua M(0;2) nên có pt A(x-0) +B(y-2) = 0 ( A2 + B2 ≠ 0) ⇔ Ax + By – 2B = 0
2 2
A B
+
Chọn B = 1 ta có : A = 2 hoặc -1
2
Trang 5Theo công thức Moavơrơ ta có 8 8 8
2 cos( ) i sin( )
acgumen là : 8 2 ,
π π
− + ∈ Ta thấy với k = 2 thì acgumen dương nhỏ nhất của z là 4
3
π
.
