Tìm tọa độ giao điểm của d với P và viết phương trình mặt cầu S đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với P.. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a.. Tính
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
TRƯỜNG THPT XUÂN TRƯỜNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI THỬ THPTQG - LẦN 2 NĂM HỌC: 2015-2016 Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 3
3 1
y x x
Câu 2 (1 điểm) Tìm m để hàm số 4 2
yx m x m đạt cực đại tại x1
Câu 3 (1 điểm)
a Cho z z la1, 2 ̀ hai nghiê ̣m phức của phương trình 2
2z 2z 5 0 Tính A z12 z22 3 z z1 2
b Giải bất phương trình : 2
2 log x 2x 8 1 log x2
Câu 4 (1 điểm) Tính tích phân sau :
0
sin2
x
e x xdx
Câu 5 (1 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;3;2), đường thẳng
2 1
4 2
1
:
x
d và mặt phẳng (P):2x2yz60 Tìm tọa độ giao điểm của d với (P) và viết phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d đồng thời tiếp xúc với (P)
Câu 6 (1 điểm) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là một tam giác đều cạnh bằng 2a Hình chiếu
vuông góc của B lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm H của cạnh B’C’, góc giữa A’B với mặt phẳng (A’B’C’) bằng 600 Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng
CC’ và A’B theo a
Câu 7 (1 điểm)
a Giải phương trình: 3 sin 2xcos 2x4cosx1
b Một tổ có 5 học sinh nam và 6 học sinh nữ Giáo viên chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để làm trực
nhật Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ
Câu 8 (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Điểm
M(0 ;-2) là trung điểm cạnh BC và điểm E(-1 ;-4) là hình chiếu vuông góc của B trên AI Xác định
tọa độ các đỉnh của tam giác ABC,biết đường thẳng AC có phương trình x+y-4=0
Câu 9 (1 điểm) Giải hê ̣ phương trình:
2 3
2
Câu 10 (1 điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn điều kiê ̣n:
2
1a 1 2 bc 4 Tìm giá tri ̣ lớn nhất của biểu thức 3 3 3
2
…………HẾT…………
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……… ……… …; Số báo danh:……… ………
Trang 2Câu Đáp án Điểm
1
(1 điểm) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: 3
3 1
y x x TXĐ: DR
2
y x , y' 0 x 1
0.25
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 1 và 1;, đồng biến trên khoảng 1;1
Hàm số đạt cực đại tại x1, y CD3, đạt cực tiểu tại x 1, y CT 1
lim
, lim
0.25
* Bảng biến thiên
x – -1 1 +
y’ + 0 – 0 +
y
+ 3
-1 -
0.25
Đồ thị:
4
2
2
4
0.25
2
(1 điểm) Tìm m để hàm số 4 2
yx m x m đạt cực đại tại x1 + Ta có y' 4 x34(m1)x 0.25
+ Để hàm số đạt cực đại tại x=1 cần y'(1) 0 4 4(m 1) 0 m 0 0.25
+Với m=0 y' 4x34xy'(1) 0 0.25 + Lại có y'' 12 x2 4 y''(1) 8 0 => hàm số đạt cực tiểu tại x=1 => m=0 không thỏa
mãn Vậy không có giá trị nào của m để HS đạt cực đại tại x=1
0.25
3a
(0.5điểm)
2 2 2 2
8 6i 8 6i 3.10 8 6 8 6 30 10
0.25
Trang 3Câu Đáp án Điểm 3b
(0.5điểm) Điều kiê ̣n:
2
2
2 0
x x
2
2
0.25
2 2
2
4
x
x
Đối chiếu điều kiê ̣n ta được nghiê ̣m bất phương trình: x4
0.25
4
(1 điểm)
+
+
2
2 0
+Đặt
sin2 12cos2
du dx
u x
0.25
+
2
4 1
e
5
(1 điểm)
d có phương trình tham số
t z
t y
t x
2 4
2 1
Gọi Bd(P), do Bd nên B(12t;4t;2t)
0,25
Do B(P) nên 2(12t)2(4t)2t60t4B(7;0;8) 0,25
Gọi I là tâm mặt cầu (S), do I thuộc d nên I(12a;4a;2a)
Theo bài ra thì (S) có bán kính RIAd(I,(P))
2 2 2 2
2 2
1 2 2
6 2 ) 4 ( 2 ) 2 1 ( 2 ) 2 2 ( ) 1 ( ) 2 2 (
3
16 4 9 2
13
35
; 1 0
175 110
65 )
16 4 ( ) 9 2 9 (
9 2 2 2
0,25
Trang 4+) Với a1I (1;3;2),R4(S):(x1)2(y3)2 (z2)2 16
+) Với
13
116
; 13
70
; 13
87
; 13
83 13
a
169
13456 13
70 13
87 13
83 :
) (
2 2
2
0,25
6
(0.5điểm)
M
C A
H A'
B'
C'
B
K
+
2
2 ' ' '
3 4
A B C
a
+Vì BH (A’B’C’) nên góc giữa A’B với (A’B’C’) là góc giữa A’B với A’H
Hay BA H' 600
0
' ' ' ' ' ' 3.3 3 3
(0.5điểm)
Ta có CC’ // (ABB’A’) nên d(CC’,A’B) = d(C’,(ABB’A’))
Dựng HM A’B’ Khi đó A’B’ (BMH) suy ra (ABB’A’) (BMH)
Dựng HK BM suy ra HK (ABB’A’)
2
3 3
( , ( ' '))
13 3
9 2
a a
d H ABB A HK
a
Vậy ( ', ' ) ( ',( ' ')) 2 ( ,( ' ')) 6 13
13
a
7a
(0.5điểm) 3 sin 2 cos 2 4 1 3 sin 2 (cos 2 1) 4 0
osx 0
2 osx( 3 s inx osx 2) 0
3 s inx osx 2 0
c
c
0.25
2
0.25
7b
(0.5điểm)
+ 3
11 165
+ Số cách chọn 3 học sinh có cả nam và nữ là 2 1 1 2
5 6 5 6 135
C C C C
Do đó xác suất để 3 học sinh được chọn có cả nam và nữ là 135 9
Trang 5Câu Đáp án Điểm
8
(1 điểm)
I A
E
D
Tứ giác ADEB,BIEM nội tiếp đường tròn
=> DEB1800BAD (1)
BEM BIM (cùng chắn BM ) (2)
2
BIM BICBAD
Từ (1),(2),(3) => 0
180
DEBBEM nên D,E,M thẳng hàng
0.25
+ Đường thẳng EM qua E,M có phương trình là : 2x-y-2=0
+ Tọa độ D là nghiệm 4 0
x y
x y
+ CAC x: y 4 0 => C(c ;-c+4) mà MC=MD=2 5 (4; 0)
(2; 2) ( )
C
C loai
+ M trung điểm BC => B(-4 ;-4)
0.25
+ AEBE => phương trình là : x+1=0
+ AACAEA( 1;5)
Vậy: A(-1;5);B(-4;-4);C(4;0)
0.25
9
(1 điểm)
Điều kiê ̣n:y0
(1) 2
1
x
0.25
+) Vớ i x 1, thế vào (2) ta đươ ̣c: 1 1y 52 y (vô nghiệm) 0.25
+) Vớ i y x, thế vào (2) ta đươ ̣c: 2
1 1x 2x 2x 1 x 1 x x
Vớ i x = 0, phương trình trên được thỏa mãn
Vớ i x0, chia hai vế cho x x ta được:
2
2
1
x
x
0.25
2 2
Xét hàm đă ̣c trưng 2
f t t t t , có
0.25
Trang 6 2
1
Vậy hê ̣ đã cho có nghiê ̣m (x; y) là: 3 5 3 5
10
(1 điểm) + Chứ ng minh 1 x 1 y 1 1 x y vớ i mo ̣i x, y không âm
+ Áp dụng:
2
a
0.25
Ta có: 3 3 3 3 3
2
a
0.25
Từ giả thiết ta có: 4 1a2 1 a2 8 0 a 2 2 0.25
Xét hàm số f a trên 0;2 2, ta tìm đươ ̣c
0;2 2
a
Vậy, giá tri ̣ lớn nhất của P bằng 64 đa ̣t ta ̣i a0,b0,c4 hoặc a0,b4,c0 0.25
(Mọi cách giải khác nếu đúng cho điểm tương tự)